QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1   Soit $ E$ un espace vectoriel euclidien, $ A$ une partie non vide quelconque de $ E$, $ A^\perp$ son orthogonal.
\framebox{A}
$ A=\{0\}$ si et seulement si $ A^\perp=E$.
\framebox{B}
$ (A^\perp)^\perp=A$.
\framebox{C}
$ A=E$ si et seulement si $ A^\perp=\{0\}$.
\framebox{D}
Si $ A$ est un sous-espace vectoriel de $ E$, alors $ \dim (A)=\dim(A^\perp)$.
\framebox{E}
$ (A^\perp)^\perp=A$ si et seulement si $ A$ est un sous-espace vectoriel de $ E$.

Question 2   Soit $ n\geq 2$ un entier et $ A$ une matrice carrée d'ordre $ n$ à coefficients réels.
\framebox{A}
$ A$ est orthogonale si et seulement si $ \mathrm{det}(A)=\pm 1$.
\framebox{B}
Si $ A$ est orthogonale, alors $ \mathrm{det}(A)=1$.
\framebox{C}
Si $ A$ est orthogonale, ses vecteurs lignes sont deux à deux orthogonaux.
\framebox{D}
Si $ \tr{A}$ est orthogonale, alors $ A$ est orthogonale.
\framebox{E}
Si les vecteurs colonnes de $ A$ sont deux à deux orthogonaux, alors $ A$ est orthogonale.

Question 3   Soit $ E$ un espace vectoriel euclidien, $ (e_1,\dots,e_n)$ une base orthonormée de $ E$, $ (v_1,\dots,v_n)$ une base quelconque de $ E$, $ (e'_1,\dots,e'_n)$ la base orthonormée de $ E$ obtenue à partir de la base $ (v_1,\dots,v_n)$ par le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt, $ P$ la matrice de passage de la base $ (e_1,\dots,e_n)$ à la base $ (v_1,\dots,v_n)$, $ Q$ la matrice de passage de la base $ (e_1,\dots,e_n)$ à la base $ (e'_1,\dots,e'_n)$, $ R$ la matrice de passage de la base $ (v_1,\dots,v_n)$ à la base $ (e'_1,\dots,e'_n)$.
\framebox{A}
$ Q=RP$.
\framebox{B}
$ R$ est triangulaire inférieure.
\framebox{C}
$ Q$ est orthogonale.
\framebox{D}
$ \mathrm{det}(P)=\mathrm{det}(R)$.
\framebox{E}
$ Q=PR$.

Question 4   Soit $ E$ un espace vectoriel euclidien, $ f$ une application linéaire de $ E$ dans $ E$.
\framebox{A}
Si $ f$ est un endomorphisme symétrique de $ E$, sa matrice dans toute base de $ E$ est symétrique.
\framebox{B}
S'il existe une base orthonormée de $ E$ dans laquelle la matrice de $ f$ est symétrique, alors la matrice de $ f$ dans toute base orthonormée de $ E$ est symétrique.
\framebox{C}
Si $ f$ est symétrique, alors $ f$ est diagonalisable.
\framebox{D}
Si $ f\circ f=f$, alors $ f$ est symétrique.
\framebox{E}
Si $ f\circ f=id_E$, alors $ f$ est symétrique.

Question 5   Soit $ E$ un espace vectoriel euclidien de dimension 3, $ u$, $ v$, $ w$ des vecteurs quelconques de $ E$.
\framebox{A}
$ u\wedge v=0$ si et seulement si $ u$ et $ v$ sont colinéaires.
\framebox{B}
$ \mathrm{det}(u,v,u\wedge v)=0$.
\framebox{C}
$ (u,v,u\wedge v)$ est une base orthonormée de $ E$.
\framebox{D}
$ \mathrm{det}(u,v,w)=\la v\wedge w,u \ra$.
\framebox{E}
$ (u \wedge v) \wedge w = u \wedge (v \wedge w)$.

Question 6   Dans un espace vectoriel euclidien de dimension 3 rapporté à une base orthonormée, les matrices suivantes sont des matrices de rotations :
\framebox{A}
$ A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ ;
\framebox{B}
$ B=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$ ;
\framebox{C}
$ C=\dfrac12\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\ 0 & \sqrt{2} & \sqrt{2}\\ 0 & \sqrt{2} & -\sqrt{2}\end{pmatrix}$ ;
\framebox{D}
$ D=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\end{pmatrix}$ ;
\framebox{E}
$ E=\dfrac13\begin{pmatrix}-2 & -1 & 2\\ 2 & -2 & 1\\ 1 & 2 & 2\end{pmatrix}$.

Question 7   Tous les triangles considérés sont supposés non aplatis.
\framebox{A}
Le centre du cercle circonscrit à un triangle est toujours intérieur à ce triangle.
\framebox{B}
L'orthocentre d'un triangle est toujours intérieur à ce triangle.
\framebox{C}
Le centre de gravité d'un triangle est toujours intérieur à ce triangle.
\framebox{D}
Il existe un point du plan et un seul équidistant des trois droites portant les côtés d'un triangle.
\framebox{E}
Pour tout triangle, l'orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit sont alignés.

Question 8   On se place dans un plan affine euclidien.
\framebox{A}
Le composé de deux rotations est toujours une rotation ou une translation.
\framebox{B}
Étant donné deux droites sécantes, il existe toujours une rotation et une seule transformant la première en la seconde.
\framebox{C}
Étant donné deux points distincts, il existe toujours une réflexion et une seule échangeant ces deux points.
\framebox{D}
Le composé d'une réflexion et d'une translation est toujours une réflexion.
\framebox{E}
Le composé d'une réflexion et d'une rotation est toujours une réflexion.

Question 9   On se place dans un espace affine euclidien de dimension 3.
\framebox{A}
Si $ f$ et $ g$ sont deux rotations d'axes sécants, alors $ f\circ g=g \circ f$.
\framebox{B}
Si $ f$ et $ g$ sont deux rotations d'axes sécants, alors $ f \circ g$ est une rotation.
\framebox{C}
Si $ P$ et $ Q$ sont deux plans non parallèles, alors le composé des réflexions de plans $ P$ et $ Q$ est une rotation.
\framebox{D}
Le composé de deux demi-tours est toujours une rotation.
\framebox{E}
Le composé d'une rotation et d'une symétrie centrale est une rotation ou un vissage.

Question 10   On se place dans le plan complexe.
\framebox{A}
L'application $ z \mapsto 2z-\bar z$ est une similitude.
\framebox{B}
L'application $ z\mapsto 2z-1$ est une homothétie de centre $ z_0=-1$.
\framebox{C}
L'application $ z\mapsto -\bar z$ est la réflexion d'axe $ Oy$.
\framebox{D}
L'application $ z\mapsto -i z+2$ est une rotation d'angle droit.
\framebox{E}
L'application $ z\mapsto -2 \bar z +2$ est une réflexion.

\framebox{\rotatebox{180}{Réponses~: 1--AE~2--CD~3--CE~4--BC~5--AD~6--DE~7--CE~8--AC~9--BC~10--CD}}

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