Point fixe d'une application croissante

Pour illustrer l'utilisation de la notion de borne supérieure, nous allons démontrer la proposition suivante.

Proposition 7   Soit $ f$ une application croissante de l'intervalle $ [0,1]$ dans lui-même :

$\displaystyle \forall x,y\in[0,1]\;,\quad
x\leqslant y \Longrightarrow f(x)\leqslant f(y)\;.
$

Alors $ f$ admet un point fixe :

$\displaystyle \exists a\in [0,1]\;,\quad f(a)=a\;.
$

Démonstration : Soit $ A$ l'ensemble des réels $ x$ dans $ [0,1]$ tels que l'image de $ x$ dépasse $ x$ :

$\displaystyle A=\{x\in[0,1] ,\;f(x)\geqslant x\}\;.
$

Par hypothèse l'ensemble $ A$ est non vide puisqu'il contient 0, et il est majoré par $ 1$. Notons $ a$ sa borne supérieure. Nous allons montrer d'abord $ f(a)\geqslant a$, puis $ f(a)\leqslant
a$.

Par la proposition 1, pour tout $ \varepsilon >0$, il existe $ x\in A$ tel que $ a-\varepsilon \leqslant x\leqslant a$. Comme $ x$ est dans $ A$, $ f(x)\geqslant x$, et puisque $ f$ est croissante, $ f(x)\leqslant f(a)$. Donc :

$\displaystyle f(a)\geqslant f(x)\geqslant x\geqslant a-\varepsilon \;.
$

Pour tout $ \varepsilon $, $ f(a)\geqslant a-\varepsilon $, donc $ f(a)\geqslant a$ par la proposition 3.

De $ f(a)\geqslant a$, on déduit $ f(f(a))\geqslant f(a)$ car $ f$ est croissante. Donc $ f(a)\in A$, par définition de $ A$. Donc $ f(a)\leqslant
a$, car $ a$ est la borne supérieure de $ A$.$ \square$

Vous pouvez refaire cette démonstration en remplaçant $ A$ par

$\displaystyle B=\{x\in[0,1] ,\;f(x)\leqslant x\}\;,$

et en étudiant la borne inférieure de $ B$.

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