QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1   Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $\mathbb{R}$. La proposition exprime le fait que la limite de $f$ en 0 est $1$.

$${ \forall \varepsilon \geqslant 0 ,\;\exists \eta>0\;,\quad 0<\vert x\vert<\eta\;\Longrightarrow\; \vert f(x)-1\vert\leqslant \varepsilon \;. }$$

Pour toute suite $(u_n)$ convergeant vers 0, la suite $(f(u_n))$ converge vers $1$.

$${ \forall \varepsilon > 0 ,\;\exists \eta>0\;,\quad 0<\vert x-1\vert<\eta\;\Longrightarrow\; \vert f(x)\vert\leqslant \varepsilon \;. }$$

Si la suite $(f(u_n))$ tend vers 0, alors la suite $(u_n)$ tend vers $1$.

$${ \forall \varepsilon > 0 ,\;\exists \eta>0\;,\quad 0<\vert x\vert<\eta\;\Longrightarrow\; \vert f(x)-1\vert\leqslant \varepsilon ^2/4\;. }$$

Question 2   Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $\mathbb{R}$, On considère uniquement des limites quand $x$ tend vers 0.

Si la limite de $f$ est $1$ alors la limite de $x\mapsto xf(x)$ est $1$.

Si la limite de $f$ est $1$ alors la limite de $x\mapsto f(x)/x^2$ est $+\infty$.

Si la limite de $f$ est $+\infty$ alors la limite de $x\mapsto xf(x)$ est $+\infty$.

Si la limite de $f$ est 0 alors la limite de $x\mapsto (1-x)f(x)$ est 0.

Si la limite de $f$ est $-\infty$ alors la limite de $x\mapsto (1-x)f(x)$ est $1$.

Question 3   Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $\mathbb{R}$.

$${ \lim_{x\to 0+}f(x)=-\infty\;\Longleftrightarrow\; \Big( \foral... ...s\eta>0\;,\quad (0<x\leqslant\eta)\Longrightarrow (f(x)\geqslant A) \Big)\;. }$$

$${ \lim_{x\to 0-}f(x)=+\infty\;\Longleftrightarrow\; \Big( \foral... ...\eta>0\;,\quad (0<x\leqslant \eta)\Longrightarrow (f(x)\geqslant A) \Big)\;. }$$

$${ \lim_{x\to +\infty}f(x)=0\;\Longleftrightarrow\; \Big( \forall... ...(x\geqslant A)\Longrightarrow \vert f(x)\vert\leqslant \varepsilon \Big)\;. }$$

$${ \lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty\;\Longleftrightarrow\; \Big( \... ...\in\mathbb{R}\;,\quad (x\leqslant B)\Longrightarrow f(x)\geqslant A \Big)\;. }$$

$${ \lim_{x\to 0^-}f(x)=-\infty\;\Longleftrightarrow\; \Big( \fora... ...,\quad (-\varepsilon \leqslant x< 0)\Longrightarrow f(x)\leqslant A \Big)\;. }$$

Question 4   La proposition est vraie pour toute fonction $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, définie et croissante sur $\mathbb{R}$.

La limite de $f$ à droite de $f$ en 0 existe et est finie.

La limite de $f$ en $+\infty$ est $+\infty$.

La limite à gauche de $f$ en 0 est inférieure ou égale à sa limite à droite en 0.

La limite de $f$ en $+\infty$ est positive ou nulle.

La limite à droite de $f$ en 0 est strictement inférieure à la limite à gauche de $f$ en $1$.

Question 5   Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, définie et croissante sur $\mathbb{R}$.

Si pour tout $x$ réel $f(x)<x$, alors $${\lim_{x \to 0+} f(x)<0}$$.

Si pour tout $x$ réel $f(x)<x$, alors $${\lim_{x \to -\infty} f(x)=-\infty}$$.

Si pour tout $x$ réel $f(x)<1$, alors $${\lim_{x \to +\infty} f(x)<1}$$.

Si pour tout $x$ réel $f(x)<0$, alors pour tout réel $a$ $${\lim_{x \to a+} f(x)< 0}$$.

Si pour tout $x$ réel $f(x)<1$, alors $${\lim_{x \to +\infty} f(x)<1}$$.

Question 6   La relation de comparaison proposée est vraie au voisinage de $+\infty$.

$2x^2+\sqrt{x^3}\ln(x)=O(x^2)$.

$2x^2+\sqrt{x^3}\ln(x)\sim x^2$.

$${\frac{2}{x^2}+\frac{\ln(x)}{\sqrt{x^3}}=O(x^{-2})}$$.

$${\frac{2}{x^2}+\frac{\ln(x)}{\sqrt{x^3}}\sim \frac{\ln(x)}{\sqrt{x^3}}}$$.

$${\frac{2}{x^2}+\frac{\ln(x)}{\sqrt{x^3}}=o(x^{-3/2})}$$.

Question 7    

$${\lim_{x\to +\infty} x^3\mathrm{e}^{-\sqrt[3]{x}/3}=0}$$.

$${\lim_{x\to 0+} x^{-3}\mathrm{e}^{-\sqrt[3]{x}/3}=0}$$.

$${\lim_{x\to 0+} \sqrt[3]{x} \ln(x^3)=-\infty}$$.

$${\lim_{x\to +\infty} x^{-1/3}\ln^3(x)=0}$$.

$${\lim_{x\to +\infty} \exp(x^{-1/3})\ln^3(x)=0}$$.

Question 8   La proposition est vraie pour toute fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$, continue en 0.

Pour toute suite $(u_n)$ de réels tendant vers 0, la suite $(f(u_n))$ tend vers $f(0)$.

$f$ est monotone au voisinage de 0.

La limite à droite de $f$ en 0 est nulle.

$f$ est bornée au voisinage de 0.

Il existe $\varepsilon >0$ tel que $f$ est continue en tout point de l'intervalle $[-\varepsilon ,+\varepsilon ]$.

Question 9   La proposition est vraie pour toute fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$, continue sur $\mathbb{R}$.

$\forall y\in\mathbb{R} ,\;\exists c\in\mathbb{R}\;,\quad f(c)=y$.

Si pour tout $x$ dans $]0,1[$, $f(x)<0$ alors $f(1)<0$.

$\exists c\in\mathbb{R}\;,\quad f(c)=\sup\{f(x) ,\;x\in[0,1]\}$.

Il existe un unique réel $c$ tel que $f(c)=\inf\{f(x) ,\;x\in[0,1]\}$.

Si $f(0)< f(1)$, alors $\forall y\in\; ]f(0),f(1)[ ,\;\exists c\in\;]0,1[\;,\quad f(c)=y$.

Question 10   La proposition est vraie pour toute fonction $f$ définie et continue sur $\mathbb{R}$, strictement croissante sur $[0,1]$.

La fonction réciproque $f^{-1}$ est une bijection de $[0,1]$ vers lui-même.

La fonction réciproque $f^{-1}$ est strictement croissante.

Le graphe de $f^{-1}$ est le symétrique du graphe de $f$ par rapport à l'axe des $x$.

Pour tout $x\in [0,1]$, si $f(x)=y$ alors $f(y)=x$.

La fonction $f$ est une bijection de $[0,1]$ vers $[f(0),f(1)]$.