Fonctions oscillantes, intervalle non borné

Nous considérons ici $ \int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t$, où $ f(t)$ oscille jusqu'à l'infini entre des valeurs positives et négatives (figure 5).
Figure 5: Intégrale d'une fonction oscillante sur un intervalle non borné.
\includegraphics[width=8cm]{intcv3}
La définition de la convergence reste la même.

$\displaystyle \int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t = \lim_{x\rightarrow+\infty} \int_a^x f(t) \mathrm{d}t\;.$

Contrairement au cas des fonctions positives, où la limite était soit finie, soit égale à $ +\infty$, tous les comportements sont possibles ici : les valeurs de $ \int_a^x f(t) \mathrm{d}t$ peuvent tendre vers une limite finie, vers $ +\infty$ ou $ -\infty$ ou bien encore osciller entre deux valeurs finies (comme $ \int_a^x \sin(t) \mathrm{d}t$), ou s'approcher alternativement de $ +\infty$ et $ -\infty$ (comme $ \int_a^x
t\sin(t) \mathrm{d}t$).

Le cas le plus favorable est celui où la valeur absolue de $ f$ converge.

Définition 2   Soit $ f$ une fonction continue sur $ [a,+\infty[$. On dit que $ \int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t$ est absolument convergente si $ \int_a^{+\infty} \vert f(t)\vert \mathrm{d}t$ converge.

Le théorème suivant est souvent utilisé pour démontrer la convergence d'une intégrale. Malheureusement, il ne permet pas de calculer la valeur de cette intégrale.

Théorème 5   Si l'intégrale $ \int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t$ est absolument convergente, alors elle est convergente.

Démonstration : Rappelons la définition : $ \int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t$ converge si et seulement si $ \int_a^{x} f(t) \mathrm{d}t$ converge. Posons $ F(x)=\int_a^{x} f(t) \mathrm{d}t$. Nous allons démontrer que, pour toute suite $ (x_n)_{n\in\mathbb{N}}$, tendant vers l'infini, la suite $ (F(x_n))_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite de Cauchy. Sans perte de généralité, nous pouvons supposer que la suite $ (x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante. Par la relation de Chasles, pour tout couple d'entiers $ (n,m)$ avec $ n<m$ :

$\displaystyle \vert F(x_m)-F(x_n)\vert=\left\vert\int_{x_n}^{x_m}f(t) \mathrm{d}t\right\vert
\leqslant \int_{x_n}^{x_m} \vert f(t)\vert \mathrm{d}t
$

Or par hypothèse, l'intégrale $ \int_a^{+\infty} \vert f(t)\vert \mathrm{d}t$ converge. On en déduit que la suite de terme général $ \int_a^{x_n} \vert f(t)\vert \mathrm{d}t$ converge : c'est donc une suite de Cauchy. Pour tout $ \varepsilon>0$, il existe $ n_0$ tel que pour $ m>n>n_0$,

$\displaystyle \vert F(x_m)-F(x_n)\vert
\leqslant \int_{x_n}^{x_m} \vert f(t)\vert \mathrm{d}t <\varepsilon\;.
$

La suite $ (F(x_n))_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite de Cauchy, donc elle converge. Puisque c'est vrai pour toute suite $ (x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tendant vers l'infini, la fonction , il existe ,

tel que pour $ m>n>n_0$,

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ent
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$ -\inf|= <8PAN CLASS="MATH"> (comm \veistyle \ve1MLT="$ \int_'est doninfty} |f(t)|\,\mathrm{d}t$ --> $ n<m$ : tenmathp Jenestait soibsolument convfrac{=cos(215}{t!-- MATH $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ --> 49AN CLASS="M5y"> $ m>n>n_0$,

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,

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