Sous-espaces affines

Définition 7   Une partie $ F$ d'un espace affine $ E$ est un sous-espace affine de $ E$ s'il existe un point $ A$ de $ F$ tel que $ \overrightarrow{F}=\{ \overrightarrow{AM} \mid M\in F\}$ soit un sous-espace vectoriel de $ \overrightarrow{E}$.

On a alors $ F=\{ A+\u\mid \u\in\overrightarrow{F}\}$.

Notation 2   Pour tout point $ A$ de $ E$ et tout sous-espace vectoriel $ \overrightarrow{F}$ de $ \overrightarrow{E}$, l'ensemble

$\displaystyle \Aff (A,\overrightarrow{F})=\{   A+\u\mid \u\in\overrightarrow{F}\}$

est un sous-espace affine de $ E$. On l'appellera sous-espace affine de $ E$ passant par $ A$ de direction $ \overrightarrow{F}$. Si $ \u$ est un vecteur non nul de $ \overrightarrow{E}$, on notera $ D(A,\u)$ la droite affine passant par $ A$ et de direction la droite vectorielle $ \mathbb{R}\u$. De même, si $ \u$ et $ \v$ sont deux vecteurs linéairement indépendants, on notera $ P(A,\u,\v)$ le plan affine passant par $ A$ et de direction le plan vectoriel $ \mathbb{R}\u\oplus\mathbb{R}\v$ engendré par les deux vecteurs $ \u$ et $ \v$.

Proposition 5   Soit $ F=\Aff (A,\overrightarrow{F})$ un sous-espace affine de $ E$. On a alors, pour tout point $ B$ de $ F$, $ \{ \overrightarrow{BM} \mid M\in F\}=\overrightarrow{F}$.

Démonstration : Puisque $ B$ appartient à $ F$, le vecteur $ \overrightarrow{AB}$ appartient à $ \overrightarrow{F}$. Or $ \overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}$ et l'application $ \u\mapsto \u-\overrightarrow{AB}$ est une bijection de $ \overrightarrow{F}$ sur $ \overrightarrow{F}$, puisque $ \overrightarrow{F}$ est un sous-espace vectoriel de $ \overrightarrow{E}$. Il en résulte que

$\displaystyle \{ \overrightarrow{BM} \mid M\in F\}=\{ \overrightarrow{AM}-\over...
...{ \u-\overrightarrow{AB} \mid \u\in \overrightarrow{F}\}=\overrightarrow{F}\; .$

$ \square$

Le sous-espace vectoriel $ \overrightarrow{F}$ de $ \overrightarrow{E}$ ne dépend donc pas du choix de $ A$ dans $ F$. On l'appelle direction du sous-espace affine $ F$. La restriction de l'application $ (M,N) \longmapsto \overrightarrow{MN}$ à $ F\times F$ munit $ F$ d'une structure naturelle d'espace affine de direction $ \overrightarrow{F}$. Sa dimension $ \dim(F)$ est celle de $ \overrightarrow{F}$.

Un sous-espace affine de dimension 0 est constitué d'un point, un sous-espace affine de dimension 1 est une droite, un sous-espace affine de dimension 2 un plan.

Définition 8   On appelle hyperplan d'un espace affine $ E$ de dimension finie tout sous-espace affine de $ E$ de dimension $ \dim(E)-1$.

Caractérisation en termes de barycentres

Proposition 6   Une partie non vide $ F$ d'un espace affine $ E$ est un sous-espace affine de $ E$ si et seulement si tout barycentre de points de $ F$ appartient à $ F$.

Démonstration : Si $ F$ est un sous-espace affine de $ E$, $ A$ un point de $ F$ et $ (A_i,\lambda_i)_{i=1,\dots,n}$ un système de points pondérés de $ F$ de poids total non nul, le barycentre $ G$ de ce système vérifie $ \overrightarrow{AG}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\overrightarrow{AA_i}}{\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i}$. Il en résulte que $ \overrightarrow{AG}$ appartient à $ \overrightarrow{F}$, puisque $ \overrightarrow{F}$ est un sous-espace vectoriel de $ \overrightarrow{E}$, et donc que $ G$ appartient à $ F$.

Réciproquement, soit $ F$ une partie non vide de $ E$ telle que tout barycentre de points de $ F$ affectés de coefficients quelconques (de somme non nulle) appartient à $ F$, et $ A$ un point de $ F$. Pour tout couple $ (M,N)$ de points de $ F$ et tout couple $ (\lambda,\mu)$ de réels, le point $ P$ de $ E$ défini par $ \overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AM}+\mu \overrightarrow{AN}$ est le barycentre du système de points pondérés $ [(A, 1-\lambda-\mu),   (M,\lambda),   (N,\mu)]$ et appartient donc à $ F$. Il en résulte que $ \overrightarrow{F}=\{ \overrightarrow{AM} \mid M\in F\}$ est un sous-espace vectoriel de $ \overrightarrow{E}$ ( $ \vec{0}=\overrightarrow{AA}$ appartient à $ \overrightarrow{F}$, qui n'est donc pas vide), et donc que $ F$ est un sous-espace affine de $ E$.$ \square$

Parallélisme

Définition 9   Deux sous-espaces affines $ F$ et $ G$ d'un même espace affine $ E$ sont dits parallèles s'ils ont même direction : $ \overrightarrow{F}=\overrightarrow{G}$.

Le parallélisme est une relation d'équivalence sur l'ensemble des sous-espaces affines de $ E$. Deux sous-espaces affines parallèles, au sens de cette définition, ont même dimension.

Si deux sous-espaces affines $ F$ et $ G$ d'un même espace affine $ E$ vérifient $ \overrightarrow{F}\subset \overrightarrow{G}$, on dit que $ F$ est parallèle à $ G$ (ou parfois faiblement parallèle à $ G$); cette relation n'est naturellement pas symétrique.

Intersection, sous-espace engendré

Proposition 7   L'intersection de toute famille (finie ou infinie) de sous-espaces affines d'un même espace affine est soit vide, soit un sous-espace affine de direction l'intersection des directions de ces sous-espaces affines.

Démonstration : Soit $ (F_i)_{i\in I}$ une famille de sous-espaces affines de $ E$. Si l'intersection $ \bigcap\limits_{i\in I} F_i$ de cette famille est vide, il n'y a rien à démontrer. Sinon, soit $ A$ un point de cette intersection. Pour tout $ i\in I$, un point $ M$ de $ E$ appartient à $ F_i$ si et seulement si le vecteur $ \overrightarrow{AM}$ appartient à la direction $ \overrightarrow{F}_i$ de $ F_i$, puisque $ A$ appartient à $ F_i$. Il en résulte que $ M$ appartient à $ \bigcap\limits_{i\in I} F_i$ si et seulement si $ \overrightarrow{AM}$ appartient au sous-espace vectoriel $ \bigcap\limits_{i\in I} \overrightarrow{F}_i$ de $ \overrightarrow{E}$, ce qui montre que $ \bigcap\limits_{i\in I} F_i$ est un sous-espace affine de $ E$ de direction $ \bigcap\limits_{i\in I} \overrightarrow{F}_i$.$ \square$

Cette stabilité par intersection permet de poser la définition suivante :

Définition 10   Soit $ A$ une partie non vide d'un espace affine $ E$. On appelle sous-espace affine engendré par $ A$ l'intersection de tous les sous-espaces affines de $ E$ contenant $ A$.

Proposition 8   Le sous-espace affine engendré par une partie non vide $ A$ d'un espace affine $ E$ est le plus petit (au sens de l'inclusion) sous-espace affine de $ E$ contenant $ A$. C'est aussi l'ensemble de tous les barycentres de tous les systèmes de points pondérés de $ A$ affectés de coefficients quelconques (de somme non nulle).

Démonstration : Soit $ A$ une partie non vide de $ E$ et $ F_A$ le sous-espace affine de $ E$ engendré par $ A$. $ F_A$ est non vide, car il contient $ A$, et c'est un sous-espace affine, comme intersection de sous-espaces affines . Par définition, il est inclus dans tout sous-espace affine de $ E$ contenant $ A$, c'est donc bien le plus petit sous-espace affine de $ E$ contenant $ A$.

Soit $ G_A$ l'ensemble de tous les barycentres de tous les systèmes de points pondérés de $ A$ affectés de coefficients quelconques (de somme non nulle). $ G_A$ n'est pas vide, car il contient $ A$ (considérer un système réduit à un point), et tout barycentre d'un système de points pondérés de $ G_A$ appartient encore à $ G_A$ par associativité du barycentre. Il résulte de la proposition 6 que $ G_A$ est un sous-espace affine de $ E$. Comme il contient $ A$, il contient $ F_A$. Mais $ F_A$ est un sous-espace affine de $ E$ et tout point de $ A$ appartient à $ F_A$. Il en résulte que tout barycentre de points de $ A$ appartient à $ F_A$, donc que $ G_A$ est inclus dans $ F_A$. On a donc $ F_A=G_A$.$ \square$

Proposition 9   Soient $ F$ et $ G$ deux sous-espaces affines d'un espace affine $ E$, $ A$ un point de $ F$ et $ B$ un point de $ G$. L'intersection $ F \cap G$ est non vide si et seulement si le vecteur $ \overrightarrow{AB}$ appartient à la somme $ \overrightarrow{F}+ \overrightarrow{G}$ des directions de ces deux sous-espaces. En particulier, si $ \overrightarrow{F}$ et $ \overrightarrow{G}$ sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de $ \overrightarrow{E}$, l'intersection $ F \cap G$ consiste en un point.

Démonstration : Si l'intersection $ F \cap G$ n'est pas vide, soit $ I$ un point de cette intersection. Le vecteur $ \overrightarrow{AI}$ appartient à $ \overrightarrow{F}$ et le vecteur $ \overrightarrow{IB}$ à $ \overrightarrow{G}$. Il en résulte que le vecteur $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}$ appartient à $ \overrightarrow{F}+ \overrightarrow{G}$.

Réciproquement, si $ \overrightarrow{AB}$ appartient à $ \overrightarrow{F}+ \overrightarrow{G}$, il existe un vecteur $ \u$ de $ \overrightarrow{F}$ et un vecteur $ \v$ de $ \overrightarrow{G}$ tels que $ \overrightarrow{AB}=\u+\v$. Soit $ I$ le point de $ E$ défini par $ \overrightarrow{AI}=\u$. Le point $ I$ appartient à $ F$ puisque $ \overrightarrow{AI}$ appartient à $ \overrightarrow{F}$. L'égalité

$\displaystyle \overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AB}=\u- (\u+ \v) = -\v$

montre que $ \overrightarrow{BI}$ appartient à $ \overrightarrow{G}$ et donc que $ I$ appartient à $ G$. Il en résulte que $ I$ appartient à l'intersection de $ F$ et de $ G$, qui n'est donc pas vide.

Dans le cas où $ \overrightarrow{F}$ et $ \overrightarrow{G}$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $ \overrightarrow{E}$, tout vecteur de $ \overrightarrow{E}$, en particulier le vecteur $ \overrightarrow{AB}$, appartient à $ \overrightarrow{E}=\overrightarrow{F}+ \overrightarrow{G}$. L'intersection $ F \cap G$ n'est donc pas vide, et sa direction est $ \overrightarrow{F}\cap \overrightarrow{G}= \{\vec{0}\}$ (proposition 7). Cette intersection est donc réduite à un point.$ \square$


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