Forme échelonnée

Nous dirons qu'un système est échelonné s'il se présente sous la forme suivante.

$$(S_{E})\qquad \left\{\begin{array}{cccccccl} p_1 y_1\;+&c_{1,2}\... ...&d_r\\ &&&&&0&=&d_{r+1}\\ &&&&&&\vdots&\\ &&&&&0&=&d_{m} \end{array}\right.$$

Mettre un système $(S)$ sous forme échelonnée, c'est passer de $(S)$ à $(S_E)$ par les transformations de la proposition 1, et une permutation éventuelle des coordonnées, de sorte que

1. les inconnues $(y_1,\ldots,y_n)$ de $(S_E)$ sont celles de $(S)$, mais dans un ordre qui peut être différent,
2. les coefficients $p_1,\ldots p_r$ sont tous non nuls.

Les coefficients $p_1,\ldots, p_r$, que l'on appelle les pivots, jouent un rôle important. Pour arriver à la forme échelonnée avec des pivots non nuls on peut être amené au cours des calculs, à

1. permuter des variables
2. permuter des équations (application du point 1 de la proposition 1).

Le principe général consiste à utiliser une équation à pivot non nul pour annuler les termes au-dessous du pivot dans les équations suivantes du système. Décrire formellement l'algorithme dans le cas général, conduirait à des notations compliquées. Le mieux est de comprendre son fonctionnement sur des exemples. Dans ce qui suit nous utilisons la notation algorithmique $\leftarrow$, pour «prend la valeur». A part les permutations éventuelles de variables ou d'équations, les seules transformations utilisées sont du type $L_i\leftarrow L_i+\lambda L_k$, soit «la ligne $i$ est remplacée par la somme de la ligne $i$, et de la ligne $k$ multipliée par $\lambda$». Cette transformation change le système en un système équivalent, d'après la proposition 1. Voici un premier système.

$$\begin{array}{cc} \qquad(S_1)\qquad\qquad\; & \left\{ \begin... ...&+7z&+2t&=&3\\ 2x&+y&-8z&+t&=&4 \end{array}\right. \end{array}$$

$$\Longleftrightarrow$$

$$\begin{array}{cc} \begin{array}{l}  \\ L_2\leftarrow L_2-L_... ...y&+6z&+3t&=&4\\ &-3y&-6z&-t&=&2 \end{array}\right. \end{array}$$

$$\Longleftrightarrow$$

$$\begin{array}{cc} \begin{array}{l}  \\  \\ L_3 \leftarrow ... ...&=&1\\ &&&+9t&=&1\\ &&&-7t&=&5 \end{array}\right. \end{array}$$

$$\Longleftrightarrow$$

$$\begin{array}{cc} \begin{array}{c}  \\ z\longleftrightarrow... ...z&=&1\\ &&9t&&=&1\\ &&-7t&&=&5 \end{array}\right. \end{array}$$

$$\begin{array}{cc} \begin{array}{c}  \\ (S_{1,E})\\  \\ L_... ...&=&1\\ &&9t&&=&1\\ &&&0&=&52/9 \end{array}\right. \end{array}$$

Voici un deuxième système.

$$\begin{array}{cc} \qquad(S_2)\qquad\qquad & \left\{ \begin{a... ...y&-2z&+t&=&8\\ 2x&+y&+5z&+t&=&5 \end{array}\right. \end{array}$$

$$\Longleftrightarrow$$

$$\begin{array}{cc} \begin{array}{l}  \\ L_2\leftarrow L_2-2L... ...7z&+13t&=&11\\ &-y&+11z&+9t&=&7 \end{array}\right. \end{array}$$

$$\Longleftrightarrow$$

$$\begin{array}{cc} \begin{array}{l}  \\ L_2\leftarrow L_4\hs... ...+7z&+13t&=&11\\ &&8z&+5t&=&4\\ \end{array}\right. \end{array}$$

$$\Longleftrightarrow$$

$$\begin{array}{cc} \begin{array}{l}  \\  \\ L_3\leftarrow L... ...40z&+40t&=&32\\ &&8z&+5t&=&4\\ \end{array}\right. \end{array}$$

$$\Longleftrightarrow$$

$$\begin{array}{cc} \begin{array}{c}  \\ (S_{2,E})\\  \\ L_... ...z&+40t&=&32\\ &&&-3t&=&-12/5\\ \end{array}\right. \end{array}$$

Voici un troisième système.

$$\begin{array}{cc} \qquad(S_3)\qquad\qquad & \left\{ \begin{a... ...4y&+3z&+2t&=&1\\ 6x&+y&&-2t&=&8 \end{array}\right. \end{array}$$

$$\Longleftrightarrow$$

$$\begin{array}{cc} \begin{array}{l}  \\ L_2\leftarrow L_2-5L... ...6z&+5t&=&10\\ &7y&-6z&-8t&=&-10 \end{array}\right. \end{array}$$

$$\Longleftrightarrow$$

$$\begin{array}{cc} \begin{array}{l}  \\  \\ L_3 \leftarrow ... ...&=&-10\\ &&&-3t&=&0\\ &&&0&=&0 \end{array}\right. \end{array}$$

$$\Longleftrightarrow$$

$$\begin{array}{cc} \hspace*{9mm}(S_{3,E})\hspace*{9mm} & \lef... ...&=&-10\\ &&-3t&&=&0\\ &&&0&=&0 \end{array}\right. \end{array}$$

Remarquez l'échange de $z$ et $t$ pour respecter la règle des pivots non nuls. La forme échelonnée n'est pas tout à fait la fin de l'histoire, mais elle donne déjà beaucoup de renseignements sur l'ensemble des solutions. Le système $(S_E)$ peut contenir deux types d'équations. Celles dont le premier membre est nul, s'il y en a, sont les équations de compatibilité. Le système ne peut avoir de solution que si leur second membre est aussi nul. Nous admettrons le théorème suivant.

Théorème 3   S'il est non vide, l'ensemble des solutions du système échelonné $(S_E)$ est un espace affine de dimension $n\!-\!r$.

Observons que l'entier $r$ est nécessairement inférieur ou égal à $m$ et à $n$.

$$r\leq \min\{m,n\}\;.$$

Il ne dépend que de la dimension de l'espace des solutions. D'après le théorème 2, la dimension de l'espace des solutions ne dépend pas du second membre, mais seulement du système homogène associé. Ceci justifie la définition générale suivante.

Définition 1   Soit $(S)$ un système de $m$ équations à $n$ inconnues, et $(S_H)$ le système homogène associé. On appelle rang de $(S)$ l'entier $n-d$, où $d$ est la dimension de l'espace vectoriel des solutions de $(S_H)$.