Définitions

Définition 1   Un produit scalaire sur un espace vectoriel réel $ E$ est une forme bilinéaire symétrique définie positive sur $ E$.

On notera dans cette section $ \langle u,v\rangle$ le produit scalaire de deux vecteurs $ u$ et $ v$. Dans la section «Géométrie affine euclidienne», dont le cadre sera un espace affine euclidien (souvent de dimension 2 ou 3), les vecteurs seront écrits avec des flèches pour les distinguer des points et on notera (sauf exception) $ \u \cdot \v$ le produit scalaire de deux vecteurs $ \vec u$ et $ \vec v$.

Le produit scalaire de deux vecteurs est donc un nombre réel, et on a, pour tous vecteurs $ u,u_1,u_2,v,v_1,v_2$ et tous réels $ a$ et $ b$ :

Attention : le produit scalaire de deux vecteurs n'est pas toujours positif (pour tout couple $ (u,v)$ de vecteurs, les réels $ \langle -u,v\rangle $ et $ \langle u,v\rangle$ sont opposés).

On appellera carré scalaire d'un vecteur $ u$ le produit scalaire $ \langle u,u\rangle $ du vecteur $ u$ par lui-même. Ce nombre est toujours positif et il est nul si et seulement si $ u$ est nul.

Définition 2   On appelle espace vectoriel euclidien tout espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire.

Exemples

Norme euclidienne

La positivité du produit scalaire permet de définir pour tout vecteur $ u$ :

$\displaystyle \Vert u\Vert=\sqrt{\langle u,u\rangle }\; .$

Proposition 1   L'application $ u\mapsto \Vert u\Vert$ est une norme sur $ E$ appelée norme euclidienne sur $ E$.

Démonstration : Il faut vérifier que pour tous vecteurs $ u$ et $ v$ et tout réel $ \lambda$ :

  1. $ \Vert\lambda u\Vert=\vert\lambda\vert \, \Vert u\Vert$ ;
  2. $ \Vert u\Vert=0 \Longleftrightarrow u=0$ ;
  3. $ \Vert u+v\Vert \leq \Vert u\Vert+\Vert v\Vert$ (inégalité triangulaire).
Les deux premières propriétés découlent immédiatement de la définition du produit scalaire. La troisième découle de l'égalité

$\displaystyle \Vert u+v\Vert^2=\Vert u\Vert^2+2\langle u,v \rangle + \Vert v\Vert^2$

et de l'inégalité de Cauchy-Schwarz $ \vert\langle u,v\rangle \vert \leq \Vert u\Vert \; \Vert v\Vert$ démontrée ci-dessous.$ \square$

Lemme 1   (Inégalité de Cauchy-Schwarz)

Pour tout couple $ (u,v)$ de vecteurs d'un espace vectoriel euclidien, on a :

$\displaystyle \vert\langle u,v\rangle \vert \leq \Vert u\Vert \; \Vert v\Vert $

avec égalité si et seulement si $ u$ et $ v$ sont colinéaires.

Démonstration : Pour tout réel $ \lambda$, on a 

$\displaystyle \Vert\lambda u +v\Vert^2=\lambda^2 \Vert u\Vert^2+2\lambda \langle u,v \rangle +\Vert v\Vert^2 \geq 0 \; .$

Il en résulte que, si $ u\not=0$, le discriminant de ce trinôme du second degré en $ \lambda$ est négatif ou nul : $ \langle u,v \rangle^2 - \Vert u\Vert^2 \Vert v\Vert^2 \leq 0$. Ce discriminant est nul si et seulement si ce trinôme admet une racine réelle, i.e. si et seulement si il existe un réel $ \lambda$ tel que $ \lambda u + v=0$.$ \square$

Remarque : il résulte des démonstrations précédentes qu'on a égalité dans l'inégalité triangulaire $ \Vert u+v\Vert \leq \Vert u\Vert+\Vert v\Vert$ si et seulement si $ \la u,v \ra=\Vert u\Vert \, \Vert v\Vert$, i.e. si et seulement si les deux vecteurs $ u$ et $ v$ sont directement colinéaires (si $ u\not=0$, il existe $ \lambda\geq 0$ tel que $ v=\lambda u$).

Définition 3   Un vecteur est dit unitaire si sa norme est égale à 1.

À tout vecteur $ v$ non nul d'un espace vectoriel euclidien, on peut associer de manière unique un vecteur unitaire $ u$ qui lui est directement proportionnel en posant $ u=\dfrac{v}{\Vert v\Vert}$.

Caractérisation des normes euclidiennes

Définition 4   Une norme sur un espace vectoriel réel de dimension finie est dite euclidienne si elle provient d'un produit scalaire euclidien.

Le produit scalaire associé à une norme euclidienne est uniquement déterminé par cette norme par les relations :

$\displaystyle \langle u,v\rangle =\dfrac{1}{2}(\Vert u+v\Vert^2-\Vert u\Vert^2-\Vert v\Vert^2)=\dfrac{1}{4}(\Vert u+v\Vert^2-\Vert u-v\Vert^2) \; .$

Toute norme n'est pas euclidienne. Par exemple, les normes $ \Vert \cdot \Vert _1$ et $ \Vert\cdot \Vert _\infty$ définies sur $ \mathbb{R}^n$ par $ \Vert x \Vert _1=\sum\limits_{i=1}^n \vert x_i\vert$ et $ \Vert x \Vert _\infty=\max\limits_{i=1,\dots,n} \vert x_i\vert$ pour $ x=(x_1,\dots,x_n)$ ne sont pas euclidiennes. Elles ne vérifient en effet pas la relation du parallélogramme :

Proposition 2   Toute norme euclidienne vérifie la relation du parallélogramme :

$\displaystyle \Vert u+v\Vert^2+\Vert u-v\Vert^2=2 \, \Vert u\Vert^2+2\, \Vert v\Vert^2 \; .$

Cette relation tire son nom de ce que, si on considère le parallélogramme construit sur les deux vecteurs $ u$ et $ v$, les réels $ \Vert u-v\Vert$ et $ \Vert u+v\Vert$ sont les longueurs des diagonales de ce parallélogramme. Elle exprime donc que la somme des carrés des longueurs des côtés d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés des longueurs de ses diagonales.

Démonstration : Il suffit d'ajouter membre à membre les relations

$\displaystyle \Vert u+v\Vert^2=\la u+v,u+v \ra = \Vert u\Vert^2+2\la u,v \ra +\Vert v\Vert^2$

et

$\displaystyle \Vert u-v\Vert^2=\la u-v,u-v \ra = \Vert u\Vert^2-2\la u,v \ra +\Vert v\Vert^2 \, .$

$ \square$

On peut en fait montrer que cette relation caractérise les normes euclidiennes : une norme est euclidienne si et seulement si elle vérifie l'identité du parallélogramme.


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