Exemples

Comme exemple d'intégrales dont la primitive est explicitement calculable, observons que l'on peut généraliser les intégrales de Riemann et de Bertrand.

   Si $\displaystyle \gamma\leqslant 1\quad \int_3^{+\infty}t^{-1}
(\ln(t))^{-1}(\ln(\ln(t)))^{-\gamma} \mathrm{d}t
\;$ diverge,

   si $\displaystyle \gamma > 1\quad \int_3^{+\infty}
t^{-1}(\ln(t))^{-1}(\ln(\ln(t)))^{-\gamma} \mathrm{d}t
\;$ converge.

Pour des intégrales au voisinage de 0 :

   Si $\displaystyle \beta\leqslant 1\quad \int_0^{1/2} t^{-1} (-\ln(t))^{-\beta} \mathrm{d}t
\;$ diverge,

   si $\displaystyle \beta> 1\quad \int_0^{1/2} t^{-1} (-\ln(t))^{-\beta} \mathrm{d}t
\;$ converge.

Voici maintenant des applications des théorèmes de comparaison 1 et 3. L'idée intuitive à retenir est la suivante. Quand une fonction est un produit de plusieurs fonctions du type exponentielle, puissances de $ x$, puissances de logarithmes, l'une de ces fonctions ``l'emporte'' sur les autres : l'exponentielle l'emporte sur les puissances de $ x$ et les puissances de $ x$ l'emportent sur le logarithme.

Dans les exemples suivants, $ \alpha, \beta, \gamma, \delta$ désignent des réels strictement positifs. Les intégrales suivantes sont convergentes.

$\displaystyle \int_1^{+\infty} \mathrm{e}^{-\alpha t}  t^{\beta} \mathrm{d}t\...
...pha t}  t^{\beta} 
(\ln(t))^\gamma \vert\sin(t)\vert^\delta \mathrm{d}t\;.
$

La démonstration est la même que pour $ \int_1^{+\infty} t^\alpha \mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t$. Nous en rappelons le principe, en le généralisant.

Proposition 2   Soient $ \alpha$ et $ \alpha'$ deux réels tels que $ 0<\alpha'<\alpha$. Soit $ f$ une fonction continue sur $ [a,+\infty[$ telle que $ \mathrm{e}^{-(\alpha-\alpha') t}f(t)$ soit bornée. Alors l'intégrale

$\displaystyle \int_a^{+\infty} \mathrm{e}^{-\alpha t}f(t)  \mathrm{d}t\;$ est absolument convergente.

Démonstration : Par hypothèse, il existe $ M$ tel que pour tout $ t>a$,

$\displaystyle \vert\mathrm{e}^{-(\alpha-\alpha') t} f(t)\vert \leqslant M\;.
$

En multipliant par $ \mathrm{e}^{-\alpha' t}$, on obtient

$\displaystyle \vert\mathrm{e}^{-\alpha t} f(t)\vert \leqslant \mathrm{e}^{-\alpha' t} M\;.
$

D'où le résultat par le théorème de comparaison 1, puisque $ \int_a^{+\infty} \mathrm{e}^{-\alpha' t} \mathrm{d}t$ converge.$ \square$ Le même raisonnement vaut quand c'est une puissance de $ t$ qui est dominante. Par exemple, pour tout $ \alpha>1$ et pour tout $ \beta$,

$\displaystyle \int_2^{+\infty} t^{-\alpha} (\ln(t))^\beta \mathrm{d}t\;$ converge.

Proposition 3   Soient $ \alpha$ et $ \alpha'$ deux réels tels que $ 1<\alpha'<\alpha$ et soit $ f$ une fonction telle que $ t^{-(\alpha-\alpha')}f(t)$ soit bornée. Alors l'intégrale

$\displaystyle \int_a^{+\infty} t^{-\alpha}f(t) \mathrm{d}t\;$ est absolument convergente.

Démonstration : Par hypothèse, il existe $ M$ tel que pour tout $ t>a$,

$\displaystyle \vert t^{-(\alpha-\alpha')} f(t)\vert \leqslant M\;.
$

En multipliant par $ t^{-\alpha'}$, on obtient

$\displaystyle \vert t^{-\alpha} f(t)\vert \leqslant t^{-\alpha'}M\;.
$

D'où le résultat par le théorème de comparaison 1, puisque $ \int_a^{+\infty} t^{-\alpha'} \mathrm{d}t$ converge.$ \square$

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