Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours : Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Soit $f$ une application de $E$ dans $F$. Soit $A$ un sous-ensemble de $E$ et $B$ un sous-ensemble de $F$.

1. Définir l'image $f(A)$ de $A$ et l'image réciproque $f^{-1}(B)$ de $B$.
2. Démontrer que $A\subset f^{-1}(f(A))$ et que $f(f^{-1}(B))\subset B$.
3. Quand dit-on que $f$ est injective ? surjective ?
4. Démontrer que si $f$ est injective, alors $A=f^{-1}(f(A))$. Démontrer que si $f$ est surjective, alors $B=f(f^{-1}(B))$.
5. Soit $E=F=\{-\!1,0,1\}$ et soit $f$ l'application de $E$ dans $F$ qui à $x$ associe $x^2$. L'application $f$ est-elle injective ? surjective ? Soit $A=\{1\}$ et $B=\{-1,1\}$. Ecrire en extension les ensembles $f^{-1}(f(A))$ et $f(f^{-1}(B))$.

Exercice 1 :Soient $A$, $B$ et $C$ trois assertions.

1. Ecrire la table de vérité de l'assertion :
   $$( A\vee B) \Longrightarrow (A\vee C)\;.$$

2. Ecrire la table de vérité de l'assertion :
   $$( A\wedge B) \Longrightarrow (A\wedge C)\;.$$

3. Utiliser les tables de vérité des deux questions précédentes pour démontrer que l'équivalence suivante est toujours vraie.
   $$\Big( \big( ( A\vee B) \Longrightarrow (A\vee C) \big) ... ... C) \big) \Big) \;\Longleftrightarrow\; \big( B\Longrightarrow C \big)\;.$$

4. En utilisant les assertions $A$ : «je suis une fille», $B$ : «je fais du sport »  et $C$ : «je garde la forme», exprimer en langage courant l'équivalence de la question précédente.
5. Soit $\mathbf{E}$ un ensemble, $\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}$ trois sous-ensembles de $E$. Représenter dans trois diagrammes de Venn différents les ensembles $\mathbf{E}, \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}$, dans les trois cas suivants.

   $\bullet$

   $\mathbf{B}\subset \mathbf{C}$.

   $\bullet$

   $\mathbf{B}\not\subset \mathbf{C}$, $(\mathbf{A}\cup \mathbf{B})\subset(\mathbf{A}\cup \mathbf{C})$, $(\mathbf{A}\cap \mathbf{B})\not\subset(\mathbf{A}\cap \mathbf{C})$.

   $\bullet$

   $\mathbf{B}\not\subset \mathbf{C}$, $(\mathbf{A}\cup \mathbf{B})\not\subset(\mathbf{A}\cup \mathbf{C})$, $(\mathbf{A}\cap \mathbf{B})\subset(\mathbf{A}\cap \mathbf{C})$.

6. Démontrer que l'équivalence suivante est toujours vraie.
   $$\Big( \big( ( \mathbf{A}\cup \mathbf{B})\subset(\mathbf{A}\cup... ... \Big) \;\Longleftrightarrow\; \big( \mathbf{B}\subset \mathbf{C} \big)\;.$$

Exercice 2 :

1. Soient $A_1$ et $A_2$ deux assertions. Ecrire à l'aide des symboles $\wedge, \vee,\neg$ l'assertion : «de deux choses l'une, soit $A_1$ est vraie, soit $A_2$ est vraie, mais pas les deux». On notera désormais $(A_1 \mathrm{Xor}  A_2)$ cette assertion.
2. Démontrer à l'aide des tables de vérité que l'implication suivante est toujours vraie.
   $$\big( A_1 \mathrm{Xor}  A_2\big)\wedge \big(\neg A_1\big) \;\Longrightarrow\;A_2\;.$$

3. On considère les propositions suivantes : $B$ : «je bois», $C$ :«je conduis», $F$ : «je vais voir un film», $M$ : «je marche», $R$ : «je vais au restaurant». Ecrire sous forme symbolique les assertions suivantes.

   $A_1$ :

   «de deux choses l'une, soit je conduis, soit je marche».

   $A_2$ :

   «de deux choses l'une, soit je vais voir un film, soit je vais au restaurant, et dans ce cas je bois».

   $A_3$ :

   «si je conduis, alors je ne bois pas».

   $A_4$ :

   «je ne marche pas».

4. On suppose que les assertions $A_1,A_2,A_3,A_4$ sont vraies. Démontrer que l'assertion $F$ est vraie. Vous écrirez votre raisonnement sous forme symbolique, et en langage courant.

Exercice 3 :Soit ${\cal R}$ la relation définie sur l'ensemble des réels $\mathbb{R}$ par :

$$\forall x,y\in\mathbb{R}\;,\quad \big( x{\cal R} y\big)\;\Longleftrightarrow\; \big( x^2-y^2=x-y\big)\;.$$

Soit ${\cal S}$ la relation définie sur l'ensemble des réels $\mathbb{R}$ par :

$$\forall x,y\in\mathbb{R}\;,\quad \big( x{\cal S} y\big)\;\Longleftrightarrow\; \big( x^2-y^2\leqslant x-y\big)\;.$$

1. Montrer que ${\cal R}$ est une relation d'équivalence.
2. Démontrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$,
   $$\mathfrak{cl}_{\cal R}(x)=\{x,1-x\}\;.$$

3. Démontrer que la relation ${\cal S}$ est réflexive, transitive, mais qu'elle n'est ni symétrique ni anti-symétrique.
4. Soit $I$ l'ensemble des réels supérieurs ou égaux à $1/2$. Soit ${\cal S}'$ la relation définie sur $I$ par :
   $$\forall x,y\in I\;,\quad \big( x{\cal S'} y\big)\;\Longleftrightarrow\; \big( x^2-y^2\leqslant x-y\big)\;.$$
   Montrer que ${\cal S}'$ est une relation d'ordre sur $I$.
5. Démontrer que :
   $$\forall x,y\in I\;,\quad \big( x{\cal S'} y\big)\;\Longleftrightarrow\; \big( x\leqslant y\big)\;.$$