Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ $ (2<3)\wedge(2 \vert 4)$.
  2. $ \square\;$ $ (2<3)\wedge(2 \vert 5)$.
  3. $ \boxtimes\;$ $ (2<3)\vee(2 \vert 5)$.
  4. $ \boxtimes\;$ $ (2<3)\wedge(\neg(2 \vert 5))$.
  5. $ \square\;$ $ (\neg(2<3))\vee(2 \vert 5)$.
  6. $ \boxtimes\;$ $ \big((2<3)\wedge(2 \vert 4)\big)\vee (3 \vert 6)$.
  7. $ \boxtimes\;$ $ \big((2<3)\wedge(2 \vert 4)\big)\vee (3 \vert 5)$.
  8. $ \square\;$ $ \big((2<3)\wedge(2 \vert 4)\big)\wedge (3 \vert 5)$.
  9. $ \boxtimes\;$ $ \big((2<3)\wedge(2 \vert 5)\big)\vee \big((3 \vert 6)\wedge (3<6)\big)$.
  10. $ \square\;$ $ \big((2<3)\wedge(2 \vert 5)\big)\vee \big((3 \vert 6)\wedge (3>6)\big)$.

Vrai-Faux 2   Soit $ n$ un entier naturel quelconque. Parmi les implications suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ $ (n\geqslant 5)\;\Longrightarrow\; (n>3)$.
  2. $ \square\;$ $ (n\geqslant 5)\;\Longrightarrow\; (n>6)$.
  3. $ \square\;$ $ (n\geqslant 5)\;\Longrightarrow\; (n\leqslant 6)$.
  4. $ \boxtimes\;$ $ (n<1)\;\Longrightarrow\; (2 \vert n)$.
  5. $ \square\;$ $ (n<1)\;\Longrightarrow\; (n \vert 2)$.
  6. $ \boxtimes\;$ $ (n<2)\;\Longrightarrow\; (n^2=n)$.
  7. $ \boxtimes\;$ $ (n> 0)\;\Longrightarrow\; (2n>n)$.
  8. $ \square\;$ $ (n\geqslant 0)\;\Longrightarrow\; (2n>n)$.
  9. $ \boxtimes\;$ $ (n\geqslant 0)\;\Longrightarrow\; ((n+1)>n)$.

Vrai-Faux 3   Soit $ n$ un entier naturel quelconque. Parmi les équivalences suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ $ (n\geqslant 5)\;\Longleftrightarrow\; (n>4)$.
  2. $ \square\;$ $ (n\geqslant 5)\;\Longleftrightarrow\; (n\geqslant 4)$.
  3. $ \square\;$ $ ((n>5)\wedge(n \vert 12))\;\Longleftrightarrow\; (n=6)$.
  4. $ \boxtimes\;$ $ ((n>6)\wedge(n \vert 12))\;\Longleftrightarrow\; (n=12)$.
  5. $ \boxtimes\;$ $ ((3 \vert n)\wedge(4 \vert n))\;\Longleftrightarrow\; (12 \vert n)$.
  6. $ \square\;$ $ ((3 \vert n)\wedge(4 \vert n))\;\Longleftrightarrow\; (n \vert 12)$.
  7. $ \square\;$ $ ((n \vert 3)\vee(n \vert 4))\;\Longleftrightarrow\; (n \vert 12)$.

Vrai-Faux 4   Parmi les assertions suivantes, portant sur un entier naturel $ n$, lesquelles sont des conditions suffisantes pour que $ n$ soit pair, lesquelles ne le sont pas et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ $ n\leqslant 2$.
  2. $ \boxtimes\;$ $ (n\leqslant 2)\wedge (\neg(n=1))$.
  3. $ \boxtimes\;$ $ 12 \vert n$.
  4. $ \square\;$ $ n \vert 12$.
  5. $ \boxtimes\;$ $ (n \vert 12)\wedge (n>3)$.
  6. $ \square\;$ $ (n \vert 12)\vee(n \vert 10)$.
  7. $ \square\;$ $ (n \vert 12)\wedge (n \vert 10)$.
  8. $ \boxtimes\;$ $ (n \vert 16)\wedge (n>1)$.
  9. $ \boxtimes\;$ $ (n \vert 16)\wedge (\neg(n^2=n))$.

Vrai-Faux 5   Soit $ n$ un entier quelconque. Parmi les phrases suivantes, lequelles traduisent correctement l'implication

$\displaystyle (4 \vert n)\;\Longrightarrow\;(2 \vert n)\;,
$

lesquelles ne la traduisent pas et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ Si 4 divise $ n$ alors 2 divise $ n$.
  2. $ \square\;$ 2 divise $ n$ seulement si 4 divise $ n$.
  3. $ \square\;$ Pour que 2 divise $ n$ il faut que 4 divise $ n$.
  4. $ \boxtimes\;$ Pour que 2 divise $ n$ il suffit que 4 divise $ n$.
  5. $ \boxtimes\;$ la condition ڰ divise $ n$»  est nécessaire pour que 4 divise $ n$.
  6. $ \square\;$ la condition ڲ divise $ n$»  est nécessaire pour que 2 divise $ n$.
  7. $ \boxtimes\;$ la condition ڲ divise $ n$»  est suffisante pour que 2 divise $ n$.

Vrai-Faux 6   Parmi les phrases suivantes, lesquelles traduisent correctement l'équivalence

$\displaystyle ((3 \vert n)\wedge(4 \vert n))\;\Longleftrightarrow\;(12 \vert n)\;,
$

lesquelles ne la traduisent pas et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ Si 3 et 4 divisent $ n$ alors 12 divise $ n$ et réciproquement.
  2. $ \square\;$ Pour que 12 divise $ n$ il faut que 3 et 4 divisent $ n$.
  3. $ \boxtimes\;$ Pour que 12 divise $ n$ il faut et il suffit que 3 et 4 divisent $ n$.
  4. $ \boxtimes\;$ Pour que 12 divise $ n$ il est nécessaire et suffisant que 3 et 4 divisent $ n$.
  5. $ \square\;$ 12 divise $ n$ seulement si 3 et 4 divisent $ n$.
  6. $ \boxtimes\;$ 12 divise $ n$ si et seulement si 3 et 4 divisent $ n$.

Vrai-Faux 7   Si je mange, alors je bois et je ne parle pas. Si je ne parle pas alors je m'ennuie. Je ne m'ennuie pas. Je peux en déduire que (oui ou non et pourquoi) :
  1. $ \boxtimes\;$ je parle.
  2. $ \square\;$ je ne parle pas.
  3. $ \square\;$ je ne bois pas.
  4. $ \boxtimes\;$ je ne mange pas.
  5. $ \square\;$ je ne bois pas et je ne mange pas.

Vrai-Faux 8   Parmi les assertions suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ Si Napoléon était chinois, alors $ 3-2=2$.
  2. $ \square\;$ Soit Cléopâtre était chinoise, soit les grenouilles aboient.
  3. $ \boxtimes\;$ Soit les roses sont des animaux, soit les chiens ont 4 pattes.
  4. $ \boxtimes\;$ Si l'homme est un quadrupède, alors il aboie.
  5. $ \square\;$ Les roses ne sont ni des animaux, ni des fleurs.
  6. $ \boxtimes\;$ Paris est en France ou Madrid est en Chine.
  7. $ \boxtimes\;$ La pierre ponce est un homme si et seulement si les femmes sont des sardines.
  8. $ \boxtimes\;$ Les poiriers ne donnent pas des melons, et Cléopâtre n'était pas chinoise.
  9. $ \boxtimes\;$ Il est faux que si les grenouilles n'aboient pas alors $ 3\times 2=7$.
  10. $ \square\;$ Si les champignons sont des animaux ou le Cid était espagnol, alors la longueur d'une circonférence est le double de son rayon.
  11. $ \boxtimes\;$ Une condition nécessaire et suffisante pour que dans un jeu de 40 cartes il y ait 45 as est que le cuir soit végétal.

Vrai-Faux 9   Soient $ A, B, C$ trois sous-ensembles d'un ensemble $ E$. L'ensemble
$ ((A\cup B)\cap C)\cup
((A\cap B)\cap {^c\!C})$ est-il (oui ou non et pourquoi) ?
  1. $ \square\;$ égal à $ E$.
  2. $ \square\;$ inclus dans $ A\cap B$.
  3. $ \boxtimes\;$ inclus dans $ A\cup B$.
  4. $ \boxtimes\;$ inclus dans $ A\cup C$.
  5. $ \square\;$ inclus dans $ A\cap C$.
  6. $ \boxtimes\;$ inclus dans $ (A\cap C)\cup B$.
  7. $ \square\;$ inclus dans $ (A\cap {^c\!C})\cup B$.
  8. $ \boxtimes\;$ égal à $ (A\cap B)\cup(B\cap C)\cup(A\cap C)$.

Vrai-Faux 10   Parmi les ensembles d'entiers suivants, lesquels sont égaux au singleton $ \{0\}$, lesquels sont différents et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ $ \{ n\in \mathbb{N}\;;\quad n\leqslant 1 \}$.
  2. $ \boxtimes\;$ $ \{ n\in \mathbb{N}\;;\quad n<1 \}$.
  3. $ \boxtimes\;$ $ \{ n\in \mathbb{N}\;;\quad (n\leqslant 1)\wedge (2 \vert n) \}$.
  4. $ \square\;$ $ \{ n\in \mathbb{N}\;;\quad 1+n>0 \}$.
  5. $ \boxtimes\;$ $ \{ n\in \mathbb{N}\;;\quad 1+n=1 \}$.
  6. $ \boxtimes\;$ $ \{ n\in \mathbb{N}\;;\quad \forall m\in \mathbb{N} ,\;n\leqslant m \}$.
  7. $ \square\;$ $ \{ n\in \mathbb{N}\;;\quad \forall m\in \mathbb{N} ,\;n< m \}$.
  8. $ \square\;$ $ \{ n\in \mathbb{N}\;;\quad \forall m\in \mathbb{N} ,\;n \vert m \}$.
  9. $ \boxtimes\;$ $ \{ n\in \mathbb{N}\;;\quad \forall m\in \mathbb{N} ,\;m \vert n \}$.

Vrai-Faux 11   Un entier est un nombre premier s'il est non nul et divisible seulement par 1 et par lui-même. Parmi les ensembles suivants, lesquels sont égaux à l'ensemble des nombres premiers, lesquels sont différents et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ $ \{ n\in \mathbb{N}\;;\quad (n>0)\wedge ((m \vert n)\Longrightarrow (m=n)) \}$.
  2. $ \boxtimes\;$ $ \{ n\in \mathbb{N}\;;\quad (m \vert n)\Longrightarrow (m\in\{1,n\}) \}$.
  3. $ \square\;$ $ \{ n\in \mathbb{N}\;;\quad (m \vert n)\Longrightarrow (1\leqslant m\leqslant n) \}$.
  4. $ \square\;$ $ \{ n\in \mathbb{N}\;;\quad \forall m\in\mathbb{N} ,\;
((m=1)\vee (m=n))\wedge (\neg (m \vert n)) \}$.
  5. $ \boxtimes\;$ $ \{ n\in \mathbb{N}\;;\quad \forall m\in\mathbb{N} ,\;
((m=1)\vee (m=n))\vee (\neg (m \vert n)) \}$.
  6. $ \square\;$ $ \{ n\in \mathbb{N}\;;\quad \forall m\in\mathbb{N} ,\;
(1<m<n)\Longrightarrow (\neg (m \vert n)) \}$.
  7. $ \boxtimes\;$ $ \{ n\in \mathbb{N}\;;\quad \forall m\in\mathbb{N} ,\;
(n>0)\wedge((1<m<n)\Longrightarrow (\neg (m \vert n))) \}$.

Vrai-Faux 12   Soient $ E$ et $ F$ deux ensembles et $ f$ une application de $ E$ vers $ F$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ Si $ f$ est injective alors tout élément de $ E$ a plus d'une image dans $ F$.
  2. $ \boxtimes\;$ Si $ f$ est injective alors tout élément de $ F$ a au plus un antécédent dans $ E$.
  3. $ \square\;$ Si $ f$ est surjective alors tout élément de $ F$ a plus d'un antécédent dans $ F$.
  4. $ \square\;$ Si $ f$ n'est pas bijective alors au moins un élément de $ F$ n'a pas d'antécédent.
  5. $ \boxtimes\;$ Si $ f$ n'est pas injective alors il existe deux éléments distincts de $ E$ ayant la même image.

Vrai-Faux 13   Soient $ E$ et $ F$ deux ensembles finis et $ f$ une application de $ E$ vers $ F$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ Si $ \mathrm{Card}(E)>\mathrm{Card}(F)$ alors $ f$ est surjective.
  2. $ \boxtimes\;$ Si $ \mathrm{Card}(E)>\mathrm{Card}(F)$ alors $ f$ n'est pas injective.
  3. $ \square\;$ Si $ \mathrm{Card}(E)=\mathrm{Card}(F)$ alors $ f$ est bijective.
  4. $ \boxtimes\;$ Si $ \mathrm{Card}(E)=\mathrm{Card}(F)$ et si $ f$ est surjective, alors $ f$ est bijective.
  5. $ \square\;$ Si $ \mathrm{Card}(E)\neq\mathrm{Card}(F)$ alors $ f$ est injective ou surjective.
  6. $ \boxtimes\;$ Si $ \mathrm{Card}(E)=\mathrm{Card}(F)$ et si $ f$ n'est pas surjective, alors $ f$ n'est pas injective.
  7. $ \boxtimes\;$ Si $ \mathrm{Card}(E)=\mathrm{Card}(F)$ et si $ f$ n'est pas injective, alors $ f$ n'est pas surjective.

Vrai-Faux 14   Soit $ E=\{0,1,2\}$. Les graphes suivants définissent-ils une relation d'équivalence sur $ E$ (oui ou non et pourquoi) ?
  1. $ \square\;$ $ \Gamma =\{ (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) \}$.
  2. $ \boxtimes\;$ $ \Gamma =\{ (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,2) \}$.
  3. $ \square\;$ $ \Gamma =\{ (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,2) \}$.
  4. $ \square\;$ $ \Gamma =\{ (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2) \}$.
  5. $ \boxtimes\;$ $ \Gamma =\{ (0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2) \}$.

Vrai-Faux 15   Soit $ E=\{0,1,2\}$. Les graphes suivants définissent-ils une relation d'ordre sur $ E$ (oui ou non et pourquoi) ?
  1. $ \boxtimes\;$ $ \Gamma =\{ (0,0),(0,1),(1,1),(2,2) \}$.
  2. $ \square\;$ $ \Gamma =\{ (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,2) \}$.
  3. $ \boxtimes\;$ $ \Gamma =\{ (0,0),(0,1),(0,2),(1,1),(2,2) \}$.
  4. $ \square\;$ $ \Gamma =\{ (0,0),(0,1),(1,1),(1,2),(2,2) \}$.
  5. $ \boxtimes\;$ $ \Gamma =\{ (0,0),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2),(2,2) \}$.

Vrai-Faux 16   Soient $ E$ un ensemble fini non vide et $ x$ un élément fixé de $ E$. Les relations $ {\cal R}$ définies par les assertions suivantes sont-elles des relations d'équivalence sur $ {\cal P}(E)$ (oui ou non et pourquoi) ?
  1. $ \boxtimes\;$ $ \forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad
A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\; A=B$.
  2. $ \square\;$ $ \forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad
A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\; A\subset B$.
  3. $ \square\;$ $ \forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad
A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\;
(A\cap B=\emptyset)$.
  4. $ \boxtimes\;$ $ \forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad
A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\;
\Big((A\cap B=\emptyset)\vee(A\cup B\neq \emptyset)\Big)$.
  5. $ \square\;$ $ \forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad
A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\; (x\in A\cup B)$.
  6. $ \boxtimes\;$ $ \forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad
A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\;
\Big((x\in A\cap B)\vee (x\in {^c\!A}\cap {^c\!B})\Big)$.

Vrai-Faux 17   Soient $ E$ un ensemble fini contenant au moins deux éléments, et $ x$ un élément fixé de $ E$. Les relations $ {\cal R}$ définies par les assertions suivantes sont-elles des relations d'ordre sur $ {\cal P}(E)$ (oui ou non et pourquoi) ?
  1. $ \boxtimes\;$ $ \forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad
A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\; A=B$.
  2. $ \boxtimes\;$ $ \forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad
A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\; A\subset B$.
  3. $ \square\;$ $ \forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad
A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\;
(x\in(A\cap {^c\!B}))$.
  4. $ \square\;$ $ \forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad
A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\;
(x\in(A\cup {^c\!B}))$.
  5. $ \boxtimes\;$ $ \forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad
A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\;
\Big((A=B)\vee(x\in A\cap {^c\!B})\Big)$.

Vrai-Faux 18   Soit $ H(n)$ un énoncé dépendant de l'entier $ n$. Les assertions suivantes entraînent-elles que $ H(n)$ est vraie pour tout $ n\in
\mathbb{N}$ (oui ou non et pourquoi) ?
  1. $ \boxtimes\;$ $ H(0)\wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\;H(n)\Longrightarrow H(n+1)\Big)$.
  2. $ \square\;$ $ H(1)\wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\;H(n)\Longrightarrow H(n+1)\Big)$.
  3. $ \square\;$ $ H(0)\wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\;H(n+1)\Longrightarrow H(n)\Big)$.
  4. $ \square\;$ $ H(0)\wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\;H(n)\Longrightarrow H(n+2)\Big)$.
  5. $ \boxtimes\;$ $ H(0)\wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\;H(n)\Longrightarrow H(n+2)\Big)
\wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\;H(n+1)\Longrightarrow H(n)\Big)$.
  6. $ \square\;$ $ H(0)\wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\;H(n)\Longrightarrow H(2n)\Big)
\wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\;H(n+1)\Longrightarrow H(n)\Big)$.
  7. $ \boxtimes\;$ $ (H(0)\wedge H(1))\wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\;
H(n)\Longrightarrow H(2n)\Big)
\wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\;H(n+1)\Longrightarrow H(n)\Big)$.


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