Propriétés de la somme

Les résultats de cette section ont de nombreuses conséquences pratiques sur les calculs de sommes de séries entières. Nous examinons le comportement des séries par rapport aux opérations habituelles (combinaisons linéaires et produit).

Théorème 3   Soient $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ deux séries entières, de rayons de convergence respectifs $R_a$ et $R_b$. Pour tout complexe $z$ tel que $\vert z\vert< \min\{R_a,R_b\}$, on a :

1. $$\alpha\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n +\beta\sum_{n=0}^{+\infty} b_n z^n = \sum_{n=0}^{+\infty} (\alpha a_n+\beta b_n) z^n\;.$$
   pour tous complexes $\alpha$ et $\beta$.

2. $$\left(\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n\right) \left(\sum_{n=0}^{+\infty} b_n z^n\right) = \sum_{n=0}^{+\infty} c_n z^n\;,$$
   où pour tout $n\geqslant 0$,
   $$c_n = \sum_{h+k=n} a_h b_k= a_0b_n+a_1b_{n-1}+\cdots+a_{n-1}b_1+a_nb_0\;.$$

Démonstration : La linéarité découle immédiatement des résultats analogues sur les suites et séries numériques. Concernant le produit, nous commençons par la convergence. Soit $z$ tel que $\vert z\vert< \min\{R_a,R_b\}$.

$$\sum_{i=0}^n\vert c_i\vert\vert z\vert^i \leqslant \sum_{i=0}^n \left(\sum_{h+k=i}\vert a_h\vert\vert b_k\vert\right) \vert z\vert^{h+k}$$

$$\leqslant \left(\sum_{h=0}^n\vert a_h\vert\vert z\vert^{h}\right) \left(\sum_{k=0}^n\vert b_k\vert\vert z\vert^k\right)$$

$$\leqslant \left(\sum_{h=0}^{+\infty}\vert a_h\vert\vert z\vert^{h}\right) \left(\sum_{k=0}^{+\infty}\vert b_k\vert\vert z\vert^k\right)$$

Puisque $z$ est inférieur à la fois à $R_A$ et $R_B$, les deux séries $\sum a_k z^k$ et $\sum b_h z^h$ sont absolument convergentes. Les inégalités ci-dessus montrent que les sommes partielles de la série de terme général $\vert c_n\vert\vert z\vert^n$ sont bornées. Comme ces sommes partielles sont croissantes et majorées elle convergent. Donc $\sum c_n z^n$ est absolument convergente. De plus :

$$\left\vert\sum_{i=0}^nc_i z^i - \left(\sum_{h=0}^na_h z^{h}\right) \left(\sum_{k=0}^nb_kz^k\right) \right\vert \leqslant \sum_{h+k>n} \vert a_h\vert\vert b_k\vert \vert z\vert^{h+k}$$

$$\leqslant \sum_{i>n} \vert c_i\vert \vert z\vert^{i}\;.$$

Comme la série de terme général $\vert c_n\vert\vert z\vert^n$ est absolument convergente, son reste à l'ordre $n$ tend vers 0, d'où le résultat.$\square$ Le théorème 3 affirme que les combinaisons linéaires et le produit de deux séries entières convergent au moins si ces deux séries convergent. Mais il peut se faire que le rayon de convergence de la série somme ou de la série produit soient strictement supérieurs à $\min\{R_a,R_b\}$. Par exemple, les deux séries $\sum (1+2^n) z^n$ et $\sum (1-2^n) z^n$ ont pour rayon de convergence $\frac{1}{2}$. Leur somme $\sum 2 z^n$ a pour rayon de convergence $1$. La série $\sum z^n$ a pour rayon de convergence $1$, le polynôme $1-z$ est une série entière particulière, de rayon de convergence infini. Leur produit est la constante $1$, de rayon de convergence infini. Considérons maintenant les deux séries $\sum z^n$, de rayon de convergence $1$ et de somme $\frac{1}{1-z}$, et $\sum 2^n z^n$, de rayon de convergence $\frac{1}{2}$, et de somme $\frac{1}{1-2z}$. Comme conséquence du théorème 3, pour tout $z$, $\vert z\vert<1$, on a :

$$\begin{array}{lcl} \displaystyle{\frac{2}{1-2z}-\frac{1}{1-z... ...laystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty} (2^{n+1}-1) z^n\;.} \end{array}$$

Aussi :

$$\begin{array}{lcl} \displaystyle{\frac{1}{(1-z)(1-2z)} }&=& ... ...playstyle{\sum_{n=0}^{+\infty} (2^{n+1}-1) z^n\;.} \end{array}$$

Les deux séries sont égales, comme on pouvait s'y attendre. Voici une autre application de la linéarité. Considérons la série $\sum \frac{n^2}{n!} z^n$, de rayon de convergence infini. On peut écrire :

$$\begin{array}{lcl} \displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n... ...infty}\frac{1}{m!} z^{m} = (z^2+z)\mathrm{e}^z\;.} \end{array}$$

La même technique s'applique pour sommer toutes les séries entières du type $\sum \frac{P(n)}{n!} z^n$, si $P(n)$ est un polynôme en $n$. On commence par exprimer $P(n)$ comme combinaison linéaire de $1$, $n$, $n(n-1)$, ...  et on se ramène ensuite à la série exponentielle par des changements d'indice.

Comme nouvelle application du théorème 3, nous allons vérifier la propriété fondamentale de l'exponentielle.

Proposition 2   Si pour tout $z\in\mathbb{C}$, on définit $\exp(z)$ comme la somme de la série $\sum \frac{z^n}{n!}$, alors :

$$\forall a,b\in\mathbb{C}\;,\quad \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)\;.$$

Démonstration : On peut voir $\exp(a)$ comme la valeur en $z=1$ de la série $\sum \frac{a^n}{n!} z^n$, et $\exp(b)$ comme la valeur en $z=1$ de la série $\sum \frac{b^n}{n!} z^n$. D'après le théorème 3, le produit de ces deux séries est la série $\sum c_n z^n$, avec :

$$c_n = \displaystyle{ \frac{a^n}{n!}+\frac{a^{n-1}}{(n-1)!}\frac{b}{1}+\cdots+ \frac{a}{1}\frac{b^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{b^n}{n!}}$$

$$= \displaystyle{ \sum_{k=0}^n \frac{a^kb^{n-k}}{k!(n-k)!}}$$

$$= \displaystyle{ \frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!}a^kb^{n-k}}$$

$$= \displaystyle{ \frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^kb^{n-k}}$$

$$= \displaystyle{ \frac{(a+b)^n}{n!}\;,}$$

d'après la formule du binôme de Newton.

La série $\sum c_n z^n$ a donc pour somme $\exp((a+b)z)$, et sa valeur en $1$ est $\exp(a+b)$.$\square$ Dans la proposition précédente, nous avons remplacé $z$ par $az$ et $bz$ dans la série exponentielle. Remplacer la variable $z$ par une fonction de celle-ci est une opération que l'on utilise fréquemment. En voici deux exemples. Pour tout $z$ tel que $\vert z\vert<1$, on a :

$$1+z+z^2+\cdots+z^n+\cdots =\frac{1}{1-z} \;.$$

Remplaçons $z$ par $-z$ :

$$1-z+z^2+\cdots+(-1)^nz^n+\cdots =\frac{1}{1+z} \;.$$

Remplaçons $z$ par $z^2$ :

$$1+z^2+z^4+\cdots+z^2+\cdots =\frac{1}{1-z^2} \;.$$

On aurait pu obtenir ce résultat de deux autres façons en utilisant le théorème 3, puisque :

$$\frac{1}{1-z^2}=\frac{\frac{1}{2}}{1-z}+\frac{\frac{1}{2}}{1+z}= \frac{1}{1-z} \frac{1}{1+z}\;.$$

Le lecteur vérifiera que les trois méthodes conduisent au même résultat.