QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1   Soit $P\in\mathbb{R}[X]$ un polynôme à coefficients réels, et $d$ un entier naturel non nul.

Si le degré de $P$ est $d$, alors le degré de $P-X^d$ est strictement inférieur à $d$.

Si le degré de $P$ est $d$, alors le degré de $P'$ est $d-1$.

Si le degré de $P$ est $d$, alors le degré de $P(X-1)$ est $d-1$.

Si le degré de $P$ est $d$, alors le degré de $P'(X-1)$ est $d-1$.

Si le degré de $P$ est $d$, alors le degré de $(X+2)P(X+2)$ est $d+2$.

Question 2   Soient $P$ un polynôme non nul à coefficients réels.

Le degré de $P((X+2)^2)$ est le double du degré de $P$.

Le degré de $(X+2)P((X+2)^2)$ est toujours supérieur ou égal à $2$.

Le degré de $P'((X+2)^2)$ est soit un entier pair, soit $-\infty$.

Le degré de $(X+2)^2P'((X+2)^2)$ est toujours supérieur ou égal à $2$.

Le degré de $(X+2)^2P'((X+2)^2)$ est toujours le double du degré de $P$.

Question 3   Soient $P$ et $Q$ deux polynômes non nuls, à coefficients réels.

Les polynômes $P(Q)$ et $Q(P)$ ont toujours le même degré.

Les polynômes $PQ$ et $P(Q)$ ont toujours le même degré.

Si le polynôme $Q$ est constant, alors les polynômes $PQ$ et $P(Q)$ ont le même degré.

Si les polynômes $P+Q$ et $PQ$ ont le même degré, alors au moins un des deux polynômes $P$ et $Q$ est constant.

Si les polynômes $PQ$ et $P(Q)$ ont le même degré, alors les deux polynômes $P$ et $Q$ sont constants.

Question 4   Soit $P\in\mathbb{R}[X]$ un polynôme non nul à coefficients réels.

Si $2$ est racine de $P$, alors 0 est racine de $P(X)-2$.

Si $2$ est racine double de $P$, alors $P'$ est divisible par $(X-2)$.

Si $P'$ est divisible par $(X-2)$ alors $2$ est racine double de $P$.

Si $2$ est racine double de $P'$, alors $P$ est divisible par $(X-2)^3$.

Si $2$ est racine double de $P$ et de $P'$, alors $P$ est divisible par $(X-2)^3$.

Question 5   Soient $P$ et $Q$ deux polynômes non nuls à coefficients réels.

Si $P$ divise $Q$ alors $P+Q$ divise $Q^2$.

Si $P$ divise $Q$, alors $P'$ divise $Q'$.

Si $P$ divise $Q$, alors $P^2$ divise $Q^2$.

Si $P$ divise $Q$, alors $P(X^2)$ divise $Q(X^2)$.

Si $P$ divise $Q$, alors $P$ divise $Q(P)$.

Question 6   Soit $P$ un polynôme non nul à coefficients réels.

Le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-2)$ est $P(2)$.

Si $P(2)=P'(2)$, alors les restes des divisions euclidiennes de $P$ et $P'$ par $(X-2)$ sont égaux.

Le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-2)^2$ est $P'(2)(X-2)$.

Si le reste de la division euclidienne de $P'$ par $(X-2)$ est nul, alors $2$ est racine double de $P$.

Si le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-2)^2$ est $(X-2)$, alors $2$ est racine double de $P'$.

Question 7   Soient $P$ et $Q$ deux polynômes non nuls à coefficients réels.

Si $P$ est premier avec $Q$, alors le reste de la division euclidienne de $P$ par $Q$ est $1$.

Si $P$ est premier avec $Q$, alors $P$ est premier avec $(X+2)P+2Q$.

Si $P$ est premier avec $Q$, alors $P'$ est premier avec $Q'$.

Si $P$ est premier avec $Q$, alors $P+Q$ est premier avec $P^2-Q^2$.

Si $P$ est premier avec $Q$, alors $P$ est premier avec $P^2+2Q^2$.

Question 8   Soit $P\in\mathbb{R}[X]$ un polynôme à coefficients réels.

Si le degré de $P$ est pair, alors $P'$ possède au moins une racine réelle.

Si $P$ est de degré $3$, alors $P'$ est irréductible dans $\mathbb{R}[X]$.

Si $P$ divise $(X^5-1)$, alors $P'$ admet au moins une racine réelle.

Si un nombre complexe $z$ de partie imaginaire non nulle est racine de $P$, alors $P$ est divisible par le polynôme $(X^2-2\mathrm{Re}(z) X+\vert z\vert^2)$.

Si $P$ divise $(X^5-1)^2$, alors $P'$ est premier avec $P$.

Question 9    

Le polynôme $(X^4+4)$ est réductible dans $\mathbb{Q}[X]$

Le polynôme $(X^4+4)$ est irréductible dans $\mathbb{R}[X]$

Le polynôme $(X^4+4)$ est irréductible dans $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}[X]$.

Le polynôme $(X^4+4)$ est scindé dans $\mathbb{R}[X]$.

Le polynôme $(X^4+4)$ est scindé dans $\mathbb{C}[X]$

Question 10   On considère la fraction rationnelle :

$$\frac{P}{Q}=\frac{2X^2}{X^4-1}$$

La décomposition de $P/Q$ dans $\mathbb{R}(X)$ a un seul élément simple.

La décomposition de $P/Q$ dans $\mathbb{C}(X)$ admet $2$ pour partie entière.

La décomposition de $P/Q$ dans $\mathbb{R}(X)$ admet un élément simple proportionnel à $1/(X+1)$

La décomposition de $P/Q$ dans $\mathbb{R}(X)$ contient les deux éléments simples
$1/(X^2-1)$ et $1/(X^2+1)$.

La décomposition de $P/Q$ dans $\mathbb{C}(X)$ contient quatre éléments simples.