Fonctions positives, intervalle non borné

Nous considérons ici $\int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t$, où $f$ est de signe constant au voisinage de $+\infty$. Quitte à réduire l'intervalle d'intégration, et à changer éventuellement le signe de $f$ s'il est négatif, nous pouvons supposer que la fonction est positive ou nulle sur l'intervalle d'intégration $[a,+\infty[$ (figure 3).

Figure 3: Intégrale d'une fonction positive sur un intervalle non borné.

Rappelons que par définition,

$$\int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t = \lim_{x\rightarrow+\infty} \int_a^x f(t) \mathrm{d}t\;.$$

Observons que si la fonction $f$ est positive, alors la primitive $\int_a^x f(t) \mathrm{d}t$ est une fonction croissante de $x$ (car sa dérivée est $f(x)$). Quand $x$ tend vers l'infini, soit $\int_a^x f(t) \mathrm{d}t$ est bornée, et l'intégrale $\int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t$ converge, soit $\int_a^x f(t) \mathrm{d}t$ tend vers $+\infty$.

Si on ne peut pas (ou si on ne veut pas) calculer une primitive de $f$, on étudie la convergence en comparant avec des intégrales dont la convergence est connue, grâce au théorème suivant.

Théorème 1   Soient $f$ et $g$ deux fonctions positives et continues sur $[a,+\infty[$. Supposons que $f$ soit majorée par $g$ au voisinage de $+\infty$ :

$$\exists A ,\; \forall t>A\;,\quad f(t)\leqslant g(t)\;.$$

$\bullet$

Si $\int_a^{+\infty} g(t) \mathrm{d}t$ converge alors $\int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t$ converge.

$\bullet$

Si $\int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t$ diverge alors $\int_a^{+\infty} g(t) \mathrm{d}t$ diverge.

Démonstration : Comme nous l'avons observé, la convergence des intégrales ne dépend pas de la borne de gauche de l'intervalle, et nous pouvons nous contenter d'étudier $\int_A^x f(t) \mathrm{d}t$ et $\int_A^x g(t) \mathrm{d}t$. Or en utilisant la monotonie des intégrales, on obtient que pour tout $x>A$ :

$$\int_A^x f(t) \mathrm{d}t \leqslant \int_A^x g(t) \mathrm{d}t\;.$$

Si $\int_A^{+\infty} g(t) \mathrm{d}t$ converge, alors $\int_A^x f(t) \mathrm{d}t$ est une fonction croissante et majorée par $\int_A^{+\infty} g(t) \mathrm{d}t$, donc convergente. Inversement, si $\int_A^{x} f(t) \mathrm{d}t$ tend vers $+\infty$, alors $\int_A^{x} g(t) \mathrm{d}t$ tend vers $+\infty$ également.$\square$ Comme application typique du théorème de comparaison des intégrales 1, nous allons montrer que l'intégrale

$$\int_1^{+\infty} t^\alpha \mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t\;$$ converge,

pour tout réel $\alpha$. Pour cela nous écrivons :

$$t^\alpha \mathrm{e}^{-t} = t^\alpha \mathrm{e}^{-t/2} \mathrm{e}^{-t/2}\;.$$

On sait que

$$\lim_{t\rightarrow+\infty} t^\alpha \mathrm{e}^{-t/2} =0\;,$$

pour tout $\alpha$ (l'exponentielle l'emporte sur les puissances de $t$). En particulier, il existe un réel $A>0$ tel que :

$$\forall t>A ,\; t^\alpha \mathrm{e}^{-t/2}\leqslant 1\;.$$

En multipliant les deux membres de l'inégalité par $\mathrm{e}^{-t/2}$ on obtient :

$$\forall t>A ,\; t^\alpha \mathrm{e}^{-t}\leqslant \mathrm{e}^{-t/2}\;.$$

Or l'intégrale $\int_1^{+\infty} \mathrm{e}^{-t/2} \mathrm{d}t$ converge. En effet :

$$\int_1^x \mathrm{e}^{-t/2} \mathrm{d}t = \left[-2 \mathrm{e}^{-t/2}\right]_1^x = 2\mathrm{e}^{-1/2} -2\mathrm{e}^{-x/2}$$    et $$\lim_{x\rightarrow+\infty} 2\mathrm{e}^{-1/2} -2\mathrm{e}^{-x/2} = 2\mathrm{e}^{-1/2}\;.$$

On peut donc appliquer le théorème de comparaison 1 : puisque $\int_1^{+\infty} \mathrm{e}^{-t/2} \mathrm{d}t$ converge, on en déduit que $\int_1^{+\infty} t^\alpha \mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t$ converge aussi. Grâce au théorème de comparaison 1, on peut remplacer la fonction à intégrer par un équivalent au voisinage de $+\infty$ pour étudier la convergence d'une intégrale.

Théorème 2   Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues et positives sur $[a,+\infty[$, équivalentes au voisinage de $+\infty$ :

$$\lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{f(t)}{g(t)} = 1\;.$$

L'intégrale $\int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t$ converge si et seulement si $\int_a^{+\infty} g(t) \mathrm{d}t$ converge.

Démonstration : Dire que deux fonctions sont équivalentes au voisinage de $+\infty$, c'est dire que le rapport tend vers $1$, ou encore :

$$\forall \varepsilon>0 ,\;\exists A ,\; \forall t>A\;,\quad \left\vert\frac{f(t)}{g(t)}-1\right\vert<\varepsilon\;,$$

soit encore :

$$\forall \varepsilon>0 ,\;\exists A ,\; \forall t>A\;,\quad (1-\varepsilon)g(t)<f(t)<(1+\varepsilon)g(t)\;.$$

Fixons $\varepsilon<1$, et appliquons le théorème de comparaison 1 sur l'intervalle $[A,+\infty[$. Si l'intégrale $\int_A^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t$ converge, alors l'intégrale $\int_A^{+\infty} (1-\varepsilon)g(t) \mathrm{d}t$ converge, donc l'intégrale $\int_A^{+\infty} g(t) \mathrm{d}t$ aussi par la linéarité (proposition 1).

Inversement, si $\int_A^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t$ diverge, alors $\int_A^{+\infty} (1+\varepsilon) g(t) \mathrm{d}t$ diverge, donc $\int_A^{+\infty} g(t) \mathrm{d}t$ diverge aussi. $\square$ Par exemple, l'intégrale

$$\int_1^{+\infty} \frac{t^5+3t+1}{t^3+4}\mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t\;$$ converge.

En effet,

$$\frac{t^5+3t+1}{t^3+4}\mathrm{e}^{-t} \mathop{\sim}_{+\infty} t^2\mathrm{e}^{-t}\;,$$

et nous avons déjà montré que l'intégrale $\int_1^{+\infty} t^2\mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t$ converge.

L'utilisation des équivalents permet ainsi de ramener l'étude de la convergence d'une intégrale pour laquelle on n'a pas de primitive, à un catalogue d'intégrales dont la convergence est connue. Les plus classiques sont les intégrales de Riemann et de Bertrand. Intégrales de Riemann : $\int_1^{+\infty} t^{-\alpha} \mathrm{d}t$,
où $\alpha$ est un réel strictement positif. Dans ce cas, la primitive est explicite :

$$\int_1^{+\infty} t^{-\alpha} \mathrm{d}t = \left\{ \begin{... ... \Big[\ln(t)\Big]_1^x} &\mbox{si}&\alpha= 1 \end{array}\right.$$

On en déduit immédiatement la nature (convergente ou divergente) des intégrales de Riemann.

   Si $$\alpha\leqslant 1\quad \int_1^{+\infty} t^{-\alpha} \mathrm{d}t \;$$ diverge,

   si $$\alpha > 1\quad \int_1^{+\infty} t^{-\alpha} \mathrm{d}t \;$$ converge.

Intégrales de Bertrand : $\int_2^{+\infty} t^{-1}(\ln(t))^{-\beta}\,\mathrm{d}t$,
où $\beta$ est un réel strictement positif. La primitive est explicite :

$$\int_2^{+\infty} t^{-1}(\ln(t))^{-\beta}\,\mathrm{d}t = \le... ...g[\ln(\ln(t))\Big]_2^x} &\mbox{si}&\beta= 1 \end{array}\right.$$

On en déduit la nature (convergente ou divergente) des intégrales de Bertrand.

   Si $$\beta\leqslant 1\quad \int_2^{+\infty}t^{-1}(\ln(t))^{-\beta}\,\mathrm{d}t \;$$ diverge,

   si $$\beta > 1\quad \int_2^{+\infty} t^{-1}(\ln(t))^{-\beta}\,\mathrm{d}t \;$$ converge.

Voici un exemple d'application :

$$\int_2^{+\infty} \sqrt{t^2+3t}\,\ln\left(\cos\left(\frac{1}{t}\right)\right) \,\sin^2\left(\frac{1}{\ln(t)}\right)\,\mathrm{d}t\;$$ converge.

Pour le démontrer, calculons un équivalent de la fonction au voisinage de $+\infty$.

$$\sqrt{t^2+3t} = t\sqrt{1+\frac{3}{t}} \;\mathop{\sim}_{+\infty}\; t\;.$$

$$\ln\left(\cos(\frac{1}{t})\right) = \ln\left(1-\frac{1}{2t^2}+o(\frac{1}{t^2})\right) \;\mathop{\sim}_{+\infty}\; -\frac{1}{2t^2}\;.$$

$$\sin^2\left(\frac{1}{\ln(t)}\right) \;\mathop{\sim}_{+\infty}\; \left(\frac{1}{\ln(t)}\right)^2\;.$$

D'où un équivalent de la fonction au voisinage de $+\infty$ :

$$\sqrt{t^2+3t} \ln\left(\cos(\frac{1}{t})\right) \sin^2\left(\frac{1}{\ln(t)}\right) \;\mathop{\sim}_{+\infty}\; -\frac{1}{2t(\ln(t))^2}\;.$$

Remarquons que la fonction est négative au voisinage de $+\infty$, ce qui ne change pas la nature de l'intégrale. D'après le théorème 2, l'intégrale proposée est de même nature que l'intégrale de Bertrand $\int_2^{+\infty} t^{-1}(\ln(t))^{-2}\,\mathrm{d}t$, donc convergente.