Corrigé du devoir

Questions de cours :  
  1. On dit que $ a$ est un majorant de $ A$ si :

    $\displaystyle \forall x\in A ,\; x\leqslant a\;.
$

  2. On dit que $ a$ est le plus grand élément de $ A$ si $ a$ est un majorant de $ A$ et s'il appartient à $ A$.

    $\displaystyle a\in A$   et$\displaystyle \quad\forall x\in A ,\; x\leqslant a\;.
$

  3. On dit que $ a$ est la borne supérieure de $ A$ si c'est le plus petit des majorants de $ A$.
  4. On dit que $ A$ est un intervalle si tout point entre deux points de $ A$ est aussi dans $ A$.

    $\displaystyle \forall x,y\in A ,\;\forall z\in\mathbb{R}\;,\quad
(x\leqslant z\leqslant y)\;\Longrightarrow\; z\in A\;.
$

  5. Démontrer que $ A=]-\infty,a [$ ou bien $ A=]-\infty,a ]$ équivaut à montrer les deux inclusions suivantes.

    $\displaystyle A\subset [-\infty, a ]$   et$\displaystyle \quad
]-\infty,a [\;\subset A\;.
$

    Montrons d'abord la première. Par définition, la borne supérieure est un majorant. Donc aucun réel strictement supérieur à $ a$ ne peut appartenir à $ A$. Donc :

    $\displaystyle x\notin ]-\infty,a ] \;\Longrightarrow\; x\notin A\;.
$

    La contraposée est :

    $\displaystyle x\in A \;\Longrightarrow\; x\in ]-\infty,a]\;,
$

    ce qui équivaut à la première inclusion.

    Montrons la seconde inclusion. Soit $ x$ un réel strictement inférieur à $ a$. Puisque $ A$ n'est pas minoré, $ x$ n'est pas un minorant. Donc il existe $ c\in A$ tel que $ c<x$. Puisque $ a$ est le plus petit des majorants de $ A$, $ x$ n'est pas un majorant. Donc il existe $ d\in A$ tel que $ x<d$. Les deux réels $ c$ et $ d$ appartiennent à $ A$ et sont tels que $ c<x<d$. Comme $ A$ est un intervalle, ceci entraîne que $ x$ appartient à $ A$. Au total nous avons montré que

    $\displaystyle x<a\;\Longrightarrow x\in A\;,
$

    soit $ ]-\infty,a [\;\subset A$.

Exercice 1 :
  1. Observons que $ M$ est strictement positif, car $ B\subset \mathbb{R}^{+*}$. Si $ m< 0$, alors $ m/M< 0$ et la propriété annoncée est vraie puisque $ A\!:\!B\subset \mathbb{R}^+$. Supposons donc $ m\geqslant 0$. Pour tout $ y\in B$, $ 0<y\leqslant M$, donc $ 0<1/M\leqslant 1/y$. Pour tout $ x\in A$, $ 0\leqslant m\leqslant x$. Donc :

    $\displaystyle \forall x\in A ,\;\forall y\in B\;,\quad \frac{m}{M}\leqslant
\frac{x}{y}\;.
$

    Donc $ m/M$ est un minorant de $ A\!:\!B$.
  2. Soit $ a$ un élément quelconque de $ A$. Comme $ B$ n'est pas majoré, il existe $ y\in B$ tel que $ y> a/\varepsilon \geqslant 0$. Donc $ x=a/y <\varepsilon
$, or $ x\in A\!:\!B$, d'où le résultat.
  3. Par hypothèse, tout élément de $ A\!:\!B$ est positif ou nul. Donc 0 est un minorant de $ A\!:\!B$. D'après la question précédente, pour tout $ \varepsilon >0$, $ \varepsilon $ n'est pas un minorant de $ A\!:\!B$. Donc 0 est le plus grand des minorants de $ A\!:\!B$ ; c'est la borne inférieure.
  4. Par hypothèse, $ A$ contient un réel strictement positif. Si $ \inf(B)=0$ alors pour tout $ \varepsilon >0$, il existe $ y\in B$ tel que $ 0<y<\varepsilon $. Soit $ M$ un réel strictement positif quelconque. Soit $ y\in B$ tel que $ 0<y<a/M$. Alors $ a/y\in A\!:\!B$ et $ a/y>M$. Donc $ A\!:\!B$ n'est pas majoré.
  5. Si $ A\!:\!B$ est un singleton, c'est un intervalle particulier. Sinon nous devons montrer que

    $\displaystyle \forall z_1,z_2\in A\!:\!B ,\;\forall z\in\mathbb{R}\;,\quad
(z_1<z<z_2)\;\Longrightarrow\; z\in A\!:\!B\;.
$

    Par hypothèse, il existe $ x_1\in A$ et $ y_1\in B$ tels que $ z_1=x_1/y_1$. De même, il existe $ x_1\in A$ et $ y_1\in B$ tels que $ z_1=x_1/y_1$. Supposons d'abord $ y_1\leqslant y_2$. Alors :

    $\displaystyle \frac{x_1}{y_1}<z<\frac{x_2}{y_2}\;\Longrightarrow\;
x_1<zy_1<x_2\frac{y_1}{y_2}\leqslant x_2\;.
$

    Comme $ A$ est un intervalle, tout réel compris entre $ x_1$ et $ x_2$ appartient à $ A$, donc $ zy_1$ appartient à $ A$, donc $ z$ appartient à $ A\!:\!B$.

    Supposons maintenant que $ y_1>y_2$. Alors $ x_1/y_1< x_1/y_2$. Si $ z=x_1/y_2$, $ z\in A\!:\!B$. Sinon, de deux choses l'une : soit $ z<x_1/y_2$, soit $ z>x_1/y_2$. Dans le premier cas :

    $\displaystyle \frac{x_1}{y_1}<z<\frac{x_1}{y_2}\;\Longleftrightarrow\;
y_2<\frac{x_1}{z}<y_1\;.
$

    Comme $ B$ est un intervalle, $ x_1/z=y$ appartient à $ B$, donc $ z=x_1/y$ appartient à $ A\!:\!B$.

    Dans le second cas :

    $\displaystyle \frac{x_1}{y_2}<z<\frac{x_2}{y_2}\;\Longleftrightarrow\;
x_1<zy_2<x_2\;.
$

    Comme $ A$ est un intervalle, $ zy_2=x$ appartient à $ A$, donc $ z=x/y_2$ appartient à $ A\!:\!B$.
  6. Soit $ x$ un réel strictement positif. Supposons d'abord $ x \leqslant 1$. Ecrivons $ x=x\varepsilon /\varepsilon $. Or $ x\varepsilon \in A$ et $ \varepsilon \in B$. Donc $ x\in A\!:\!B$. Supposons maintenant $ x>1$. Ecrivons :

    $\displaystyle x = \frac{(x\varepsilon )/x}{\varepsilon /x}\;.
$

    Comme $ (x\varepsilon )/x=\varepsilon \in A$ et $ \varepsilon /x\in B$, on en déduit encore que $ x\in A\!:\!B$.

Exercice 2 :  
  1. Démontrons la contraposée : si $ x^{1/n}$ est rationnel, alors $ x=(x^{1/n})^n$ est rationnel (car le produit de deux rationnels est rationnel). D'où le résultat.
  2. $ x=\sqrt{2}$ est irrationnel mais $ x^2=2$ est rationnel.
  3. Pour $ n=0$, $ x^{2n}=1\in\mathbb{Q}$. Pour $ n\geqslant 1$, $ x^{2n}=(x^2)^n\in
\mathbb{Q}$. Supposons que $ x^{2n+1}$ et $ x^{2n}$ soient rationnels, alors $ x=x^{2n+1}/x^{2n}$ est rationnel, d'où le résultat, par contraposée.
  4. Si $ a=0$ alors $ ax+b=b\in\mathbb{Q}$. Montrons la réciproque : si $ ax+b\in\mathbb{Q}$, alors $ ax=(ax+b)-b\in\mathbb{Q}$. Supposons $ a\neq 0$ et $ ax\in
\mathbb{Q}$. Alors $ x=ax/a\in \mathbb{Q}$. D'où le résultat, par contraposée.
  5. L'hypothèse entraîne que $ cx+d$ est non nul. Posons :

    $\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}=r\;\Longleftrightarrow\;x(a-rc)=(rd-b)\;.
$

    Si $ r$ est rationnel, alors $ rd-b$ est rationnel. D'après la question précédente, c'est le cas si et seulement si $ a=rc$ et $ b=rd$. Alors $ ad-bc=rcd-rcd=0$. Réciproquement, supposons $ ad-bc=0$. Si $ ad=bc=0$, on distingue 3 cas (rappelons que $ c$ et $ d$ ne sont pas tous les deux nuls) :
    $ \bullet$
    $ a=0$ et $ b=0$ : alors $ (ax+b)/cx+d)=0\in\mathbb{Q}$ ;
    $ \bullet$
    $ a=0$ et $ c=0$ : alors $ (ax+b)/cx+d)=b/d\in\mathbb{Q}$ ;
    $ \bullet$
    $ d=0$ et $ b=0$ ; alors $ (ax+b)/cx+d)=a/c\in\mathbb{Q}$.
    Si $ ad=bc\neq 0$ alors :

    $\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d} = \frac{b}{d} \frac{ad x+bd}{bcx+bd}=\frac{b}{d}\in\mathbb{Q}\;.
$


Exercice 3 : Soient $ x$ et $ y$ deux réels quelconques.
  1. $\displaystyle 2\vert x\vert=\vert 2x\vert=\vert(x+y)+(x-y)\vert\leqslant \vert x+y\vert+\vert x-y\vert\;.
$

  2. On applique le résultat en échangeant $ x$ et $ y$ :

    $\displaystyle 2\vert y\vert\leqslant \vert y+x\vert+\vert y-x\vert=\vert x+y\vert+\vert x-y\vert\;.
$

    En ajoutant les deux inégalités précédentes, on obtient :

    $\displaystyle 2\vert x\vert+2\vert y\vert\leqslant 2\vert x+y\vert+2\vert x-y\vert\;.
$

    D'où le résultat en divisant les deux membres par $ 2$.

Exercice 4 :
  1. Par définition la partie entière de $ n+x$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $ n+x$. Or pour tout entier $ k$,

    $\displaystyle k\leqslant n+x\;\Longleftrightarrow\; k-n\leqslant x\;.
$

    En utilisant la condition nécessaire, pour $ k=\lfloor n+x\rfloor$, $ \lfloor n+x\rfloor-n\leqslant \lfloor x\rfloor $. En utilisant la condition suffisante pour $ k-n=\lfloor x\rfloor$, $ n+\lfloor x\rfloor\leqslant \lfloor x+n\rfloor$. D'où le résultat.
  2. $\displaystyle \lfloor x+y\rfloor=\lfloor \lfloor x\rfloor +D(x)+\lfloor
y\rfloor+D(y) \rfloor
=\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +\lfloor D(x)+D(y)\rfloor\;,
$

    d'après la question précédente. Or par définition la partie décimale d'un réel appartient à $ [0,1[$. Donc $ D(x)+D(y)\in[0,2[$, donc la partie entière de $ D(x)+D(y)$ vaut soit 0 soit $ 1$.


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