Dualité

Rappels : espace vectoriel dual

  1. On appelle forme linéaire sur un espace vectoriel réel $ E$ toute application linéaire de $ E$ dans $ \mathbb{R}$.
  2. L'ensemble des formes linéaires sur un espace vectoriel réel $ E$ constitue un espace vectoriel, appelé espace vectoriel dual de $ E$ et noté $ E^*$.
  3. Si $ E$ est de dimension finie $ n$ et si $ (e_1,\dots,e_n)$ est une base de $ E$, on définit, pour tout $ i=1,\dots,n$, une application $ e_i^*$ de $ E$ dans $ \mathbb{R}$ par $ e_i^*\left( \sum\limits_{j=1}^n x_j e_j\right)=x_i$. Cette application, appelée $ i$-ième application coordonnée dans la base $ (e_1,\dots,e_n)$, est une forme linéaire sur $ E$ vérifiant

    $\displaystyle e_i^*(e_j)=\delta_{i,j}= \begin{cases}1 &\text{ si }i=j\\
0 & \text{ sinon,}
\end{cases}$

    et la famille $ (e^*_1,\dots,e^*_n)$ est une base de $ E^*$, appelée base duale de la base $ (e_1,\dots,e_n)$. En particulier, $ E^*$ et $ E$ ont même dimension : $ \dim E^*=\dim E$.

Proposition 31   Soit $ E$ un espace vectoriel euclidien.
  1. Pour tout vecteur $ v$ de $ E$, l'application $ l_v: \; x\mapsto \langle v,x\rangle $ de $ E$ dans $ \mathbb{R}$ est une forme linéaire sur $ E$.
  2. L'application $ v\mapsto l_v$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels de $ E$ sur son dual $ E^*$. En particulier, pour toute forme linéaire $ l$ sur $ E$, il existe un vecteur $ v$ de $ E$, et un seul, tel que $ l(x)=l_v(x)=\langle v,x\rangle $ pour tout vecteur $ x$ de $ E$.

Démonstration : La première propriété découle immédiatement de la linéarité du produit scalaire.

Si $ a$ et $ b$ sont deux réels et $ v$ et $ w$ deux vecteurs de $ E$, on a, pour tout $ x\in E$ :

$\displaystyle l_{av+bw}(x)=\la av+bw,x \ra=a\la v,x \ra + b \la w,x \ra=al_v(x)+bl_w(x) \, $

d'où $ l_{av+bw}=al_v+bl_w$ L'application $ v\mapsto l_v$ de $ E$ dans $ E^*$ est donc linéaire.

Comme $ E$ et $ E^*$ ont même dimension, il suffit, pour démontrer que c'est un isomorphisme, de vérifier qu'elle est injective, ou encore que son noyau est réduit au vecteur nul. Mais si $ l_v$ est la forme linéaire nulle, on a $ l_v(x)=\la v,x \ra=0$ pour tout $ x\in E$; en particulier, pour $ x=v$, on a $ \la v,v \ra=\Vert v\Vert^2=0$, d'où $ v=0$.$ \square$

En particulier, pour toute base orthonormale $ (e_1,\dots,e_n)$ de $ E$, la base duale $ (e_1^*, \dots, e_n^*)$ est donnée par $ e_i^*=l_{e_i}$ pour tout $ i=1,\dots,n$, puisque $ e_i^*(x)=\langle e_i,x\rangle$ pour tout vecteur $ x$ de $ E$. Plus généralement, toute forme linéaire $ l$ sur $ E$ est de la forme $ l(x)=\sum\limits_{i=1}^n v_i x_i$ pour un $ n$-uplet $ (v_1,\dots,v_n)$ de réels, où $ (x_1,\dots,x_n)$ sont les coordonnées du vecteur $ x$ dans la base $ (e_1,\dots,e_n)$, de sorte que $ l=l_v$, où $ v=\sum\limits_{i=1}^n v_i e_i$.

Produit vectoriel

Soit $ E$ un espace vectoriel euclidien orienté de dimension $ n$, $ (v_1,\dots,v_{n-1})$ une famille de $ n-1$ vecteurs de $ E$. L'application de $ E$ dans $ \mathbb{R}$ qui à tout vecteur $ x$ associe le produit mixte de la famille $ (v_1,\dots,v_{n-1},x)$ est une forme linéaire sur $ E$. Il existe donc (proposition 31) un vecteur $ w$ de $ E$ et un seul tel que $ \mathrm{det}(v_1,\dots,v_{n-1},x)=\la w,x \ra$ pour tout vecteur $ x$ de $ E$. Ce vecteur est appelé produit vectoriel de la famille $ (v_1,\dots,v_{n-1})$.

Définition 14   Soit $ E$ un espace vectoriel euclidien orienté de dimension $ n$. On appelle produit vectoriel d'une famille $ (v_1,\dots,v_{n-1})$ de $ n-1$ vecteurs de $ E$ l'unique vecteur $ v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_{n-1}$ de $ E$ vérifiant

$\displaystyle \mathrm{det}(v_1,\dots,v_{n-1},x) = \la v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_{n-1},x \ra$

pour tout vecteur $ x$ de $ E$.

En particulier, pour $ n=3$, le produit vectoriel de deux vecteurs $ u$ et $ v$ d'un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 est l'unique vecteur $ u\wedge v$ vérifiant

$\displaystyle \mathrm{det}(u,v,x)=\la u \wedge v,x \ra$

pour tout vecteur $ x$ de $ E$.

Propriétés

Nous nous intéresserons surtout au cas $ n=3$. C'est pourquoi nous donnerons les propriétés du produit vectoriel dans ce cadre.

Proposition 32   Soit $ E$ un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3.
  1. Le produit vectoriel est une application bilinéaire alternée, donc antisymétrique, de $ E \times E$ dans $ E$ : pour tous vecteurs $ u,u_1,u_2,v,v_1,v_2$ et tous réels $ a$ et $ b$ :
    • $ (a u_1+b u_2) \wedge v =a \, u_1\wedge v + b \, u_2 \wedge v$ (linéarité à gauche)
    • $ u \wedge (a v_1+b v_2) =a\, u \wedge v_1 + b \, u \wedge v_2$ (linéarité à droite)
    • $ u \wedge u =0 $
    • $ u \wedge v= - v \wedge u$ (antisymétrie)
  2. Le produit vectoriel de deux vecteurs est nul si et seulement si ces deux vecteurs sont colinéaires.
  3. Le produit vectoriel de deux vecteurs est orthogonal à chacun de ces vecteurs.
  4. Si les vecteurs $ u$ et $ v$ forment un système libre, $ (u,v,u\wedge v)$ est une base directe de $ E$.
  5. Si $ (e_1,e_2,e_3)$ est une base orthonormée directe de $ E$, les coordonnées de $ u\wedge v$ dans cette base sont $ (u_2v_3-u_3v_2,
\, u_3v_1-u_1v_3,
\, u_1v_2-u_2v_1)$, si $ u$ a pour coordonnées $ (u_1,u_2,u_3)$ et $ v$ $ (v_1,v_2,v_3)$.
  6. Pour tout couple $ (u,v)$ de vecteurs de $ E$, on a :

    $\displaystyle \Vert u\wedge v\Vert^2+\la u,v \ra^2=\Vert u\Vert^2 \Vert v\Vert^2 \, .$

  7. Pour tout couple $ (u,v)$ de vecteurs de $ E$, on a :

    $\displaystyle \Vert u \wedge v\Vert=\Vert u\Vert \; \Vert v\Vert \, \sin \theta$

    $ 0 \leq \theta \leq \pi$ est une mesure de l'angle non orienté des vecteurs $ u$ et $ v$.

Démonstration : La propriété 1 provient de la linéarité du produit scalaire et des propriétés analogues du déterminant.

Si $ u$ et $ v$ sont colinéaires, $ u\wedge v$ est nul par 1. Si le système $ (u,v)$ est libre, on peut le compléter en une base $ (u,v,w)$ de $ E$ et la relation $ 0 \not =\mathrm{det}(u,v,w)=\la u\wedge v,w \ra$ montre que $ u\wedge v$ n'est pas nul.

Les relations $ \la u\wedge v,u \ra=\mathrm{det}(u,v,u)=0$ et $ \la u\wedge v,v \ra=\mathrm{det}(u,v,v)=0$ montrent que $ u\wedge v$ est orthogonal à chacun des deux vecteurs $ u$ et $ v$.

La propriété 4 résulte de la relation $ \mathrm{det}(u,v,u\wedge v)=\Vert u\wedge v\Vert^2>0$ si $ (u,v)$ est un système libre.

Les composantes de $ u\wedge v$ s'obtiennent en développant le déterminant $ \mathrm{det}(u,v,x)$ par rapport à sa dernière colonne.

La relation 6 découle de l'identité algébrique :

\begin{multline*}
(u_2v_3-u_3v_2)^2+(u_3v_1-u_1v_3)^2+(u_1v_2-u_2v_1)^2
+(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3)^2\\
=(u_1^2+u_2^2+u_3^2) (v_1^2+v_2^2+v_3^2) \; .
\end{multline*}

La relation 7 découle de la précédente et de la relation $ \la u,v \ra= \Vert u\Vert \, \Vert v\Vert \, \cos\theta$.$ \square$

Adjoint d'un endomorphisme

Soit $ E$ un espace vectoriel euclidien et $ f$ un endomorphisme de $ E$ (i.e. une application linéaire de $ E$ dans $ E$). Pour tout vecteur $ x$ de $ E$, l'application $ y \mapsto \langle x,f(y)\rangle$ de $ E$ dans $ \mathbb{R}$ est une forme linéaire sur $ E$. Il existe donc un vecteur $ f^*(x)$ de $ E$ et un seul qui vérifie $ \langle x,f(y)\rangle \; =\; \langle f^*(x),y\rangle $ pour tout $ y\in E$. On vérifie facilement que l'application $ f^*$ de $ E$ dans $ E$ ainsi définie est linéaire. C'est donc un endomorphisme de $ E$, appelé endomorphisme adjoint de $ f$.

Définition 15   Soit $ E$ un espace vectoriel euclidien et $ f$ un endomorphisme de $ E$. On appelle endomorphisme adjoint de $ f$ et on note $ f^*$ l'unique endomorphisme de $ E$ vérifiant

$\displaystyle \langle x,f(y)\rangle \; =\; \langle f^*(x),y\rangle $

pour tout couple $ (x,y)$ de vecteurs de $ E$.

Proposition 33   Propriétés de l'adjoint :
  1. L'application de l'espace vectoriel $ \mathcal L (E)$ des endomorphismes de $ E$ dans $ \mathcal L (E)$ qui à un endomorphisme $ f$ associe son adjoint $ f^*$ est linéaire et involutive : $ (f^*)^*=f$.
  2. Si $ f$ et $ g$ sont deux endomorphismes de $ E$, $ (f\circ g)^*=g^* \circ f^*$.
  3. La matrice de $ f^*$ dans toute base orthonormée de $ E$ est la transposée de la matrice de $ f$ dans cette même base.
  4. Le noyau de $ f^*$ est l'orthogonal de l'image de $ f$.
  5. L'image de $ f^*$ est l'orthogonal du noyau de $ f$.
  6. Les endomorphismes $ f$ et $ f^*$ ont même rang.

Démonstration : La linéarité vient de la relation

$\displaystyle \la x,(af+bg)(y) \ra
=a \la x,f(y) \ra+b \la x,g(y) \ra
=\la af^*(x)+bg^*(x),y \ra$

$ f$ et $ g$ sont deux endomorphismes de $ E$, $ a$ et $ b$ deux réels, $ x$ et $ y$ deux vecteurs quelconques de $ E$.

La relation $ (f^*)^*=f$ vient de même de

$\displaystyle \la x,(f^*)^*(y) \ra
=\la f^*(x),y \ra
=\la x,f(y) \ra \; $

et la relation $ (f\circ g)^*=g^* \circ f^*$ de

$\displaystyle \la x,(f\circ g)(y) \ra
=\la x,f(g(y)) \ra
=\la f^*(x),g(y) \ra
=\la g^*(f^*(x)),y \ra \; .$

La matrice $ A$ d'un endomorphisme $ f$ dans une base orthonormée $ (e_1,\dots,e_n)$ a pour coefficients

$\displaystyle a_{i,j}=\la e_i,f(e_j) \ra \; .$

La matrice $ B$ de l'endomorphisme $ f^*$ dans cette même base a donc pour coefficients

$\displaystyle b_{i,j}=\la e_i,f^*(e_j) \ra
= \la f(e_i),e_j \ra
=a_{j,i}$

d'où $ B=\tr{A}$.

Un vecteur $ x$ de $ E$ appartient au noyau de $ f^*$ si et seulement si $ f^*(x)=0$, i.e. si et seulement si $ \la f^*(x),y \ra=\la x,f(y) \ra =0$ pour tout vecteur $ y$ de $ E$, i.e. si et seulement si $ x$ est orthogonal à l'image de $ f$.

En remplaçant $ f$ par $ f^*$ dans la relation $ \larf^*(x),y4ENTER de si et se =a_{j,i}$">

d'où

if" ALT="$ (e_1,\dots,e_n)$">
a 2r tout

;e,((

OORDER="O ">;e,(E)-A;e,(

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et la relation a p)(y) \ra =\la x,f(g(y)) \ra =\la f^*(x),g(y) \ra =\TATH"><0" gi" HEIGHT=s"37" ALIGN="M(iii)\Rightar.ow (i.gif" ALT="$ (u,v,u\wedge v)$"> es \Vert v\Vert \, \cos\theta$">. es même de

$ (f\circ g)^*=g^* \circ f^*6rang.
</LI>
</OL></DIV><P></P>

<P>
<I>Démonst7M$ E$ est la transposée de la matrice de $ f$ dans une base orthonormée appartient au noyau de $ \langle x,f(y)\rangle \; =\;athcal L (E)$
 -->
<SPAN CLASS= qui à un endomorphisme $ \mathcal L (E)$ qu 0ang. ndomorphisme appartient au noyau de dans une base orthonorméxtbf">produit vectoriel d'une famille a 20 \Vert v\Vert \, \cos\theta$">. v)=\| u\wedg HEIGHT=suivTTOMSPAN CLASS="MAimALIGN="diatgif" ,f(LE""17" ALIGN="BOTTOM" BORDER= de l'adjon dAL> Propriétésker" A"DTH="20" HEIGHT="17" ALIGN="BOTTOM" BOR6 de l'espace vectoriel <0.gif" AC="img31.gif" ALT" ALIGN="MIDDLE ER="0" sMGous->   Eximg3.gif" AL233jIDTHT=s"e C" ALIGN="MID SDER="0" lET="17" ALI   un espace vectori rphismes de d'un endomorphisme . On appelle endomorphisme adjoint de . On appelle endomorphisme adjoint de et d'un endomorphisme . On appelle endomorphisme adjoint de $ u\wedge v$ n'est p rphismes de est orthogonal !té 4 résulte de la relation n'est p rphismes de est orthogonal !té et $ f^*$ ont même CLASS="textbf">endomorphisme adjoint de de vecteurs de $ E$.

Proposition 33, puisC=eAL"$ \mathbb{R}$"> est une7 à un endomorphisme $ y \mapsto \langle x,f(y)\ran0ang.
</LI>
ndomorphisme <SPAN CLASS=$ f$ par $ y$ deux vecteurs quelconques de $ \langle x,f(y)\rangle \; =\; \Vert v\Vert \, \cos\theta$. <"MIpGHT=pIDDLE" ALIGN="pIDDLE" DOTTOM" BO W5.gif" ALTIGHT="39" AL/DIpGHT="33" ALIGN="pIDDLE" Dif" ALT="$ \langle x,f(y)\rangle \; =\6\la u\wedge v,w \ra$"> montre que n'est p rphismes de

Adjoint d'un endomorphisme

Soit R6" HET="17" ALIUneLN$ E$" ALIGN="MIDDLE" 0" SRCLAS"img1.gif" A ALIGN="MIDDLEinés59" vecteurs de <233;e de la matrice de deux réels, . On vé8TH"> E \ti S="LIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="img26.gif" ALT="$ \mathbb{R}$"> est une forme linéaire sur $ (v_1,v_2,v_3)$. $ (v_1,v_2,v_3)$. ndomorphisme $ \mathrm{det}(u,v,x)$ pour to RDE,R_1DR_2DE_1DE_2iIMG WIDTH=T="$ E$"> appartient au noyau de deux réels, $ E$, l'application HT="37" ALIGN.gif" , puisC=e\end{displaymath} -->

si IORDER= v)=\|C="img62.gmg31.gif" ALT" ALIGN="MIDDLE ="$ f$"> dans une base orthonormée appartient au noyau de deux réels, $ (f\circ g)^*=g^* \circ f^*$. On vé8TH"> E \ti S="LIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="img26.gif" ALT="$ \mathbb{R}$"> est une forme linéaire sur PropriétésCLAS""DTH="20" HEIGHT="17" ALIGN="BOTTOM" BOR8 de l'espace vectoriel est une 25TH">. On appelle endomorphisme adjoint de dans une base orthonormée appartient au noyau de $ y \mapsto \langle x,f(y)\ra5)(y) \ra
=\la x,f(g(y)) \ra
=\la f^*(x),g(y) \ra
=\9TH= de vecteurs de $ E$.

Proposition de $ E$, l'application $ (e_1,\dots,e_n)$ a p)(y) \ra =\la x,f(g(y)) \ra =\la f^*(x),g(y) \ra =\9"> appartient au noyau de $ \mathbb{R}$ est une forme linéaire sur $ E$. Il existe donc un vecteur $ f^*(x)$ de pour tout vecteur pour tout vecteur de $ E$, i.e. si et seulement si Si . On appelle $ E$, l'application dans une base orthonormée , l'application dans une base orthonormée

Adjoint d'un endomorphisme

Soit deux réels, rphismes de . On appelle endomorphisme adjoint de dans une base orthonormée appartient au noyau de $ y \mapsto \langle x,f(y)\ra3,f(e_j) \ra \; .$

La matrice de $ E$, l'application   R> dans une base orthonormée . On appelle endomorphisme adjoint de $ n-1$ vecteurs de <233;e de la matrice de 1.gif" appartient au noy#231;ant   $ E$ un espace vectori233;e de la matrice de deux réels, . Il existe donc un vecteur $ (e_1,\dots,e_n)$ a pour coefficients

dans une base orthonormée appartient au noyau de $ (f\circ g)^*=g^* \circ f^*$5\ra =0$ pour tout vecteur de vecteurs de $ E$.

Proposition a pour coefficients

IOMG H="67"17" ALIGN="BOTTOM7"17" ALI<"Mmbda_j GN="BOT=<"Mmbda_j "17" ALIGN="BOT=0DER="0" SRC="img62.gif" ALif" ALT="$ (x,y)$"> de vecteurs et seulement si est une forme linéaire sur et est une 1TH">$ \la f^*(x),y \ra=\la x,f(y101TH     un espace vectori de . On appelle endomorphisme adjoint de deux réels, rphismes de deux réels, 7CLASS="textbf">endomorphisme adjoint de , l'application . On appelle un espace vectori 7CLASS="textbf">endomorphisme adjoint de . Il existe donc u 7CLASS="textbf">endomorphisme adjoint de dans une base orthonorméx8="MATH"> de $ E$, l'application endomorphisme adjoint de . e v\Vert^2>0$"> si deux réels,90ang. $\displaystyle<TABLE CELLPADDING WIDla x,f(y100% ="$ B=\tr{A}$">.

Un15,f(e_j) \ra \; .$">

La matrice 8" H +ti,"19"+ti"LE" gSRC="img4 ="$ B=\tr{A}$">.

Un3thonorm嬬an.$">

La matrice N8" H SRCx"LE" +2\, t\, playmaplaymaplaymaplayma ="$ B=\tr{A}$">.

Un1

La matrice

et la relation

La matrice t^2 MGft( ="Mmbda \VertTi4Vert^2- vecteurs de <12CLASS="textbf">endomorphisme adjoint de

et la tTOM" BORDEeHC> trS"img4a \; LuMGecatdALTgrSPAN CL="1"$ E$">. On appelle endomorphisme adjoint de

et la tTOM" BORDEg4tteinimg43.minimumT="1"$ E$">. On appelle produit vectoriel d'une fa514H="16" HEIGHT=t7.gSRC="img4,g4g3d,y\ranglv.gif" ADER="0" nuL0"1DnWceDp

La matrice $ \la f^*(x),y \ra=\la x,f(y15,f(e_j) \ra \; .$

La matrice $ (v_1,v_2,v_3)$.

Adjoint d'un endomorphisme

Soit dans une base orthonorméx8="MATH"> appartient au noy#231;ant $ E$ un espace vectori233;e de la matrice de deux réels, de , l'application , l'application

Démons518H="16" HEIGHT=E_="MmbdaTOM" BORDERleMGous-> appartient au noy#231;ant dans une base orthonorméx8="MATH">$ (v_1,v_2,v_3)$.

Démons519e =a_{j,i}$"> E_="Mmbda^\perpiIMG WIDTH=T="$ E$"> appartient au noya7ang.

Démons518H="16" HEIGHT=E_="MmbdaTOM" BORDERIDDL"taCleH alg"$ E$"> appartient au noy#231;ant   . 9/OL>

Démons520H">$ (v_1,v_2,v_3)$. $\displaystyle \la x,(f^*)^*(7et seulement si <!-- MATH
 $\la f^*(x),y \ra=\la x522N= ="M"19y),xTTOM7"17"ySRCx"LE" 7"17"yS8" mbda xRDER=="Mmbda \T="y,xTTOM70IGHT,DER="0" SRC="img65.gif" ALTIGHT="39" AfIDT4" H"_="Mmbda^\perpif" ALT="$ (v_1,v_2,v_3)$">. 9/OL>

Démons52RDER="0" SRC="f=DT4" H"_="Mmbda^\perpi ALIGN="M

Adjoint d'un endomorphisme

Soit thgif" o-> dans une base orthonorméxtbf">produit vectoriel d'une famille deux réels,5- MATH $y \mapsto \langle x,f(y)\rangle$ --> appartient au noyau de .

Démons518H="16" HEIGHT=E_="MmbdaTOM" BORDERl'> mm =BOTTOM" BOlemm:staCle"D3 dAD, l'DER="0" lALIGN="MIDDLEE_="Mmbda^\perpif" ALT="$ (v_1,v_2,v_3)$">.

Démons519e =a_{j,i}$"> E_="Mmbda^\perpiIMG WIDTH=T="$ E$"> appartient au noya7ang.

Démons518H="16" HEIGHT=E_="MmbdaTOM" BORDERIDDL appartient au noyau de . appartient au noy#231;ant appartient au noy#231;ant $ (v_1,v_2,v_3)$.

Démons519e =a_{j,i}$"> E_="Mmbda^\perpiIMG WIDTHTH">.

Démons519e =a_{j,i}$"> E_="Mmbda^\perpiIMG WIDT. Palgl'hypoth> .

Démons519e =a_{j,i}$"> E_="Mmbda^\perpiIMG WIDT"cath}itu.gif" ALT=1.gif" A HEIGETALT="$ E$"> appartient au noy#231;ant .

7ang.

Démons518H="16" HEIGHT=E_="MmbdaTOM" BORDE WIDTH="68" x HEIGHT="37" ALIGN="MIDDLELT="$ E$">.

Proposition appartient au noy#231;ant " ALIGve (" pM" isplayfinde; ALIGve) RC="img62.gif" ALTg62.esmg6s W lE" A HEIGETAER="0 ALIGves (" pM"s" A gif" ALIGves)   un espace vectori forme linéaire sur dans une base orthonorméxtbf">produit vectoriel d'une famille et est une 1TH"> ont même 1TH"> <"Mmbda_iN="BOTTOM" LT="$ E$"> appartient au noy#forme linéaire sur $ \la f^*(x),y \ra=\la x,f(y101TH est une 2CLASS="textbf">endomorphisme adjoint de

=tr{X}A X=\tr{X}\tr{P}DPX=\tr{Y}DY=\sum_{i=1i^n <"Mmbda_i y_i^2DER="0" SRC="img6eRCp s ALT=ER="0" SRCY=PX=\tr{(y(e_j) \ray_n)if" ALT="$ \mathbb{R}$"> est une202CLASS="tex42SPAN CLASS="MATH"> est une 2CLASS="textbf">endomorphisme adjoint de nuL0"1RC="img62.gif" ALT"$ E$">.

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