Exercices

Exercice 3   On considère les couples de polynômes $ (P,Q)$ suivants dans $ \mathbb{R}[X]$.
$ \bullet$
$ P=X$, $ Q=X-1$
$ \bullet$
$ P=X$, $ Q=X^2-1$
$ \bullet$
$ P=X^2$, $ Q=X^2-1$
$ \bullet$
$ P=X^2-1$, $ Q=X^2+X+1$
$ \bullet$
$ P=X^2-2X+1$, $ Q=X^2+X+1$
$ \bullet$
$ P=X^2-1$, $ Q=X^3-1$
$ \bullet$
$ P=X^3-X^2+2X-2$, $ Q=X^3-1$
Pour chacun de ces couples :
  1. Écrire les polynômes $ P'$ et $ Q'$.
  2. Calculer le polynôme $ PQ$.
  3. Calculer les polynômes $ P'Q$ et $ PQ'$.
  4. Vérifier la formule $ (PQ)'=P'Q+PQ'$
  5. Calculer les polynômes $ P\circ Q$ et $ Q\circ P$.
  6. Vérifier les formules

    $\displaystyle (P\circ Q)'=Q'(P'\circ Q)$   et$\displaystyle \quad
(Q\circ P)'=P'(Q'\circ P)
$

Exercice 4    
  1. Déterminer l'ensemble des polynômes $ P$ de $ \mathbb{R}[X]$, de degrés au plus $ 2$, tels que

    $\displaystyle P(X+1)P(X)=-P(X^2)
$

  2. Déterminer l'ensemble des polynômes $ P$ de $ \mathbb{R}[X]$ tels que

    $\displaystyle P(2X)=P'P''
$

  3. Déterminer l'ensemble des polynômes $ P$ de $ \mathbb{R}[X]$ tels que

    $\displaystyle P(X^2)=(X^2+1)P(X)
$

  4. Déterminer l'ensemble des polynômes $ P$ de $ \mathbb{R}[X]$ tels que

    $\displaystyle X(X+1)P'' +(X+2)P'-P=0
$

  5. Déterminer l'ensemble des polynômes $ P$ de $ \mathbb{C}[X]$ tels que

    $\displaystyle 18P=P'P''
$

  6. Montrer que pour tout $ n\in\mathbb{N}$, il existe un polynôme unique $ P_n$ de $ \mathbb{R}[X]$ tel que

    $\displaystyle P_n-P'_n=X^n
$

    et calculer $ P_n$.

Exercice 5   On pose $ C_0=1$, $ C_1=X$ et pour $ n\geqslant 2$, on définit le $ n$-ième polynôme de Chebyshev $ C_n$ par la relation de récurrence :

$\displaystyle C_n = 2XC_{n-1}-C_{n-2}.
$

  1. Calculer $ C_2$, $ C_3$ et $ C_4$.
  2. Montrer que pour tout $ n\in\mathbb{N}$, le polynôme $ C_n$ est de degré $ n$ et calculer son coefficient dominant.
  3. Montrer que pour tout $ n\in\mathbb{N}$, et pour tout $ \theta\in\mathbb{R}$, $ \cos(n\theta)=C_n(\cos(\theta))$.
  4. En déduire les racines de $ C_n$.
  5. Montrer que pour tout $ n\in\mathbb{N}$,

    $\displaystyle (1-X^2)C'' _n -X C'_n +n^2C_n=0\;.
$

Exercice 6   Soit $ n$ un entier strictement positif.
  1. Montrer que pour tout polynôme $ P$ de $ \mathbb{R}_n[X]$, il existe un unique polynôme $ Q$ de $ \mathbb{R}_n[X]$ tel que

    $\displaystyle P(X)P(-X)=Q(X^2)
$

    Dans toute la suite, on note $ \phi$ l'application de $ \mathbb{R}_n[X]$ dans lui-même qui à un polynôme $ P$ associe le polynôme $ Q$ tel que $ P(X)P(-X)=Q(X^2)$.
  2. Calculer $ \phi(1)$, $ \phi(X)$, $ \phi(X+1)$, $ \phi(X-1)$, $ \phi(X^2-1)$, $ \phi(X^2+2X+1)$.
  3. Démontrer que

    $\displaystyle \forall P_1,P_2\in\mathbb{R}_n[X]\;,\quad
\phi(P_1P_2)=\phi(P_1)\phi(P_2)
$

  4. Trouver deux polynômes $ P_1$ et $ P_2$ tels que $ \phi(P_1+P_2)\neq \phi(P_1)+\phi(P_2)$.

Exercice 7   Soit $ n$ un entier strictement positif. On se place dans l'anneau des polynômes à coefficients réels $ \mathbb{R}[X]$.
  1. Montrer que $ X-1$ divise $ X^n-1$.
  2. Montrer $ X^2+2X$ divise $ (X+1)^{2n}-1$.
  3. Montrer que $ X^2$ divise $ (X+1)^n-nX-1$.
  4. Montrer que $ (X-1)^2$ divise $ X^n-nX+n-1$.
  5. Montrer que $ (X-1)^2$ divise $ nX^{n+1}-(n+1)X^n+1$.
  6. Montrer que $ (X-1)^2$ divise

    $\displaystyle \left(\sum_{k=0}^{n-1} X^k\right)^2-n^2X^{n-1}
$

  7. Montrer que $ (X-1)^3$ divise $ nX^{n+2}-(n+2)X^{n+1}(n+2)X-n$
  8. Soit $ P$ un polynôme quelconque. Montrer que si $ X-1$ divise $ P(X^n)$ alors

    $\displaystyle \sum_{k=0}^{2n-1} X^k$ divise $\displaystyle P(X^{2n})
$

Exercice 8   On se place dans l'anneau de polynômes $ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[X]$.
  1. Ecrire tous les polynômes de degrés inférieurs ou égaux à $ 2$.
  2. Parmi tous les polynômes de degrés inférieurs ou égaux à $ 2$, lesquels sont irréductibles ?
  3. Pour chacun des polynômes de degrés inférieurs ou égaux à $ 2$, écrire sa valeur en $ \mathfrak{cl}(0)$ et $ \mathfrak{cl}(1)$.
  4. Soit $ P$ un polynôme de $ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[X]$. Montrer que l'application associée à $ P$ est l'application nulle, si et seulement si $ P$ est divisible par $ X^2+X$.
  5. Montrer que l'application associée à $ P$ est l'application identique, si et seulement si la division euclidienne de $ P$ par $ X^2+X$ a pour reste $ X$.
  6. Si $ P$ est de degré au moins $ 2$ et irréductible, montrer que l'application associée à $ P$ est l'application constante égale à $ \mathfrak{cl}(1)$.

Exercice 9   Dans $ \mathbb{R}[X]$, effectuer la division euclidienne de $ P$ par $ Q$ pour les couples $ (P,Q)$ suivants.
  1. $ P=X^2-1$, $ Q=X-1$
  2. $ P=X^3-1$, $ Q=X^2+1$
  3. $ P=X^4-1$, $ Q=X^2+1$
  4. $ P=X^4-2X^2+1$, $ Q=X^2-2X+1$
  5. $ P=X^4-X^3+X-2$, $ Q=X^2-2X+4$
  6. $ P=X^4+2X^3-X+6$, $ Q=X^3-6X^2+X+4$
  7. $ P=3X^5+4X^2+1$, $ Q=X^2+2X+3$
  8. $ P=3X^5+2X^4-X^2+1$, $ Q=X^3+X+2$
  9. $ P=X^5-X^4+2X^3+X^2+4$, $ Q=X^2-1$
  10. $ P=X^6-3X^4+3X^2-1$, $ Q=X^2-X$
  11. $ P=X^6-X^5+X^2-1$, $ Q=X^3-X$
  12. $ P=X^6-2X^4+X^3+1$, $ Q=X^3+X^2+1$

Exercice 10   On considère les couples de polynômes $ (P,Q)$ suivants dans $ \mathbb{R}[X]$.
$ \bullet$
$ P=X-1$, $ Q=X$
$ \bullet$
$ P=X-1$, $ Q=X-2$
$ \bullet$
$ P=X^3-2$, $ Q=X^2-1$
$ \bullet$
$ P=X^3-1$, $ Q=X^2+1$
$ \bullet$
$ P=X^3+1$, $ Q=X^2+X+1$
$ \bullet$
$ P=X^4-1$, $ Q=X^2-4$
Pour chacun de ces couples :
  1. Effectuer la division euclidienne de $ P$ par $ Q$.
  2. Vérifier, en utilisant l'algorithme d'Euclide, que $ P$ et $ Q$ sont premiers entre eux.
  3. Déterminer l'ensemble des couples de polynômes $ (S,T)$ tels que $ S P+T Q=1$.

Exercice 11   Soient $ A$ et $ B$ deux polynômes de $ \mathbb{R}[X]$, $ Q$ et $ R$ le quotient et le reste de la division euclidienne de $ A$ par $ B$. Soit $ P$ un polynôme de degré au moins égal à $ 1$. Démontrer que le quotient de la division euclidienne de $ A\circ P$ par $ B\circ P$ est $ Q\circ P$ et que le reste est $ R\circ P$.

Exercice 12   Soit $ (P_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite de polynômes définie par $ P_0=1$, $ P_1=X$ et pour tout $ n\in\mathbb{N}$ :

$\displaystyle P_{n+2}=XP_{n+1}-P_n.
$

  1. Calculer $ P_2$ et $ P_3$.
  2. Montrer que pour tout $ n\in\mathbb{N}$, $ P_n$ est de degré $ n$.
  3. Montrer que $ P_n$ est un polynôme pair si $ n$ est pair, impair si $ n$ est impair.
  4. Montrer que pour tout $ n\in\mathbb{N}$ :

    $\displaystyle P^2_{n+1}-P_nP_{n+2}=1.
$

  5. En déduire que pour tout $ n\in\mathbb{N}$, les polynômes $ P_n$ et $ P_{n+1}$ sont premiers entre eux.

Exercice 13   On considère les couples de polynômes $ (P,Q)$ suivants dans $ \mathbb{R}[X]$.
$ \bullet$
$ P=X^4-1$, $ Q=X^2-1$
$ \bullet$
$ P=X^6-1$, $ Q=X^4-1$
$ \bullet$
$ P=X^3+1$, $ Q=X^2-1$
$ \bullet$
$ P=X^3-2X^2-X+2$, $ Q=X^3-6X^2+11X-6$
$ \bullet$
$ P=X^3-X^2-X-2$, $ Q=X^3-1$
$ \bullet$
$ P=X^4+X^3-2X+1$, $ Q=X^3+X+1$
$ \bullet$
$ P=X^4+X^3-3X^2-4X-1$, $ Q=X^3+X^2-X-1$
$ \bullet$
$ P=X^4+X^3+2X^2+X+1$, $ Q=X^4-1$
$ \bullet$
$ P=X^3-X^2-X-2$, $ Q=X^5-2X^4+X^2-X-2$
$ \bullet$
$ P=X^5+5X^4+9X^3+7X^2+5X+3$, $ Q=X^4-2X^3+2X^2+X+1$
Pour chacun de ces couples :
  1. Utiliser l'algorithme d'Euclide pour calculer $ \mathrm{pgcd}(P,Q)$.
  2. Decomposer $ P$ et $ Q$ en facteurs irréductibles.
  3. En déduire la décomposition en facteurs irréductibles de $ \mathrm{pgcd}(P,Q)$ et retrouver le résultat de la première question.

Exercice 14   On considère les triplets de polynômes de $ \mathbb{R}[X]$ suivants.
$ \bullet$
$ A=X^2-X$, $ B=X^2-X$, $ C=X^2-1$
$ \bullet$
$ A=(X+3)^2(X+1)(X^2+1)^3$, $ B=(X+3)^2(X+2)^2(X^2+1)$, $ C=(X+3)(X+2)(X^2+1)^2$
$ \bullet$
$ A=X^2+3X+2$, $ B=X^3+2X^2+X+2$, $ C=X^5+4X^4+6X^3+6X^2+5X+2$
Pour chacun de ces triplets :
  1. Calculer $ \mathrm{pgcd}(A,B)$, $ \mathrm{pgcd}(A,C)$ et $ \mathrm{pgcd}(B,C)$.
  2. Calculer $ \mathrm{pgcd}(A,B,C)$.

Exercice 15   Soient $ a$ et $ b$ deux nombres complexes distincts. Soit $ P\in\mathbb{C}[X]$ un polynôme.
  1. Montrer que si $ P$ est divisible par $ X-a$ et par $ X-b$, alors $ P$ est divisible par $ (X-a)(X-b)$.
  2. On suppose que les restes des divisions euclidiennes de $ P$ par $ X-a$ et par $ X-b$ sont tous les deux égaux à $ 1$. Montrer que le reste de la division euclidienne de $ P$ par $ (X-a)(X-b)$ est $ 1$.
  3. On suppose que les restes des divisions euclidiennes de $ P$ par $ X-1$ et $ X+5$ sont respectivement $ 7$ et $ 3$. Quel est le reste de la division euclidienne de $ P$ par $ X^2+4X-5$ ?

Exercice 16   Ecrire la décomposition en facteurs irréductibles des polynômes suivants, dans $ \mathbb{R}[X]$ et dans $ \mathbb{C}[X]$.
  1. $ X^4-1$
  2. $ X^6+1$
  3. $ X^8+X^4+1$
  4. $ (X^2+X+1)^2-1$
  5. $ X^3-5X^2+3X+9$
  6. $ (X^2-X+2)^2+(X-2)^2$
  7. $ 6X^5+15X^4+20X^3+15X^2+6X+1$
  8. $ X^5-7X^3-2X^2+12X+8$

Exercice 17   Soit $ P\in\mathbb{C}[X]$ un polynôme à coefficients complexes et $ a$ un complexe. En utilisant la formule de Taylor, calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de $ P$ par $ X-a$, puis par $ (X-a)^2$.

Exercice 18   Ecrire la formule de Taylor pour les polynômes suivants, en $ a=1$, puis $ a=-1$.
  1. $ X^4-1$
  2. $ X^6+1$
  3. $ X^8+X^4+1$
  4. $ (X^2+X+1)^2+1$
  5. $ X^3-5X^2+3X+9$
  6. $ (X^2-X+2)^2+(X-2)^2$
  7. $ 6X^5+15X^4+20X^3+15X^2+6X+1$
  8. $ X^5-7X^3-2X^2+12X+8$

Exercice 19   Décomposer les fractions rationnelles suivantes, dans $ \mathbb{R}(X)$ :

$\displaystyle \frac{1}{X(X-1)}\quad;\quad\frac{X}{X^2-1}
\quad;\quad\frac{X^3-2X+1}{X^2-1}\quad;
$

$\displaystyle \frac{X(X^2+1)^2}{(X^2-1)^2}
\quad;\quad\frac{X^3+1}{(X-2)^4}
\quad;\quad\frac{X^5+1}{(X^2+1)^3}\quad;
$

$\displaystyle \frac{X^2+1}{(X-2)(X-1)}\quad;
\quad\frac{X^3-2}{X^2-4}\quad;\quad\frac{X^3-2X+1}{X^3-X}\quad;
$

$\displaystyle \frac{X}{(X^2-1)(X-2)}\quad;\quad\frac{X}{(X-1)^2(X-2)}
\quad;\quad\frac{X^4}{(X-1)^2(X-2)}\quad;
$

$\displaystyle \frac{2X^2+5}{(X^2-1)^3}\quad;\quad\frac{X^5+1}{X^3(X-2)}
\quad;\quad\frac{X^8-X^4+2}{(X^2+X+1)^3}\quad;
$

$\displaystyle \frac{X^3+X}{(X-1)(X^6+1)}\quad;\quad
\frac{X^6-X^5+2X^4+X^2+1}{X^3(X^2+1)^2}\quad;
$

$\displaystyle \frac{X^5+6X^4+17X^3+25X^2+19X+7}{(X+1)^2(X^2+X+1)^2}.
$

Exercice 20   Décomposer les fractions rationnelles suivantes, dans $ \mathbb{C}(X)$ puis dans $ \mathbb{R}(X)$ :

$\displaystyle \frac{1}{X^3+X}
\quad;\quad\frac{X^4+1}{X^3+X}
\quad;\quad\frac{X}{(X^2+1)(X^2+4)}\quad;
$

$\displaystyle \frac{X^3+1}{X^2+1}\quad;\quad\frac{X^5-1}{X^4-1}
\quad;\quad\frac{X^2+1}{X^4+1}\quad;
$

$\displaystyle \frac{X-1}{X^3-1}\quad;\quad\frac{X-1}{X^3+X}
\quad;\quad\frac{X^2-1}{(X^2+1)^2}\quad;
$

$\displaystyle \frac{X}{X^4+1}
\quad;\quad\frac{X^2+1}{X^4+1}
\quad;\quad\frac{X^2+X+1}{X^4-1}\quad;
$

$\displaystyle \frac{X^3}{X^4+1}\quad;\quad
\frac{X}{(X-1)^2(X^2+1)^2}\quad;\quad
\frac{X^2-1}{X^6-1}.
$


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