L'ensemble de tous les ensembles

...  n'existe pas ! Un ensemble $E$ n'est défini que si pour tout objet $x$ l'énoncé $(x\in E)\wedge \neg(x\in E)$ est faux.

Proposition 15   L'ensemble de tous les ensembles n'existe pas.

Démonstration : C'est un exemple de démonstration par l'absurde. Supposons que l'ensemble de tous les ensembles existe, et notons-le $E$. Notons $A$ l'ensemble

$$A = \{ x\in E\;;\quad x\notin x \}\;.$$

Comme $E$ contient tous les ensembles, $A$ appartient à $E$. Est-ce que $A$ appartient à $A$ ?

$\bullet$

si $A\in A$ alors par définition de $A$, $A\notin A$,

$\bullet$

si $A\notin A$ alors par définition de $A$, $A\in A$.

L'assertion $A\in A$ ne peut pas être vraie et fausse en même temps, c'est donc que l'hypothèse de départ ($E$ existe) était fausse.$\square$

Des versions plus prosaïques de ce paradoxe sont connues depuis l'antiquité. Par exemple :

Epiménide le Crétois a dit : tous les Crétois sont des menteurs

ou bien

Le barbier rase tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes.

D'autres notions, apparemment claires, ne sont pas définies parce qu'elles conduisent à une contradiction. Par exemple :

Le plus petit nombre qu'on ne puisse pas définir en moins de vingt mots

(la phrase ci-dessus comporte quinze mots).