Corrigé du devoir

Questions de cours :  
  1. Le point $ M$ ayant $ (1,-1,1)$ comme coordonnées barycentriques normalisées dans le repère affine $ (A,B,C)$, on a, pour tout point $ O$ de $ E$ :

    $\displaystyle \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}   .$

    En particulier, pour $ O=A$, on a $ \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BC}$, ce qui montre que $ ABCM$ est un parallélogramme.

  2. La direction de l'hyperplan affine d'équation $ a_0+a_1 x_1+\dots +a_n x_n=0$ est l'hyperplan vectoriel d'équation $ a_1 x_1+\dots +a_n x_n=0$ dans la base $ (\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$. Deux hyperplans affines d'équations respectives $ a_0+a_1 x_1+\dots +a_n x_n=0$ et $ a'_0+a'_1 x_1+\dots +a'_n x_n=0$ sont parallèles si et seulement si leurs directions sont confondues, i.e. si et seulement si il existe un réel $ \lambda$ non nul tel que $ a'_i=\lambda a_i$ pour tout $ i=1,\dots,n$.

  3. L'enveloppe convexe d'une partie $ A$ d'un espace affine $ E$ est le plus petit convexe de $ E$ contenant $ A$. C'est l'intersection de tous les convexes de $ E$ contenant $ A$. C'est aussi l'ensemble de tous les barycentres de systèmes de points pondérés de $ A$ affectés de coefficients tous positifs.

  4. La composée de deux homothéties de rapports respectifs $ \lambda$ et $ \mu$ est une homothétie de rapport $ \lambda \mu$ si $ \lambda \mu \not = 1$ et une translation si $ \lambda \mu= 1$.

  5. Soit $ A$ un point quelconque de $ E$ et $ O$ le milieu du segment $ [Af(A)]$. La relation

    $\displaystyle \overrightarrow{f(O)f(A)}=\vec{f}(\overrightarrow{OA})=-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{Of(A)}$

    montre que $ f(O)=O$. On a alors

    $\displaystyle \overrightarrow{Of(M)}=\overrightarrow{f(O)f(M)}=\vec{f}(\overrightarrow{OM})=-\overrightarrow{OM}$

    pour tout point $ M$ de $ E$, ce qui montre que $ f$ est la symétrie centrale de centre $ O$.

    On pouvait naturellement aussi se contenter d'appliquer la proposition 32 au cas particulier $ k=-1$.


Exercice 1 :  

  1. Le point $ p(M)$ est l'intersection de la droite passant par $ M$ de vecteur directeur $ \v$ et du plan $ \Pi$. Il existe donc un réel $ t$ tel que $ \overrightarrow{Mp(M)}=t\v$. Les coordonnées de $ p(M)$ sont $ (x+2t,y+t,z-2t)$ et le point $ p(M)$ appartient au plan $ \Pi$, d'où la relation $ 2(x+2t)-3(y+t)+(z-2t)+1=0$. On en déduit $ t=2x-3y+z+1$ et

    \begin{displaymath}\begin{cases}
x'&=5x-6y+2z+2\\
y'&=2x-2y+z+1\\
z'&=-4x+6y-z-2 \; .
\end{cases}\end{displaymath}

  2. La matrice de $ \vec p$ dans la base $ (\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ est donc

    $\displaystyle P=\begin{pmatrix}
5 & -6 & 2\\
2 & -2 & 1\\
-4 & 6 & -1
\end{pmatrix}$

  3. La relation $ p\circ p=p$ implique $ \vec p\circ \vec p=\vec p$, d'où $ P^2=P$, ce qui peut naturellement se vérifier par le calcul. L'image de $ \vec p$ est le plan vectoriel $ \overrightarrow{\Pi}$ direction du plan $ \Pi$. La matrice $ P$ est donc de rang $ 2$.

  4. Le symétrique $ s(M)$ du point $ M$ vérifie $ \overrightarrow{Ms(M)}=2\overrightarrow{Mp(M)}=2t\v$, où $ t=2x-3y+z+1$ est le réel défini à la question 1, d'où

    \begin{displaymath}\begin{cases}
x''&=9x-12y+4z+4\\
y''&=4x-5y+2z+2\\
z''&=-8x+12y-3z-4 \; .
\end{cases}\end{displaymath}

    On pouvait aussi remarquer que $ s(M)$ est le symétrique de $ M$ par rapport à $ p(M)$, d'où les relations $ x''=2x'-x$, $ y''=2y'-y$, $ z''=2z'-z$.

  5. La matrice de $ \vec s$ dans la base $ (\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ est donc

    $\displaystyle S=2P-I=\begin{pmatrix}
9 & -12 & 4\\
4 & -5 & 2\\
-8 & 12 & -3
\end{pmatrix}$

    Comme $ s$ est une symétrie, $ s\circ s=id_E$, d'où $ \vec s\circ \vec s=id_{\overrightarrow{E}}$ et $ S^2=I$.

  6. Par la relation de Chasles

    $\displaystyle \overrightarrow{a(M)a(N)}$ $\displaystyle =\overrightarrow{a(M)p(M)}+\overrightarrow{p(M)p(N)}+\overrightarrow{p(N)a(N)}$    
      $\displaystyle =\alpha \overrightarrow{Mp(M)}+\overrightarrow{p(M)p(N)}+\alpha\overrightarrow{p(N)N}$    
      $\displaystyle =\alpha(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{p(M)p(N)})+\overrightarrow{p(M)p(N)}$    
      $\displaystyle =\alpha\overrightarrow{MN}+(1-\alpha)\overrightarrow{p(M)p(N)}$    
      $\displaystyle =[\alpha   id_{\overrightarrow{E}}+(1-\alpha)\vec p  ](\overrightarrow{MN})\; .$    

  7. Il en résulte que $ a$ est affine de partie linéaire $ \vec a= \alpha   id_{\overrightarrow{E}}+(1-\alpha)\vec p$. D'où $ A=\alpha I +(1-\alpha) P$.

  8. De la relation $ P^2=P$ découle

    $\displaystyle A^2$ $\displaystyle =\alpha^2 I + 2\alpha (1-\alpha)P+(1-\alpha)^2 P^2$    
      $\displaystyle =\alpha^2 I +(1-\alpha^2) P$    

    d'où $ A^2-(1+\alpha)A+\alpha I=0$. En particulier, pour $ \alpha=-1$ on retrouve la relation $ S^2=I$ et pour $ \alpha=0$ la relation $ P^2=P$.


Exercice 2 :


  1. La composée $ t=s_B\circ s_A$ de deux symétries centrales est une translation, puisque c'est une transformation affine de partie linéaire l'identité. L'image par $ t$ de $ A$ est $ A'=s_B(A)$. Il en résulte que $ t$ est la translation de vecteur $ \overrightarrow{AA'}=2\overrightarrow{AB}$.

    Il en résulte immédiatement par récurrence que la composée d'un nombre pair de symétries centrales est une translation.

  2. La composée d'un nombre impair $ k$ de symétries centrales est une symétrie centrale puisque sa partie linéaire est l'homothétie vectorielle de rapport $ (-1)^k=-1$.
  3. Les points $ A_1$ et $ A_2$ sont symétriques par rapport à $ B_1$, puisque $ B_1$ est le milieu de $ [A_1A_2]$. On a donc $ f_1(A_1)=s_{B_1}(A_1)=A_2$.

    Montrons par récurrence sur $ k$ que $ f_k(A_1)=A_{k+1}$ pour $ k=1,\dots,n-1$. On vient de voir que la propriété est vraie pour $ k=1$. Si elle est vraie pour $ k\leq n-2$, comme $ B_{k+1}$ est le milieu de $ [A_{k+1}A_{k+2}]$, on a $ s_{B_{k+1}}(A_{k+1})=A_{k+2}$, d'où $ f_{k+1}(A_1)=s_{B_{k+1}}(A_{k+1})=A_{k+2}$. De même $ f_n(A_1)=s_{B_n}(A_n)=A_1$.

  4. a)
    Comme $ n$ est impair, $ f_n$ est une symétrie centrale. On vient de voir que $ f_n(A_1)=A_1$. Il en résulte que $ A_1$ est le centre de $ f_n$, puisque le centre d'une symétrie centrale est son seul point fixe.

    L'application $ f_n$ étant entièrement déterminée par les points $ B_1,\dots,B_n$, il en résulte que la donnée de ces points détermine $ A_1$ et, par récurrence, tous les points $ A_k$, puisque $ A_{k+1}=f_k(A_1)$. L'application $ m$ est donc injective.

    Elle est également surjective, puisque, si $ A_k$ sont les points précédemment définis, $ B_k$ est le milieu de $ [A_kA_{k+1}]$ pour tout $ k=1,\dots,n-1$, et $ B_n$ le milieu de $ [A_nA_1]$. L'application $ m$ est donc bijective.

    b)
    Pour construire les points $ A_i$ connaissant les points $ B_i$, il suffit de construire $ A_1$, les autres points $ A_i$ s'en déduisant par les symétries successives de centres $ B_1,B_2,\dots,B_{n-1}$. Mais $ A_1$ est le centre de la symétrie centrale $ f_n$, donc le milieu du segment $ [Mf_n(M)]$ pour tout point $ M$ de $ E$. On l'obtient donc en choisissant n'importe quel point $ M$ de $ E$ (par exemple $ B_1$), en construisant son image $ f_n(M)$ et en prenant le milieu du segment $ [Mf_n(M)]$.
  5. a)
    Comme $ n$ est pair, $ f_n$ est une translation de vecteur la somme des vecteurs des translations $ s_{B_{2k}}\circ s_{B_{2k-1}}$ pour $ k=1,\dots,n/2$, i.e. $ 2\sum\limits_{k=1}^{n/2} \overrightarrow{B_{2k-1}B_{2k}}$. Par ailleurs, la relation $ f_n(A_1)=A_1$ montre que $ f_n$ a un point fixe, c'est donc l'identité. Le vecteur de la translation $ f_n$ est donc nul :

    $\displaystyle 2 \sum_{k=1}^{n/2} \overrightarrow{B_{2k-1}B_{2k}} = \vec{0} \qquad\qquad (*)\; .$

    b)
    Il en résulte que l'application $ m$ n'est pas surjective, puisque son image est contenue dans l'ensemble des $ n$-uplets de points $ (B_1,\dots,B_n)$ vérifiant la relation $ (*)$.

    Soit $ (B_1,\dots,B_n)$ un $ n$-uplet de points vérifiant la relation $ (*)$ et $ A_1$ un point quelconque de $ E$. Définissons par récurrence des points $ A_2,\dots,A_n$ par $ A_{k+1}=s_{B_k}(A_k)$ pour $ k=1,\dots,n-1$. Pour tout $ k=1,\dots,n-1$, $ B_k$ est donc le milieu de $ [A_kA_{k+1}]$ et il résulte de la relation $ (*)$ que $ f_n$ est l'identité, d'où $ f_n(A_1)=s_{B_n}(A_n)=A_1$. $ B_n$ est donc le milieu de $ [A_nA_1]$ et le $ n$-uplet $ (B_1,\dots,B_n)$ est l'image par $ m$ du $ n$-uplet $ (A_1,\dots,A_n)$.

    Il en résulte que l'image de $ m$ est exactement l'ensemble des $ n$-uplets de points $ (B_1,\dots,B_n)$ vérifiant la relation $ (*)$.

    L'application $ m$ n'est pas injective puisque le choix de $ A_1$ dans la construction précédente est arbitraire.


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