QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1   Soit $f$ une fonction définie et continue sur $\mathbb{R}$.

Si l'intégrale de $f$ sur $[0,+\infty[$ converge, alors l'intégrale de $f$ sur $\mathbb{R}$ converge.

Si l'intégrale de $f$ sur $[1,+\infty[$ converge, alors l'intégrale de $f$ sur $[0,+\infty[$ converge.

Si $${\lim_{x\to+\infty}f(x)=-1}$$, alors l'intégrale de $f$ sur $[0,+\infty[$ diverge.

Si l'intégrale de $f$ sur $[0,+\infty[$ converge, alors $${\lim_{x\to+\infty}f(x)=0}$$.

Si $${\lim_{x\to+\infty}f(\vert x\vert)=0}$$, alors l'intégrale de $f$ sur $\mathbb{R}$ converge.

Question 2   Soit $f$ une fonction définie et continue sur $[0,1[$.

Si l'intégrale de $f$ sur $[0,1]$ converge, alors l'intégrale de $x\longmapsto f(\frac{1}{x})$ sur $[1,+\infty[$ converge.

Si l'intégrale de $x\longmapsto f(\frac{1}{x-1})$ sur $[1,+\infty[$ converge, alors l'intégrale de $f$ sur $[0,1]$ converge.

Si $${\lim_{x\to 1^-}f(x)=1}$$, alors l'intégrale de $f$ sur $[0,1]$ converge.

Si l'intégrale de $f$ sur $[0,1]$ diverge, alors $${\lim_{x\to 1^-}\vert f(x)\vert=+\infty}$$.

L'intégrale de $f$ sur $[0,1]$ converge si et seulement si l'intégrale de $x\longmapsto f(\frac{1}{1-x})$ sur $[1,+\infty[$ converge.

Question 3   Soit $f$ une fonction définie et continue sur $\mathbb{R}^+$.

Si l'intégrale de $f$ sur $[0,+\infty[$ converge, alors l'intégrale de $\vert f\vert$ sur $[0,+\infty[$ converge.

Si l'intégrale de $f$ sur $[0,+\infty[$ converge, alors l'intégrale de $f^2$ sur $[0,+\infty[$ converge.

Si l'intégrale de $\vert f\vert$ sur $[0,+\infty[$ converge, alors l'intégrale de $f$ sur $[0,+\infty[$ converge.

Si l'intégrale de $\vert f\vert$ sur $[0,+\infty[$ converge, alors l'intégrale de $x\longmapsto\sup\{f(x),0\}$ sur $[0,+\infty[$ converge.

Si l'intégrale de $\vert f\vert$ sur $[0,+\infty[$ converge, alors l'intégrale de $f^2$ sur $[0,+\infty[$ converge.

Question 4   Soit $f$ sur fonction définie, continue et strictement positive sur $\mathbb{R}^+$.

Si $xf(x)$ est majoré sur $\mathbb{R}^+$, alors l'intégrale de $f$ sur $[0,+\infty[$ converge.

Si $${\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}f(x)=\frac{1}{2}}$$, alors l'intégrale de $f$ sur $[0,+\infty[$ converge.

Si $${\lim_{x\to+\infty}x^2f(x)=+\infty}$$, alors l'intégrale de $f$ sur $[0,+\infty[$ diverge.

Si $f(x)$ est équivalent à $\frac{\ln(x)}{x^2}$ au voisinage de $+\infty$, alors l'intégrale de $f$ sur $[0,+\infty[$ converge.

Si pour tout $x\geqslant 2$, $f(x)\geqslant \frac{1}{x\ln (x)}$, alors l'intégrale de $f$ sur $[0,+\infty[$ diverge.

Question 5   Soit $f$ sur fonction définie, continue et strictement positive sur $]0,+\infty]$.

Si $${\lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}f(x)=2}$$, alors l'intégrale de $f$ sur $]0,1]$ converge.

Si $${\lim_{x\to 0^+}x\ln(\vert x\vert)f(x)=2}$$, alors l'intégrale de $f$ sur $]0,1]$ diverge.

Si $${\lim_{x\to 0^+}xf(x)=0}$$, alors l'intégrale de $f$ sur $]0,1]$ converge.

Si l'intégrale de $f$ sur $]0,1]$ converge, alors $xf(x)$ est bornée au voisinage de $0^+$.

Si l'intégrale de $f$ sur $]0,1]$ diverge, alors $${\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty}$$.

Question 6   L'intégrale proposée converge.

$${\int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}\ln^2{x}} \mathrm{d}x}$$

$${\int_1^{+\infty} \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^3+4x^2+4}} \mathrm{d}x}$$

$${\int_0^{+\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^5+4x^2+4}} \mathrm{d}x}$$

$${\int_1^{+\infty} \frac{\ln^2(x)}{\sqrt{x^2+4}} \mathrm{d}x}$$

$${\int_0^{+\infty} \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^3+4x^2+4}} \mathrm{d}x}$$

Question 7   L'intégrale proposée converge.

$${\int_0^{1} \frac{1}{x\ln^2(-x)} \mathrm{d}x}$$

$${\int_0^{1} \frac{x}{\sqrt{x^4+2x^5}} \mathrm{d}x}$$

$${\int_0^{1} \frac{x+1}{\sqrt{x^3+2x^4}} \mathrm{d}x}$$

$${\int_0^{1} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}}{x^3} \mathrm{d}x}$$

$${\int_0^{1} \mathrm{e}^{-\ln(x+3x^4)} \mathrm{d}x}$$

Question 8   L'intégrale proposée est absolument convergente.

$${\int_0^{1} \frac{\sin(\frac{1}{x})}{x} \mathrm{d}x}$$

$${\int_0^{+\infty} \frac{\cos(x)}{x} \mathrm{d}x}$$

$${\int_0^{1} \frac{\cos(\frac{1}{x}}{\sqrt{x}} \mathrm{d}x}$$

$${\int_0^{+\infty} \frac{\sin(x)}{\sqrt{x^3+1}} \mathrm{d}x}$$

$${\int_0^{+\infty} \frac{\sin(x^2)}{\sqrt{x^4+x^2}} \mathrm{d}x}$$

Question 9   L'intégrale proposée est convergente, mais pas absolument convergente.

$${\int_0^{+\infty} \frac{\sin(x)}{\sqrt{x^2+1}} \mathrm{d}x}$$

$${\int_0^{+\infty} \frac{\sin(x)}{\sqrt{x^3+1}} \mathrm{d}x}$$

$${\int_0^{+\infty} x\sin(x)\mathrm{e}^{-x} \mathrm{d}x}$$

$${\int_0^{1} \frac{\sin(x)}{\sqrt{x^2+x^3}} \mathrm{d}x}$$

$${\int_0^{1} \frac{\cos(\frac{1}{x})}{\sqrt{x^2+x^3}} \mathrm{d}x}$$

Question 10    

$${\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^2} \mathrm{d}x=1}$$

$${\int_1^{+\infty} e^{-x} \mathrm{d}x=1}$$

$${\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^2+1} \mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}}$$

$${\int_0^{+\infty} \frac{}{\sqrt{(x+2)^2}} \mathrm{d}x=4}$$

$${\int_0^{+\infty} xe^{-x} \mathrm{d}x=1}$$