Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Soit $ E=\{0,1,2\}$. Les graphes suivants définissent-ils une relation d'équivalence sur $ E$ (oui ou non et pourquoi) ?
  1. $ \square\;$ $ \Gamma =\{ (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) \}$
  2. $ \boxtimes\;$ $ \Gamma =\{ (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,2) \}$
  3. $ \square\;$ $ \Gamma =\{ (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,2) \}$
  4. $ \square\;$ $ \Gamma =\{ (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2) \}$
  5. $ \boxtimes\;$ $ \Gamma =\{ (0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2) \}$

Vrai-Faux 2   Soit $ E=\{0,1,2\}$. Les graphes suivants définissent-ils une relation d'ordre sur $ E$ (oui ou non et pourquoi) ?
  1. $ \boxtimes\;$ $ \Gamma =\{ (0,0),(0,1),(1,1),(2,2) \}$
  2. $ \square\;$ $ \Gamma =\{ (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,2) \}$
  3. $ \boxtimes\;$ $ \Gamma =\{ (0,0),(0,1),(0,2),(1,1),(2,2) \}$
  4. $ \square\;$ $ \Gamma =\{ (0,0),(0,1),(1,1),(1,2),(2,2) \}$
  5. $ \boxtimes\;$ $ \Gamma =\{ (0,0),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2),(2,2) \}$

Vrai-Faux 3   Soient $ E$ un ensemble fini non vide et $ x$ un élément fixé de $ E$. Les relations $ \sim$ définies ci-dessous sont-elles des relations d'équivalence sur $ {\cal P}(E)$ (oui ou non et pourquoi) ?
  1. $ \boxtimes\;$ $ \forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad
A\sim B\;\Longleftrightarrow\; A=B$
  2. $ \square\;$ $ \forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad
A\sim B\;\Longleftrightarrow\; A\subset B$
  3. $ \square\;$ $ \forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad
A\sim B\;\Longleftrightarrow\;
(A\cap B=\emptyset)$
  4. $ \boxtimes\;$ $ \forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad
A\sim B\;\Longleftrightarrow\;
\Big((A\cap B=\emptyset)\vee(A\cup B\neq \emptyset)\Big)$
  5. $ \square\;$ $ \forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad
A\sim B\;\Longleftrightarrow\; (x\in A\cup B)$
  6. $ \boxtimes\;$ $ \forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad
A\sim B\;\Longleftrightarrow\;
\Big((x\in A\cap B)\vee (x\in {^c\!A}\cap {^c\!B})\Big)$

Vrai-Faux 4   Soient $ E$ un ensemble fini non vide et $ x$ un élément fixé de $ E$. Les relations $ {\cal R}$ définies ci-dessous sont-elles des relations d'ordre sur $ {\cal P}(E)$ (oui ou non et pourquoi) ?
  1. $ \boxtimes\;$ $ \forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad
A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\; A=B$
  2. $ \boxtimes\;$ $ \forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad
A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\; A\subset B$
  3. $ \square\;$ $ \forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad
A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\;
(x\in(A\cap {^c\!B}))$
  4. $ \square\;$ $ \forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad
A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\;
(x\in(A\cup {^c\!B}))$
  5. $ \boxtimes\;$ $ \forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad
A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\;
\Big((A=B)\vee(x\in A\cap {^c\!B})\Big)$

Vrai-Faux 5   Les relations $ {\cal R}$ définies ci-dessous sont-elles des relations d'ordre sur $ \mathbb{R}$ (oui ou non, et pourquoi) ?
  1. $ \square\;$ $ \forall x,y\in\mathbb{R}\;,\quad
x{\cal R} y\;\Longleftrightarrow\; x<y$
  2. $ \boxtimes\;$ $ \forall x,y\in\mathbb{R}\;,\quad
x{\cal R} y\;\Longleftrightarrow\; \mathrm{e}^x\leqslant \mathrm{e}^{y}$
  3. $ \square\;$ $ \forall x,y\in\mathbb{R}\;,\quad
x{\cal R} y\;\Longleftrightarrow\; \vert x\vert\leqslant \vert y\vert$
  4. $ \boxtimes\;$ $ \forall x,y\in\mathbb{R}\;,\quad
x{\cal R} y\;\Longleftrightarrow\;(x-y)\in\mathbb{N}$
  5. $ \square\;$ $ \forall x,y\in\mathbb{R}\;,\quad
x{\cal R} y\;\Longleftrightarrow\; (x-y)\in\mathbb{Z}$

Vrai-Faux 6   Les relations $ {\cal R}$ définies ci-dessous sont-elles des relations d'équivalence sur $ \mathbb{C}$ (oui ou non, et pourquoi) ?
  1. $ \boxtimes\;$ $ z{\cal R} z'\;\Longleftrightarrow\; \vert z\vert=\vert z'\vert$
  2. $ \square\;$ $ z{\cal R} z'\;\Longleftrightarrow\; \vert z/z'\vert=1$
  3. $ \boxtimes\;$ $ z{\cal R} z'\;\Longleftrightarrow\; \mathrm{e}^z= \mathrm{e}^{z'}$
  4. $ \square\;$ $ z{\cal R} z'\;\Longleftrightarrow\; \vert z-z'\vert=1$
  5. $ \boxtimes\;$ $ z{\cal R} z'\;\Longleftrightarrow\; \vert\mathrm{e}^{z-z'}\vert=1$

Vrai-Faux 7   Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ La soustraction est une loi de composition interne dans $ \mathbb{Z}$.
  2. $ \square\;$ 0 est élément neutre de la soustration dans $ \mathbb{Z}$.
  3. $ \square\;$ La soustraction dans $ \mathbb{Z}$ est associative.
  4. $ \boxtimes\;$ 0 est élément neutre pour l'addition dans $ \mathbb{N}$.
  5. $ \boxtimes\;$ L'addition est associative dans $ \mathbb{N}$.

Vrai-Faux 8   Les ensembles suivants, munis de l'addition des réels sont-ils des groupes (oui ou non et pourquoi) ?
  1. $ \boxtimes\;$ $ \big\{ a/10^n ,\;a\in\mathbb{Z} ,\;n\in\mathbb{N} \big\}$
  2. $ \boxtimes\;$ $ \big\{ a/2^n ,\;a\in\mathbb{Z} ,\;n\in\mathbb{Z} \big\}$
  3. $ \boxtimes\;$ $ \big\{ a\sqrt{2} ,\;a\in\mathbb{Z} \big\}$
  4. $ \square\;$ $ \big\{ a\sqrt{2} ,\;a\in\mathbb{N} \big\}$
  5. $ \boxtimes\;$ $ \big\{ a\sqrt{2}+b\sqrt{3} ,\;a,b\in\mathbb{Z} \big\}$
  6. $ \square\;$ $ \big\{ a\sqrt{2}+b\sqrt{3} ,\;a\in\mathbb{Z} ,\;b\in\mathbb{N} \big\}$

Vrai-Faux 9   Les ensembles suivants, munis de la multiplication des réels sont-ils des groupes (oui ou non et pourquoi) ?
  1. $ \boxtimes\;$ $ \big\{ 1,-1 \big\}$
  2. $ \square\;$ $ \big\{ 1,-1,1/2,2 \big\}$
  3. $ \boxtimes\;$ $ \big\{ 2^n ,\;n\in\mathbb{Z} \big\}$
  4. $ \boxtimes\;$ $ \big\{ a2^n ,\;a=\pm 1 ,\;n\in\mathbb{Z} \big\}$
  5. $ \square\;$ $ \big\{ a+b\sqrt{2} ,\;a,b\in\mathbb{Q}^* \big\}$
  6. $ \boxtimes\;$ $ \big\{ a+b\sqrt{2} ,\;a,b\in\mathbb{Q} \big\}\setminus \{0\}$

Vrai-Faux 10   Les ensembles suivants, munis de l'addition et de la multiplication des réels sont-ils des anneaux (oui ou non et pourquoi) ?
  1. $ \square\;$ $ \big\{ b\sqrt{2} ,\;b\in\mathbb{Q} \big\}$
  2. $ \boxtimes\;$ $ \big\{ a+b\sqrt{2} ,\;a,b\in\mathbb{Q} \big\}$
  3. $ \square\;$ $ \big\{ a+b\pi ,\;a,b\in\mathbb{Q} \big\}$
  4. $ \boxtimes\;$ $ \big\{ a+b\sqrt{4} ,\;a,b\in\mathbb{Q} \big\}$
  5. $ \square\;$ $ \big\{ a+b\sqrt[3]{2} ,\;a,b\in\mathbb{Q} \big\}$
  6. $ \square\;$ $ \big\{ a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3} ,\;a,b,c\in\mathbb{Q} \big\}$

Vrai-Faux 11   Les ensembles suivants, munis de l'addition et de la multiplication des réels sont-ils des corps (oui ou non et pourquoi) ?
  1. $ \square\;$ $ \big\{ b\sqrt{2} ,\;b\in\mathbb{Q} \big\}$
  2. $ \boxtimes\;$ $ \big\{ a+b\sqrt{2} ,\;a,b\in\mathbb{Q} \big\}$
  3. $ \square\;$ $ \big\{ a+b\pi ,\;a,b\in\mathbb{Q} \big\}$
  4. $ \boxtimes\;$ $ \big\{ a+b\sqrt{4} ,\;a,b\in\mathbb{Q} \big\}$
  5. $ \square\;$ $ \big\{ a+b\sqrt[3]{2} ,\;a,b\in\mathbb{Q} \big\}$
  6. $ \square\;$ $ \big\{ a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3} ,\;a,b,c\in\mathbb{Q} \big\}$


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