Définitions et propriétés

Notre but dans ce chapitre est de calculer des intégrales sur des intervalles non bornés (allant jusqu'à $ +\infty$ ou $ -\infty$), ou bien des intégrales sur un domaine borné, de fonctions ayant une limite infinie en un point de l'intervalle d'intégration. Si on se réfère à l'interprétation intuitive d'une intégrale comme la surface d'un domaine dans le plan, dans les deux cas nous cherchons à calculer des surfaces de domaines non bornés.

Considérons par exemple la fonction $ f$ qui à $ t\in\mathbb{R}^*$ associe $ f(t) = \vert t\vert^{-3/2}\sin(t)$ : son graphe est représenté sur la figure 1.

Figure: Graphe de la fonction $ t\mapsto \vert t\vert^{-3/2}\sin(t)$.
\includegraphics[width=8cm]{sint32}
Comment donner un sens à l'intégrale de $ f$ sur $ \mathbb{R}$ ? Nous souhaitons une définition qui respecte les propriétés de base que sont la relation de Chasles, la linéarité et la monotonie.

On commence d'abord par identifier les points incertains, soit $ \pm\infty$ d'une part, et d'autre part le ou les points au voisinage desquels la fonction n'est pas bornée ($ t=0$ dans notre exemple). On découpe ensuite l'intervalle d'intégration en autant d'intervalles qui faut pour que chacun d'eux ne contienne qu'un seul point incertain, placé à l'une des deux bornes. La relation de Chasles impose que l'intégrale sur l'intervalle complet soit la somme des intégrales sur les intervalles du découpage. Dans l'exemple de la fonction $ f(t) = \vert t\vert^{-3/2}\sin(t)$ ci-dessus, il faut découper en 4 sous-intervalles : 2 pour isoler $ -\infty$ et $ +\infty$, et 2 autres pour le point incertain 0. On pourra écrire par exemple :

$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t
=
\int_{-\infty}^{-1} ...
...m{d}t+
\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d}t+
\int_{1}^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t\;.
$

Le seul but est d'isoler les difficultés : les choix de $ -1$ et $ 1$ comme points de découpage sont arbitraires (par exemple $ -3$ et $ 10$ auraient convenu tout aussi bien). Par ce découpage, on se ramène à des intégrales de 4 types.
  1. intégrale sur $ ]-\infty,a]$,
  2. intégrale sur $ [a,+\infty[$,
  3. intégrale sur $ ]a,b]$, fonction non bornée en $ a$,
  4. intégrale sur $ [a,b[$, fonction non bornée en $ b$,
Le changement de variable $ t\mapsto-t$ permet de réduire ces 4 cas à 2 seulement. En effet :

$\displaystyle \int_{-\infty}^a f(t) \mathrm{d}t = \int_{-a}^{+\infty} f(-u) \mathrm{d}u\;,
$

$\displaystyle \int_a^b f(t) \mathrm{d}t = \int_{-b}^{-a} f(-u) \mathrm{d}u\;.
$

Nous devons donc définir l'intégrale dans deux cas distincts.

Définition 1    
  1. Soit $ f$ une fonction continue sur $ [a,+\infty[$. On dit que l'intégrale $ \int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t$ converge si la limite quand $ x$ tend vers $ +\infty$ de la primitive $ \int_a^{x} f(t) \mathrm{d}t$ existe. Si c'est le cas, on pose :

    $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t = \lim_{x\rightarrow+\infty} \int_a^x f(t) \mathrm{d}t\;.$ (1)

    Dans le cas contraire, on dit que l'intégrale diverge.
  2. Soit $ f$ une fonction continue sur $ ]a,b]$. On dit que l'intégrale $ \int_a^b f(t) \mathrm{d}t$ converge si la limite à droite quand $ x$ tend vers $ a$ de $ \int_x^{b} f(t) \mathrm{d}t$ existe. Si c'est le cas, on pose :

    $\displaystyle \int_a^{b} f(t) \mathrm{d}t = \lim_{x\rightarrow a^+} \int_x^b f(t) \mathrm{d}t\;.$ (2)

    Dans le cas contraire, on dit que l'intégrale diverge.

Observons que la deuxième définition est cohérente avec les propriétés de l'intégrale d'une fonction continue : si la fonction $ f$ est continue sur $ [a,b]$ tout entier, alors $ \int_x^b f(t) \mathrm{d}t$ est une fonction de $ x$ continue en $ a$, et (2) est vérifié.

Dans $ \int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t$, la borne de gauche de l'intervalle d'intégration n'a pas d'influence sur le comportement de l'intégrale. Supposons $ f$ continue sur $ [a,+\infty[$ et choisissons un réel $ a'>a$. Par la relation de Chasles,

$\displaystyle \int_a^x f(t) \mathrm{d}t = \int_a^{a'} f(t) \mathrm{d}t +\int_{a'}^x f(t) \mathrm{d}t
$

Comme $ \int_a^{a'} f(t) \mathrm{d}t$ ne dépend pas de $ x$, la limite de $ \int_a^x f(t) \mathrm{d}t$ existe si et seulement si celle de $ \int_{a'}^x
f(t) \mathrm{d}t$ existe aussi. La convergence d'une intégrale ne dépend donc pas du comportement de la fonction sur des intervalles bornés, mais seulement de son comportement au voisinage de $ +\infty$.

Si $ f$ n'est pas bornée au voisinage de $ a$, la convergence de $ \int_a^b f(t) \mathrm{d}t$ ne dépend pas de $ b$, pour la même raison : elle ne dépend que du comportement de $ f$ au voisinage de $ a$.

Le résultat suivant est une conséquence immédiate de la linéarité des intégrales et des limites.

Proposition 1    
  1. Soient $ f$ et $ g$ deux fonctions continues sur $ [a,+\infty[$, et $ \alpha,\beta$ deux réels. Si les intégrales $ \int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t$ et $ \int_a^{+\infty} g(t) \mathrm{d}t$ convergent, alors $ \int_a^{+\infty} \alpha f(t)+\beta g(t) \mathrm{d}t$ converge et

    $\displaystyle \int_a^{+\infty} \alpha f(t)+\beta g(t) \mathrm{d}t = \alpha \int_a^{+\infty}
f(t) \mathrm{d}t +\beta \int_a^{+\infty} g(t) \mathrm{d}t\;.
$

  2. Soient $ f$ et $ g$ deux fonctions continues sur $ ]a,b]$, et $ \alpha,\beta$ deux réels. Si les intégrales $ \int_a^b f(t) \mathrm{d}t$ et $ \int_a^b g(t) \mathrm{d}t$ convergent, alors $ \int_a^b \alpha f(t)+\beta g(t) \mathrm{d}t$ converge et

    $\displaystyle \int_a^b \alpha f(t)+\beta g(t) \mathrm{d}t = \alpha \int_a^b
f(t) \mathrm{d}t +\beta \int_a^b g(t) \mathrm{d}t\;.
$

Quand on peut calculer une primitive de la fonction à intégrer, l'étude de la convergence se ramène à un calcul de limite. Voici plusieurs exemples. L'intégrale

$\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{1}{1+t^2} \mathrm{d}t\;$ converge.

En effet,

$\displaystyle \int_0^{x} \frac{1}{1+t^2} \mathrm{d}t =\Big[\arctan(t)\Big]_0^x
=\arctan(x)$    et $\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\arctan(x) = \frac{\pi}{2}\;.
$

On pourra écrire :

$\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{1}{1+t^2} \mathrm{d}t = \Big[\arctan(t)\Big]_0^{+\infty}
=\frac{\pi}{2}\;,
$

à condition de se souvenir que $ \Big[\arctan(t)\Big]_0^{+\infty}$ désigne une limite en $ +\infty$. Par contre, l'intégrale

$\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{1}{1+t} \mathrm{d}t\;$ diverge.

En effet,

$\displaystyle \int_0^{x} \frac{1}{1+t} \mathrm{d}t = \Big[\ln(1+t)\Big]_0^x
=\ln(1+x)$    et $\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\ln(1+x) = +\infty\;.
$

L'intégrale

$\displaystyle \int_0^1 \ln(t) \mathrm{d}t\;$ converge.

En effet,

$\displaystyle \int_x^1 \ln(t) \mathrm{d}t = \Big[t\ln(t)-t\Big]_x^1 = x-x\ln(x)-1$    et $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+} (x-x\ln(x)-1) = -1
$

On pourra écrire :

$\displaystyle \int_0^1 \ln(t) \mathrm{d}t = \Big[t\ln(t)-t\Big]_0^1 = -1\;.
$

Par contre, l'intégrale

$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{t} \mathrm{d}t\;$ diverge.

En effet,

$\displaystyle \int_x^1 \frac{1}{t} \mathrm{d}t = \Big[\ln(t)\Big]_x^1 = -\ln(x)$    et $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} -\ln(x) = +\infty\;.
$

Figure 2: Différents types d'intégrales : (a) intervalle non borné, fonction de signe constant ; (b) intervalle borné, fonction de signe constant ; (c) intervalle non borné, fonction de signe non constant ; (d) intervalle borné, fonction de signe non constant.
\includegraphics[width=6cm]{intcv1} \includegraphics[width=6cm]{intcv2}
\includegraphics[width=6cm]{intcv3} \includegraphics[width=6cm]{intcv4}
Quand on ne sait pas calculer une primitive, on a recours à deux types de méthodes, selon que la fonction est ou non de signe constant au voisinage du point incertain. Il y a donc 4 cas distincts, selon le type du point incertain, et le signe, constant ou non, de la fonction à intégrer. Ces 4 types sont schématisés dans la figure 2 et leur étude fait l'objet des sections suivantes.

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