Exercices

Exercice 1   Pour chacune des matrices $A$ suivantes.

1. Déterminer son polynôme caractéristique.
2. Diagonaliser la matrice $A$.
3. Déterminer son polynôme minimal.
4. Pour $n\geqslant 2$, donner une expression de $A^n$ en fonction de $A^{n-1}$ et $A^{n-2}$.

$$\left(\begin{array}{rr} 1&-1\\ 0&0 \end{array}\right) \;;\; \lef... ...nd{array}\right) \;;\; \left(\begin{array}{rr} -3&2\\ -4&3 \end{array}\right)$$

Exercice 2   Pour chacune des matrices $A$ suivantes.

1. Déterminer son polynôme caractéristique.
2. Diagonaliser la matrice $A$.
3. Déterminer son polynôme minimal.
4. Pour $n\geqslant 3$, donner une expression de $A^n$ en fonction de $A^{n-1}$, $A^{n-2}$, $A^{n-3}$.

$$\left(\begin{array}{rrr} 3&1&  1\\ 2&3&2\\ -2&-1&0 \end{array}\... ...) \;;\; \left(\begin{array}{rrr} 1&-2&-2\\ 2&1&2\\ -2&2&1 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{rrr} 1&  0&0\\ 0&1&0\\ 2&0&-1 \end{array}\r... ...;;\; \left(\begin{array}{rrr} 4&-3&-2\\ 2&-1&-2\\ 3&-3&-1 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{rrr} 1&-1&-1\\ -1&1&1\\ 1&1&1 \end{array}\r... ...t) \;;\; \left(\begin{array}{rrr} 1&2&2\\ 0&-1&-2\\ 0&0&1 \end{array}\right)$$

Exercice 3   Pour chacune des matrices $A$ suivantes.

1. Déterminer son polynôme caractéristique.
2. Diagonaliser la matrice $A$.
3. Déterminer le polynôme minimal de $A$.
4. Pour $n\geqslant 4$, donner une expression de $A^n$ en fonction de $A^{n-1}$, $A^{n-2}$, $A^{n-3}$, $A^{n-4}$.

$$\left(\begin{array}{rrrr} -2&-3&0&-3\\ 3&4&-1&2\\ 3&3&1&3\\ -3... ...ray}{rrrr} -1&-2&  0&-2\\ 2&3&1&3\\ 2&2&1&2\\ -2&-2&1&-2 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{rrrr} 1&-1&-1&-1\\ 0&0&1&1\\ 0&0&-1&0\\ 0&... ...array}{rrrr} 2&1&  0&-1\\ 2&1&0&-1\\ 2&-2&2&0\\ -2&1&0&3 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{rrrr} 0&1&  0&0\\ 0&1&0&0\\ 3&-2&1&-1\\ -2... ...ray}{rrrr} 0&  1&  1&  1\\ -2&1&2&0\\ 1&1&0&1\\ -1&1&1&2 \end{array}\right)$$

Exercice 4   Diagonaliser les matrices symétriques suivantes, en trouvant pour chacune une base orthonormée de vecteurs propres.

$$\left(\begin{array}{rrr}   0&  1&  0\\ 1&0&0\\ 0&0&2 \end{array... ...begin{array}{rrr} 1&-\sqrt{2}&  0\\ -\sqrt{2}&2&0\\ 0&0&0 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{rrr}   0&  0&  1\\ 0&1&0\\ 1&0&0 \end{array... ...) \;;\; \left(\begin{array}{rrr} 7&4&-5\\ 4&-2&4\\ -5&4&7 \end{array}\right)$$

Exercice 5   Diagonaliser les matrices symétriques suivantes, en trouvant pour chacune une base orthonormée de vecteurs propres.

$$\left(\begin{array}{rrrr} 1&1&-1&1\\ 1&-1&1&1\\ -1&1&1&1\\ 1&1... ...n{array}{rrrr} 1&1&-1&1\\ 1&1&1&-1\\ -1&1&1&1\\ 1&-1&1&1 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{rrrr} 1&-1&5&-1\\ -1&3&-1&3\\ 5&-1&1&-1\\ ... ...n{array}{rrrr} 1&1&  1&1\\ 1&-1&1&3\\ 1&1&1&1\\ 1&3&1&-1 \end{array}\right)$$

Exercice 6   Pour chacune des matrices $A$ suivantes.

1. Déterminer son polynôme caractéristique.
2. Déterminer son polynôme minimal.
3. Montrer que $A$ n'est pas diagonalisable
4. Calculer une décomposition de Jordan de $A$.

$$\left(\begin{array}{rr} -3&1\\ -1&-1 \end{array}\right) \;;\; \l... ...end{array}\right) \;;\; \left(\begin{array}{rr} 5&1\\ -1&3 \end{array}\right)$$

Exercice 7   Pour chacune des matrices $A$ suivantes.

1. Déterminer son polynôme caractéristique.
2. Déterminer son polynôme minimal.
3. Montrer que $A$ n'est pas diagonalisable
4. Calculer une décomposition de Jordan de $A$.

$$\left(\begin{array}{rrr} 3&  1&  1\\ 1&2&0\\ -1&0&2 \end{array}... ...) \;;\; \left(\begin{array}{rrr} 1&  0&0\\ 0&0&-1\\ 0&1&2 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{rrr} 1&  1&  1\\ -1&0&0\\ 1&0&0 \end{array}... ...) \;;\; \left(\begin{array}{rrr} 1&0&  1\\ 0&1&1\\ 1&-1&1 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{rrr} -1&0&1\\ 0&-1&1\\ 1&-1&-1 \end{array}\... ...\;;\; \left(\begin{array}{rrr} 1&-3&-2\\ 1&-3&-1\\ 0&1&-1 \end{array}\right)$$

Exercice 8   Pour chacune des matrices $A$ suivantes.

1. Déterminer son polynôme caractéristique.
2. Déterminer son polynôme minimal.
3. Montrer que $A$ n'est pas diagonalisable
4. Calculer une décomposition de Jordan de $A$.

$$\left(\begin{array}{rrrr} -1&-2&0&-2\\ 2&4&1&4\\ 2&3&1&3\\ -2&... ...array}{rrrr} 0&-1&1&  0\\ 2&4&-1&2\\ 1&2&0&1\\ -1&-2&1&0 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{rrrr} 0&-1&  0&-1\\ 2&4&0&3\\ 1&2&1&2\\ -1... ...n{array}{rrrr} 1&0&1&  1\\ 0&2&-1&0\\ 0&1&0&0\\ 0&-1&1&1 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{rrrr} 1&-1&0&-1\\ 1&4&1&3\\ 1&2&2&2\\ -1&-... ...array}{rrrr} -1&1&0&0\\ -1&-3&0&0\\ 0&1&-1&1\\ 1&0&-1&-3 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{rrrr} 0&2&2&0\\ 0&3&-1&1\\ 0&-2&2&-2\\ 0&-... ...array}{rrrr} -1&1&0&1\\ -2&0&-1&0\\ 3&-2&1&-1\\ -1&1&0&1 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{rrrr} -1&1&1&  1\\ -3&2&2&1\\ 2&-1&-1&0\\ ... ...{array}{rrrr} 0&2&1&2\\ -2&2&0&1\\ 3&-5&-1&-4\\ -1&2&1&3 \end{array}\right)$$

Exercice 9   On considère la matrice $A$ suivante.

$$A=\left(\begin{array}{rrr}3&  1&1 -2&0&-2 3&3&5\end{array}\right)\;.$$

1. Diagonaliser $A$.
2. En utilisant la forme diagonale de $A$, calculer les coefficients de $A^n$ pour tout $n\in\mathbb{Z}$.
3. Déterminer le polynôme minimal de $A$. En déduire l'expression de $A^2$ et de $A^{-1}$ en fonction de $A$ et $I$.
4. Déduire de la question précédente l'expression de $A^n$ en fonction de $A$ et $I$ pour tout $n\in\mathbb{Z}$.

Exercice 10   On considère la matrice $A$ suivante.

$$A=\left(\begin{array}{rrr}1&0&-1 1&1&-2 1&-1&0\end{array}\right)\;.$$

1. Déterminer le noyau de la matrice $A$.
2. Calculer le polynôme caractéristique de $A$.
3. Montrer que $A$ n'est pas diagonalisable et donner son polynôme minimal.
4. Donner une décomposition de Jordan de $A$.
5. Donner l'expression de $A^n$ en fonction de $n$.

Exercice 11   Soit $A$ une matrice $2\times 2$ à coefficients dans $\mathbb{R}$. On suppose que $A$ admet une valeur propre complexe $\lambda\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$.

1. Montrer que $A$ est diagonalisable dans $\mathbb{C}$.
2. On suppose qu'il existe $n\in\mathbb{N}$ et $a\in\mathbb{R}$ tel que $a$ soit valeur propre de $A^n$.
   1. Montrer que $A^n=a I$.
   2. Montrer que l'argument de $\lambda$ est un multiple de $\frac{2\pi}{n}$.

Exercice 12   Soit $A$ une matrice $2\times 2$ à coefficients dans $\mathbb{C}$. Montrer que la suite $(A^n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers la matrice nulle, si et seulement si les modules des valeurs propres de $A$ sont strictement inférieurs à $1$.

Exercice 13   On considère la matrice $A$ suivante.

$$A=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr}4&-1&-2 2&1&-2 1&-1&1 \end{array}\right)\;.$$

1. Déterminer les valeurs propres de $A$.
2. Soit $v$ un vecteur quelconque de $\mathbb{R}^3$. Montrer que la suite $(A^n v)_{n\in\mathbb{N}}$ converge soit vers le vecteur nul, soit vers un vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $1$.
3. Montrer que
   $$\lim_{n\to+\infty} A^n= \left(\begin{array}{rrr}1&  0&-1 1&0&-1 0&0&0 \end{array}\right)\;.$$

Exercice 14   On considère la matrice symétrique suivante, à coefficients dans $\mathbb{C}$ :

$$A=\left(\begin{array}{cc}a&c c&b\end{array}\right)\;.$$

1. On suppose que $a=b$. Montrer que $A$ est diagonalisable dans la base formée des vecteurs $\binom{1}{1}$ et $\binom{1}{-1}$.
2. On suppose $a=1$, $b=-1$, $c=\mathrm{i}$. Déterminer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de $A$. Montrer que $A$ n'est pas diagonalisable. Déterminer une décomposition de Jordan de $A$.
3. Dans le cas général, montrer que le polynôme caractéristique admet une racine double si et seulement si $c=\pm\frac{a-b}{2\mathrm{i}}$.
4. Pour $a\neq b$ et $c=\pm\frac{a-b}{2\mathrm{i}}$, montrer que la matrice $A$ n'est pas diagonalisable.

Exercice 15   Soit $A\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$ une matrice symétrique. On suppose que $A^k=I$, pour un certain entier $k$. Montrer que $A^2=I$.

Exercice 16   Soient $A$ et $B$ deux matrices symétriques à coefficients réels. On suppose que $A^3=B^3$. Montrer que $A$ et $B$ ont les mêmes valeurs propres, les mêmes vecteurs propres. En déduire que $A=B$.

Exercice 17   Soit $a$ un réel non nul. On considère la matrice $A$ suivante.

$$A=\left(\begin{array}{ccc} 0&a&a^2\\ \frac{1}{a}&0&a\\ \frac{1}{a^2}&\frac{1}{a}&0\end{array}\right)\;.$$

1. Vérifier que $A^2=A+2I$. En déduire le polynôme minimal de $A$. Montrer que $A$ est diagonalisable.
2. Déterminer les sous-espaces propres de $A$.
3. Donner l'expression de $A^n$ en fonction de $A$ et $I$. En déduire l'expression de $\exp(A)$ en fonction de $A$ et $I$.

Exercice 18   On considère la matrice $A$ suivante.

$$A=\left(\begin{array}{rr}0&  0 -1&0\end{array}\right)\;.$$

1. Calculer $A^2$. En déduire $A^n$, pour tout $n\in\mathbb{N}$.
2. Quel est le polynôme caractéristique de $A$ ? Est-elle diagonalisable ?
3. Calculer $\exp(A)$.

Exercice 19   On considère la matrice $A$ suivante.

$$A=\left(\begin{array}{rrr}5&-4&  1 8&-7&2 12&-12&4\end{array}\right)\;.$$

1. Vérifier que $A^2=A$. En déduire le polynôme minimal de $A$.
2. Déterminer les sous-espaces propres de $A$. Quel est son polynôme caractéristique ?
3. Calculer $\exp(A)$.

Exercice 20   Soit $A\in\mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{R})$ une matrice carrée inversible, différente de la matrice identité et telle que $A=A^{-1}$.

1. Quel est le polynôme minimal de $A$ ? Est-elle diagonalisable ?
2. Donner en fonction de $A$ et $I$ l'expression de $A^n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$, puis celle de $\exp(A)$.

Exercice 21   Soit $a$ un réel. On considère la matrice $A$ suivante.

$$A=\left(\begin{array}{rcc}-1&a+1&0 1&a&1 3&-a-1&2\end{array}\right)\;.$$

1. Vérifier que $-1$ est valeur propre de $A$.
2. Factoriser le polynôme caractéristique de $A$.
3. Si $a$ est différent de $-1$ et $2$, montrer que $A$ est diagonalisable.
4. Pour $a=2$, montrer que $A$ n'est pas diagonalisable.
5. Pour $a=-1$, diagonaliser $A$.

Exercice 22   Soit $a$ un réel. On considère la matrice $A$ suivante.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2&0&1-a -1&1&a-1 a-1&0&2a\end{array}\right)\;.$$

1. Factoriser le polynôme caractéristique de $A$.
2. Déterminer en fonction de $a$ la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre $a+1$.
3. Pour quelles valeurs de $a$ la matrice $A$ est-elle diagonalisable ?

Exercice 23   Soient $a$ et $b$ deux réels. On considère la matrice $A$ suivante.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0 0&0&1 ab&-(a+b+ab)&a+b+1\end{array}\right)\;.$$

1. Calculer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de $A$ (on pourra observer que $A$ est la transposée d'une matrice compagnon).
2. Calculer l'image par $A$ du vecteur dont les trois coordonnées valent $1$.
3. Déterminer les valeur propres et les sous espaces propres de $A$.
4. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $a$ et $b$ pour que $A$ soit diagonalisable.

Exercice 24   Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels non tous nuls. On note $v$ le vecteur ${^t\!(a,b,c)}$. On considère la matrice $A$ suivante.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}a^2&ab&ac ab&b^2&bc ac&bc&c^2\end{array}\right)\;.$$

Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ représenté par la matrice $A$ dans la base canonique.

1. Montrer que $f$ est diagonalisable.
2. Montrer que $\mathrm{Im}(f)$ est la droite vectorielle engendrée par $v$.
3. Donner l'expression de $A^n$, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$.
4. Déterminer $\mathrm{Ker}(f)$.
5. D'éterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de $f$.
6. Si $a^2+b^2+c^2=1$, montrer que $f$ est la projection orthogonale sur la droite engendrée par $v$.

Exercice 25   Soient $a,b,c,d,e,f$ six réels. Pour chacune des matrices $A$ suivantes, donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $a,b,c,d,e,f$ pour que $A$ soit diagonalisable.

$$\left(\begin{array}{cccc} 1&a&b&c\\ 0&1&d&e\\ 0&0&1&f\\ 0&0&0&... ...n{array}{cccc} 1&a&b&c\\ 0&1&d&e\\ 0&0&2&f\\ 0&0&0&2 \end{array}\right) \;.$$

Exercice 26   Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$ à coefficients réels.

1. On suppose que $A$ est inversible. Montrer qu'il existe un polynôme $P$ de degré strictement inférieur à $n$ tel que $A^{-1}=P(A)$.
2. On suppose que $A^3-2A^2-A+2I=0$. Montrer que $A$ est inversible et diagonalisable.

Exercice 27   Soit $A$ une matrice $n\times n$ diagonalisable. On considère la matrice $B$ $2n\times 2n$, formée de 4 blocs égaux à $A$.

$$B=\left(\begin{array}{cc} A&A\\ A&A\\ \end{array}\right) \;.$$

1. Soit $\lambda$ une valeur propre de $A$ et $v$ un vecteur propre associé.
   1. On note $V$ le vecteur obtenu en concaténant deux copies de $v$. Montrer que $V$ est vecteur propre de $B$ associé à la valeur propre $2\lambda$.
   2. On note $V'$ le vecteur obtenu en concaténant une copie de $v$ et une copie de $-v$. Montrer que $V'$ est vecteur propre de $B$ associé à la valeur propre 0.
2. En déduire que $B$ est diagonalisable.

Exercice 28   Soit $A$ une matrice $n\times n$ diagonalisable. On considère la matrice $B$ $2n\times 2n$, formée de 3 blocs nuls et un égal à $A$.

$$B=\left(\begin{array}{cc} 0&A\\ 0&0\\ \end{array}\right) \;.$$

1. Quel est le polynôme caractéristique de $B$ ?
2. Montrer que $B$ est diagonalisable si et seulement si $A$ est la matrice nulle.

Exercice 29   Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. Soit $f$ un endomorphisme de $E$. On suppose que $f^4=f^2$.

1. Montrer que le polynôme minimal de $f$ divise le polynôme $X^4-X^2$.
2. Parmi les diviseurs de $X^4-X^2$, lesquels sont des polynômes minimaux d'endomorphismes diagonalisables .
3. Montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement si $f^3=f$.

Exercice 30   Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. Soit $f$ un endomorphisme de $E$, que l'on suppose diagonalisable.

1. Montrer que $\mathrm{Ker}(f)=\mathrm{Ker}(f^2)$ et $\mathrm{Im}(f)=\mathrm{Im}(f^2)$.
2. On suppose que $f$ a une seule valeur propre. Quel est le polynôme caractéristique de $f$, quel est son polynôme minimal ? Montrer que $f$ est une homothétie.
3. On suppose que $f$ a deux valeurs propres, 0 et $1$. Quel est le polynôme minimal de $f$ ? Montrer que $f$ est une projection.
4. On suppose que $f$ a deux valeurs propres, $1$ et $-1$. Quel est le polynôme minimal de $f$ ? Montrer que $f$ est une symétrie.
5. On suppose que $f$ a deux valeurs propres disctinctes $a$ et $b$. Ecrire $f$ comme somme d'une homothétie et d'une projection, puis d'une homothétie et d'une symétrie.

Exercice 31   Soit $E=\mathbb{R}_n[X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$. Soit $Q$ un élément fixé de $E$, de degré $k$ tel que $1\leqslant k\leqslant n$. On considère l'application $f$ de $E$ dans $E$, qui à un polynôme $P$ associe le reste de la division euclidienne de $P$ par $Q$.

1. Montrer que $f$ est un endomorphisme de $E$.
2. Montrer que $f^2=f$ ($f$ est une projection).
3. En déduire que $f$ est diagonalisable.
4. Montrer que $\mathrm{Ker}(f)$ est l'ensemble des polynômes multiples de $A$. Donner une base de $\mathrm{Ker}(f)$.
5. Montrer que $\mathrm{Ker}(f-\mathrm{I}_E)=\mathrm{Im}(f)$. Donner une base de $\mathrm{Ker}(f-\mathrm{I}_E)$.
6. Si $Q=X^k$, quelle est la matrice de $f$ dans la base canonique de $E$ ?
7. On considère le cas particulier $n=4$, $Q=X^2-1$.
   1. Donner la matrice $A$ de $f$ dans la base canonique de $E$.
   2. Déterminer une matrice $P$ telle que la matrice $P^{-1} A P$ soit diagonale.

Exercice 32   Soit $E=\mathbb{R}_n[X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$. On considère l'application $f$ qui à un polynôme $P$ associe $f(P)=(X-1)P'+P$.

1. Montrer que $f$ est un endomorphisme de $E$.
2. Pour $k\leqslant n$, quelle est l'image par $f$ du polynôme $X^k$ ? Écrire la matrice de $f$ dans la base canonique de $E$.
3. Montrer que $f$ est un automorphisme de $E$ et qu'il est diagonalisable.
4. Quel est le sous espace propre associé à la valeur propre $1$ ?
5. Soit $\lambda\neq 1$ une valeur propre de $f$ et $P$ un vecteur propre de $f$ associé à $\lambda$.
   1. Montrer que $1$ est racine de $P$.
   2. Montrer qu'il existe un réel $c$ tel que $P=c(X-1)^{\lambda-1}$.
   3. Quel est le sous-espace propre associé à $\lambda$ ?

Exercice 33   Soit $E=\mathbb{R}_n[X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$. On considère l'application $f$ qui à un polynôme $P$ associe $f(P)=X^2P''-XP'$.

1. Montrer que $f$ est un endomorphisme de $E$.
2. Pour $k\leqslant n$, quelle est l'image par $f$ du polynôme $X^k$ ? Écrire la matrice de $f$ dans la base canonique de $E$.
3. Déterminer les valeurs propres de $f$.
4. On définit la suite de polynômes $(H_k)$ par $H_0=1$, $H_1=X$ et pour tout $k\geqslant 2$, $H_{n}=XH_{n-1}-(n-1)H_{n-1}$. Montrer que $H_k$ est vecteur propre de $f$.
5. En déduire que $f$ est diagonalisable.

Exercice 34   Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$, et $f$ un endomorphisme de $E$. Soit $A$ la matrice de $f$ dans une base quelconque de $E$.

1. On suppose désormais que $f$ est de rang $1$. Quelle est la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre 0 ?
2. On note $\lambda$ la trace de $A$. Montrer que $\lambda$ est valeur propre de $f$.
3. Montrer que le polynôme caractéristique de $f$ est $P_f(X)=(-1)^nX^{n-1}(X-\lambda)$.
4. Montrer que le polynôme minimal de $f$ est $X(X-\lambda)$.
5. Montrer $f$ est diagonalisable si et seulement si la trace de $A$ est non nulle.
6. Soit $v$ un vecteur non nul de $\mathrm{Im}(f)$. Montrer que $v$ est vecteur propre de $f$, associé à la valeur propre $\lambda$.
7. Déterminer (sans autre calcul que celui de leur trace) les valeurs propres et les sous-espaces propres des matrices suivantes.
   $$\left(\begin{array}{rrr}1&  0&-1 0&0&0 -1&0&1\end{array}\righ... ...ght) \;;\; \left(\begin{array}{rrr}1&1&-1 -2&-2&2 1&1&-1\end{array}\right)$$

Exercice 35   Soit $A$ une matrice fixée de $\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$. On considère l'application $f$ qui à $M\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$ associe $f(M)=\mathrm{tr}(A) M-\mathrm{tr}(M) A$, à $\mathrm{tr}$ désigne la trace d'une matrice (somme des coefficients diagonaux). Soit $F$ l'ensemble des matrices de $\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$, de trace nulle.

1. Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$.
2. Montrer que $A$ est vecteur propre de $f$ associé à la valeur propre 0. Montrer que le sous-espace propres associé à la valeur propre 0 est de dimension $1$.
3. Montrer que $\mathrm{Im}(f)=F$. Quelle est la dimension de $F$ ?
4. Montrer que $F$ est le sous-espace propre de $f$ associé à la valeur propre $\mathrm{tr}(A)$.
5. En déduire que $f$ est diagonalisable, et que c'est la composée de la projection sur $F$ parallèlement à la droite engendrée par $A$ avec l'homothétie de rappport $\mathrm{tr}(A)$.

Exercice 36   Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$, qui à une matrice associe sa transposée.

1. Quel est le sous-espace propre de $f$ associé à la valeur propre $1$ ? Quelle est sa dimension ?
2. Quel est le sous espace propre de $f$ associé à la valeur propre $-1$ ? Quelle est sa dimension ?
3. Montrer que $f$ est diagonalisable, donner son polynôme caractéristique et son polynôme minimal.

Exercice 37   Soit $A$ une matrice d'ordre $6$, telle que $A^3-3A^2+2A=0$

1. Vérifier que les valeurs propres de $A$ sont 0, $1$, et $2$.
2. On suppose que la trace de $A$ est $8$. Quelle sont les multiplicités de chacune des valeurs propres, quel est le polynôme caractéristique de $A$ ?

Exercice 38   Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. On note $J$ la matrice de taille $n\times n$ dont tous les coefficients valent $1$.

1. Montrer que $J$ est diagonalisable.
2. Exprimer $J^2$ en fonction de $J$. En déduire le polynôme minimal de $J$, ainsi qu'une base du sous-espace propre associé à la valeur propre $n$.
3. Pour tout $i\in\{1,\ldots,n-1\}$, on note $v_i$ le vecteur défini par :
   $$v_i(k) = \left\{\begin{array}{rl} 1&\mbox{si } k=1\\ -1&\mbox{si } k=i+1\\ 0&\mbox{sinon} \end{array}\right.$$
   Montrer que $(v_1,\ldots,v_{n-1})$ est une base de $\mathrm{Ker}(J)$.
4. Soient $a$ et $b$ deux réels. On note $A$ la matrice $aI+bJ$, où $I$ désigne la matrice indentité de taille $n\times n$. Utiliser ce qui précède pour diagonaliser la matrice $A$.

Exercice 39   Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de $\mathbb{C}^n$. Soit $\sigma\in\mathcal{S}_n$ une permutation. On lui associe l'endomorphisme $f_\sigma$ qui à $e_i$ associe $e_{\sigma(i)}$, pour tout $i=1,\ldots,n$.

1. On suppose que $\sigma$ est un cycle de longueur $n$. Montrer que le polynôme caractéristique de $f$ est $(-1)^n(X^n-1)$. En déduire que $f$ est diagonalisable dans $\mathbb{C}$.
2. On suppose que $f$ est le produit de deux cycles de longueurs $k$ et $n-k$, à supports disjoints. Montrer que le polynôme caractéristique de $f$ est $(-1)^n(X^k-1)(X^{n-k}-1)$. Montrer que $f$ est diagonalisable.
3. Dans le cas général, utiliser la décomposition de $\sigma$ en produit de cycles pour montrer que $f$ est diagonalisable.

Exercice 40   On considère la matrice $A$ suivante.

$$A=\left(\begin{array}{rrr}-1&2&1 2&-1&-1 -4&4&3\end{array}\right)\;.$$

1. Diagonaliser $A$.
2. En déduire l'expression de $A^n$ pour tout $n$, et de $\exp(At)$, pour $t\in \mathbb{R}$.
3. Calculer la solution du système différentiel $X'(t)=AX(t)$, où $X(t)$ est une application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}^3$, telle que $X(0)={^t\!(1,0,-1)}$.
4. Soit $(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par $U_0={^t\!(1,0,-1)}$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $U_{n+1}=AU_n$. Donner l'expression de $U_n$ en fonction de $n$.

Exercice 41   On considère la matrice $A$ suivante.

$$A=\left(\begin{array}{rrr}-1&  2&0 2&2&-3 2&2&1\end{array}\right)\;.$$

1. Donner une décomposition de Jordan pour $A$.
2. En déduire l'expression de $A^n$ pour tout $n$, et de $\exp(At)$, pour $t\in \mathbb{R}$.
3. Calculer la solution du système différentiel $X'(t)=AX(t)$, où $X(t)$ est une application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}^3$, telle que $X(0)={^t\!(1,0,-1)}$.
4. Soit $(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par $U_0={^t\!(1,0,-1)}$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $U_{n+1}=AU_n$. Donner l'expression de $U_n$ en fonction de $n$.

Exercice 42   Soit $(u_n)$ une suite de réels vérifiant, pour tout $n\in\mathbb{N}$,

$$u_{n+3}=6u_{n+2}-11u_{n+1}+6u_n\;.$$

On pose $U_n={^t\!(u_n,u_{n+1},u_{n+2})}$.

1. Écrire la matrice $A$ telle que $U_{n+1}=AU_n$.
2. Diagonaliser $A$.
3. En déduire une expression de $A^n$ en fonciton de $n$.
4. Donner l'expression de $u_n$ en focntion de $U_0$, $u_1$, $u_2$ et $n$.

Exercice 43   Une multinationale américaine envoie chaque année un quart de ses gains américains en Europe, et autant au Japon. Le reste demeure aux États-Unis. Les filiales européennes et japonaises rendent la moitié de leurs gains aux États-Unis. Pour l'année $n$, on note $a_n$, $e_n$ et $j_n$ la proportion des gains restant en Amérique, en Europe et au Japon respectivement, et $U_n$ le vecteur ${^t\!(a_n,e_n,j_n)}$.

1. Écrire la matrice $A$ telle que $U_{n+1}=AU_n$.
2. Calculer les valeurs propres de $A$.
3. Soit $v$ le vecteur propre associé à la valeur propre $1$, à coordonnées positives, dont la somme des coordonnées vaut $1$. Calculer $v$.
4. Montrer que $A^n$ converge vers la matrice dont toutes les colonnes sont égales à $v$, et que $U_n$ converge vers $v$, quel que soit $U_0$.

Exercice 44   Doudou le hamster ne connaît que trois activités : dormir, manger, faire de l'exercice dans sa roue. Il peut changer d'activité à chaque minute.

• Quand il dort, il a 8 chances sur 10 de ne pas se réveiller la minute suivante.
• Quand il se réveille il a autant de chances de se mettre à manger que de faire de l'exercice.
• Chaque repas, et chaque séance d'exercice dure une minute, après quoi il s'endort.

On note $d_n$, $m_n$, $e_n$ les probabilités qu'il a de dormir, manger et faire de l'exercice, durant la minute $n$, et $U_n$ le vecteur ${^t\!(d_n,m_n,e_n)}$.

1. Écrire la matrice $A$ telle que $U_{n+1}=AU_n$.
2. Calculer les valeurs propres de $A$.
3. Soit $v$ le vecteur propre associé à la valeur propre $1$, à coordonnées positives, dont la somme des coordonnées vaut $1$. Calculer $v$.
4. Montrer que $A^n$ converge vers la matrice dont toutes les colonnes sont égales à $v$, et que $U_n$ converge vers $v$, quel que soit $U_0$.

Exercice 45   On considère l'espace vectoriel $E$ des applications continues sur $[0,1]$, à valeurs dans $\mathbb{R}$. À tout élément $f$ de $E$, on associe l'application $\varphi(f)$ définie par $\varphi(f)(0)=f(0)$ et pour tout $x\in]0,1]$ :

$$\varphi(f)(x) = \frac{1}{x} \int_0^x f(t) \mathrm{d}t\;.$$

1. Montrer que l'application $\varphi$ est un endomorphisme de $E$.
2. Soit $\lambda\in]0,1]$. on considère l'application $f_\lambda : x\longmapsto x^{\frac{1-\lambda}{\lambda}}$. Calculer $\varphi(f_\lambda)$.
3. En déduire que $f_\lambda$ est vecteur propre de $\varphi$ associé à la valeur propre $\lambda$.
4. Soit $f$ un élément de $E$ et $\lambda$ un réel tel que $\varphi(f)=\lambda f$. Montrer que $f$ est solution sur $]0,1[$ de l'équation différentielle $\lambda xf'(x) +(\lambda-1)f(x)=0$.
5. Montrer que cette équation n'admet de solution non nulle, prolongeable par continuité en 0 que pour $\lambda\in]0,1]$.