Ramener l'infini au fini

Si des raisonnement par récurrence se trouvent déjà dans les Éléments d'Euclide, son disciple Eubulide, en fit un usage plutôt particulier.

Un million de grains de sables constituent un tas

Si on enlève un grain de sable à un tas de sable, il reste un tas de sable.

Donc trois grains, deux grains, et même un seul grain ou zéro grain constituent un tas de sable.

Depuis Euclide, les mathématiciens ont plus ou moins implicitement utilisé le principe de récurrence. Al Karaji (953-1029)⁵connaissait la formule du binôme, savait calculer la somme des $n$ premiers entiers, des $n$ premiers carrés et cubes. Francesco Maurolico (1475-1575) démontre que la somme des $n$ premiers entiers impairs est $n^2$.

La première formulation claire du principe du raisonnement apparaît en 1654 dans le Traité du triangle arithmétique de Blaise Pascal (1623-1662). Voici son texte.

Quoique cette proposition ait une infinité de cas, j'en donnerai une démonstration bien courte, en supposant deux lemmes.

Le premier, qui est évident de soi-même, que cette proportion se rencontre dans la seconde base [...]

Le second, que si cette proportion se trouve dans une base quelconque, elle se trouvera nécessairement dans la base suivante.

D'où il se voit qu'elle est nécessairement dans toutes les bases : car elle est dans la seconde base par le premier lemme ; donc par le second elle est dans la troisième base, donc dans la quatrième, et à l'infini.