Ensemble des solutions

Nous nous limitons dans ce chapitre au cas réel, mais ce qui suit reste valable sur $\mathbb{C}$.

Considérons un système $(S)$ de $m$ équations à $n$ inconnues.

$$(S)\qquad \left\{\begin{array}{ccccccc} a_{1,1} x_1+&\cdots&+a_{... ...m,1} x_1+&\cdots&+a_{m,j} x_j+&\cdots&+a_{m,n} x_n&=&b_m \end{array}\right.$$

Les coefficients $a_{i,j}$ et $b_i$ sont des réels donnés. Les variables $x_i$ sont les inconnues. Il faut comprendre $(S)$ comme la conjonction («et») de $m$ assertions portant sur les variables $(x_1,\ldots,x_n)$. Une solution est un $n$-uplet de réels qui vérifie chacune des $m$ équations. L'ensemble des solutions est un sous-ensemble de $\mathbb{R}^n$. Deux systèmes à $n$ inconnues sont équivalents si et seulement si leurs ensembles de solutions sont les mêmes.

Par convention, on regroupe les termes contenant les inconnues à gauche de l'égalité, les termes constants à droite. La partie gauche s'appelle le premier membre, le $m$-uplet des constantes à droite de l'égalité est le second membre. On dit d'un système qu'il est homogène si tous les termes du second membre sont nuls. À un système $(S)$, on associe le système homogène $(H)$ obtenu en conservant le premier membre de $(S)$ et en annulant le second membre.

$$(H)\qquad \left\{\begin{array}{ccccccc} a_{1,1} x_1+&\cdots&+a_{... ..._{m,1} x_1+&\cdots&+a_{m,j} x_j+&\cdots&+a_{m,n} x_n&=&0 \end{array}\right.$$

Nous commençons par l'ensemble des solutions d'un système homogème.

Théorème 1   Soit $(H)$ un système homogène de $m$ équations à $n$ inconnues. L'ensemble des solutions de $(H)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$.

Démonstration : Observons que le $n$-uplet $(0,\ldots,0)$ (vecteur nul de $\mathbb{R}^n$) est solution. L'ensemble des solutions de $(H)$ n'est donc jamais vide.

Pour montrer qu'un ensemble non vide est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$, il suffit de vérifier qu'il est stable par combinaison linéaire, c'est-à-dire que si deux éléments appartiennent à l'ensemble, toutes leurs combinaisons linéaires restent dans le même ensemble. Soient $x=(x_1,\ldots,x_n)$ et $y=(y_1,\ldots,y_n)$ deux solutions de $(H)$, $\lambda$ et $\mu$ deux réels quelconques. Nous devons vérifier que $\lambda x+\mu y$ est solution de $(H)$. Considérons la $i$-ième équation, vérifiée à la fois par $x$ et $y$.

$$a_{i,1} x_1+\ldots+a_{i,n} x_n=0$$   et$$\quad a_{i,1} y_1+\ldots+a_{i,n} y_n=0\;.$$

En multipliant la première par $\lambda$, la seconde par $\mu$ et en ajoutant les deux, on obtient :

$$\lambda(a_{i,1} x_1+\ldots+a_{i,n} x_n) +\mu(a_{i,1} x_1+\ldots+a_{i,n} x_n)=0\;,$$

soit,

$$a_{i,1} (\lambda x_1+\mu y_1)+\ldots+a_{i,n} (\lambda x_n+\mu y_n)=0\;.$$

Le $n$-uplet $(\lambda x_1+\mu y_1,\ldots,\lambda x_n+\mu y_n)$ est donc solution de $(H)$.$\square$

Tout sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ est de dimension finie, au plus égale à $n$. Soit $E$ l'espace vectoriel des solutions du système homogène $(H)$. Il se peut que $E$ soit de dimension 0, si $(0,\ldots,0)$ est la seule solution de $(H)$. Nous verrons plus loin que la dimension de $E$ est au moins égale à $n-m$ : un système homogène ayant moins d'équations que d'inconnues a une infinité de solutions. Soit $k$ la dimension de $E$, et $s_1,\ldots,s_k$ $k$ solutions particulières, formant une base de $E$. Toute solution de $(H)$ s'écrit de façon unique comme combinaison linéaire de $s_1,\ldots,s_k$.

$$E = \{ \lambda_1s_1+\cdots+\lambda_k s_k ,\;\lambda_1,\ldots,\lambda_k\in\mathbb{R} \}\;.$$ (1)

Théorème 2   Soit $(S)$ un système linéaire et $(H)$ le système homogène associé. Notons ${\cal S}$ l'ensemble des solutions de $(S)$ et $E$ l'espace vectoriel des solutions de $(H)$. Alors,

$\bullet$

soit ${\cal S}$ est vide,

$\bullet$

soit ${\cal S}$ est un espace affine de direction $E$.

Démonstration : Supposons ${\cal S}$ non vide : soit $s_0=(x_1^{(0)},\ldots,x_n^{(0)})$ une solution particulière de $(S)$. Nous allons démontrer que toute solution de $(S)$ est la somme de $s_0$ et d'une solution de $(H)$. Soit $s=(x_1,\ldots,x_n)$ une solution quelconque de $(S)$. Pour tout $i=1,\ldots,m$, les deux solutions satisfont la $i$-ième équation.

$$a_{i,1} x_1^{(0)}+\ldots+a_{i,n} x_n^{(0)}=b_i$$   et$$\quad a_{i,1} x_1+\ldots+a_{i,n} x_n=b_i\;.$$

Si on retranche la première équation de la seconde, on obtient :

$$a_{i,1} (x_1-x_1^{(0)})+\ldots+a_{i,n} (x_n-x_n^{(0)})=0\;.$$

Par conséquent, le $n$-uplet $s-s_0$ est solution du système homogène associé $(H)$.

Réciproquement, on vérifie de la même façon que tout $n$-uplet somme de $s_0$ et d'une solution de $(H)$ est solution de $(S)$. $\square$

En joignant le théorème 2 et (1), on peut écrire l'ensemble des solutions de $(S)$ comme suit.

$${\cal S} = \{ s_0+\lambda_1s_1+\cdots+\lambda_k s_k ,\;\lambda_1,\ldots,\lambda_k\in\mathbb{R} \}\;.$$ (2)

Vous pouvez retenir ce résultat ainsi :

La solution générale d'un système linéaire est la somme
d'une solution particulière
et de la solution générale du système homogène associé.

On retrouve ce même principe dans des problèmes très différents : équations de récurrence, équations différentielles, etc.

Le reste de ce chapitre est consacré à la méthode du pivot de Gauss qui permet de calculer explicitement des $n$ uplets $s_0,s_1,\ldots,s_k$, tels que $s_0$ soit une solution particulière de $(S)$ et $(s_1,\ldots,s_k)$ soit une base de l'espace vectoriel des solutions de $(H)$.