Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si un système a plus d'inconnues que d'équations, alors il a une infinité de solutions.
2. $\square\;$ Si un système a plus d'équations que d'inconnues, alors il a au plus une solution.
3. $\boxtimes\;$ Si le rang d'un système est égal au nombre d'équations, et strictement inférieur au nombre d'inconnues, alors le système a une infinité de solutions.
4. $\square\;$ Si un système a une solution unique, alors il a autant d'équations que d'inconnues.
5. $\boxtimes\;$ Si un système a une solution unique, alors son rang est égal au nombre d'inconnues.
6. $\boxtimes\;$ Si un système n'a pas de solution, alors son second membre est non nul.
7. $\square\;$ Si un système a un second membre nul et si son rang est égal au nombre d'équations, alors sa solution est unique.
8. $\boxtimes\;$ Si un système de deux équations à deux inconnues n'a pas de solution, alors les deux équations sont celles de deux droites parallèles dans le plan.
9. $\square\;$ Si un système de deux équations à trois inconnues n'a pas de solution, alors les deux équations sont celles de deux droites parallèles dans l'espace.

Vrai-Faux 2   Soit $(S)$ un système linéaire et $(H)$ le système homogène associé. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$Si $(S)$ n'a pas de solution alors $(H)$ n'a pas de solution.
2. $\square\;$Si $(S)$ n'a pas de solution alors $(H)$ a une solution unique.
3. $\square\;$$(S)$ a une solution unique si et seulement si $(H)$ a une solution unique.
4. $\boxtimes\;$Si $(S)$ a une solution unique alors $(H)$ a une solution unique.
5. $\boxtimes\;$Si $(S)$ a une infinité de solutions, alors $(H)$ a une infinité de solutions.
6. $\square\;$ Si $s_0$ et $s_1$ sont deux solutions de $(S)$ alors $s_0+s_1$ est solution de $(H)$
7. $\boxtimes\;$ Si $s_0$ et $s_1$ sont deux solutions de $(S)$ alors $2(s_0-s_1)$ est solution de $(H)$
8. $\square\;$ Si $s_0$ et $s_1$ sont deux solutions de $(S)$ alors $2(s_0-s_1)$ est solution de $(S)$
9. $\boxtimes\;$ Si $s_0$ et $s_1$ sont deux solutions de $(S)$ alors $-s_0+2s_1$ est solution de $(S)$

Vrai-Faux 3   Soit $(S)$ un système, que l'on résout par la méthode de Gauss. On note $(S_E)$ le système sous forme échelonnée. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si au moins un des pivots est nul, le système est impossible.
2. $\square\;$ Si $(S)$ a une solution unique, alors dans $(S_E)$, aucune équation n'a son premier membre nul.
3. $\boxtimes\;$ Si $(S)$ a plus d'équations que d'inconnues, alors dans $(S_E)$, au moins une équation a son premier membre nul.
4. $\square\;$ Si $(S)$ a moins d'équations que d'inconnues, alors dans $(S_E)$ aucune équation n'a son premier membre nul.
5. $\square\;$ Si dans $(S_E)$ une équation a ses deux membres nuls, alors $(S)$ a une infinité de solutions.
6. $\boxtimes\;$ Si $(S)$ a moins d'équations que d'inconnues, et si dans $(S_E)$ toute équation dont le premier membre est nul a un second membre nul, alors le système a une infinité de solutions
7. $\boxtimes\;$ Si le système a une infinité de solutions alors il a moins d'équations que d'inconnues, ou bien au moins une équation dans $(S_E)$ a un premier membre nul.
8. $\square\;$ Si le système est impossible alors dans $(S_E)$ aucune équation n'a un second membre nul.

Vrai-Faux 4   Soient $a$ et $b$ deux paramètres réels. On considère le système :

$$(S)\qquad \left\{ \begin{array}{rrcl} x&-2y&=&a\\ -2x&+4y&=&b\;. \end{array}\right.$$

Soit ${\cal S}$ l'ensemble des solutions de $(S)$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$Pour tout couple $(a,b)$, ${\cal S}$ est un singleton.
2. $\square\;$Il existe $(a,b)$ tel que ${\cal S}$ soit un singleton.
3. $\boxtimes\;$Si $a=b$ alors ${\cal S}$ est l'ensemble vide.
4. $\square\;$Si $b=-2a$ alors ${\cal S}$ est l'ensemble vide.
5. $\boxtimes\;$Si $b=-2a$ alors ${\cal S}$ est une droite affine.

Vrai-Faux 5   Soient $a$ et $b$ deux paramètres réels. On considère le système :

$$(S)\qquad \left\{ \begin{array}{rrcl} x&+ay&=&1\\ x&+by&=&0\;. \end{array}\right.$$

Soit ${\cal S}$ l'ensemble des solutions de $(S)$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$Pour tout couple $(a,b)$, ${\cal S}$ est un singleton.
2. $\boxtimes\;$Il existe $(a,b)$ tel que ${\cal S}$ soit un singleton.
3. $\boxtimes\;$Si $a=b$ alors ${\cal S}$ est l'ensemble vide.
4. $\square\;$Si $b=2a$ alors ${\cal S}$ est l'ensemble vide.
5. $\boxtimes\;$Si $a\neq 0$ et $b=2a$ alors ${\cal S}$ est un singleton.

Vrai-Faux 6   Soient $a$ et $b$ deux paramètres réels. On considère le système :

$$(S)\qquad \left\{ \begin{array}{rrcl} x&+ay&=&1\\ 2x&+by&=&2\;. \end{array}\right.$$

Soit ${\cal S}$ l'ensemble des solutions de $(S)$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$Pour tout couple $(a,b)$, ${\cal S}$ est une droite affine.
2. $\boxtimes\;$Il existe $(a,b)$ tel que ${\cal S}$ soit une droite affine.
3. $\square\;$Il existe $(a,b)$ tel que ${\cal S}$ soit l'ensemble vide.
4. $\square\;$Si $b=2a$ alors ${\cal S}$ est l'ensemble vide.
5. $\boxtimes\;$Si $b=2a$ alors ${\cal S}$ est une droite affine.

Vrai-Faux 7   Soient $a$ et $b$ deux paramètres réels. On considère le système :

$$(S)\qquad \left\{ \begin{array}{rrrcl} x&-y&+z&=&1\\ -ax&+ay&-z&=&-1\\ &&bz&=&1\;. \end{array}\right.$$

Soit ${\cal S}$ l'ensemble des solutions de $(S)$.

1. $\square\;$ Pour tout $a$, ${\cal S}$ est non vide.
2. $\square\;$ Si $b\neq 0$, alors pour tout $a$, ${\cal S}$ est un singleton.
3. $\boxtimes\;$ Si $(a,b)=(1,1)$, alors ${\cal S}$ est une droite affine.
4. $\square\;$ Si $(a,b)\neq (1,1)$, alors ${\cal S}$ a au plus un élément.
5. $\boxtimes\;$ Si $(0,0,1)\in{\cal S}$, alors $b=1$.