QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1   Soit $ ABC$ un triangle non aplati, $ A'$, $ B'$, $ C'$ les milieux des segments $ [BC]$, $ [CA]$, $ [AB]$.
\framebox{A}
$ \overrightarrow{BC}=2  \overrightarrow{B'C'}$.
\framebox{B}
Les droites $ (AC)$ et $ (A'C')$ sont parallèles.
\framebox{C}
Il existe une homothétie de rapport 1/2 transformant le triangle $ ABC$ en le triangle $ A'B'C'$.
\framebox{D}
Les segments $ [A'B']$ et $ [CC']$ ont même milieu.
\framebox{E}
Les segments $ [AA']$ et $ [BB']$ ont même milieu.

Question 2   Soit $ ABC$ un triangle non aplati, $ A'$, $ B'$, $ C'$ les milieux des segments $ [BC]$, $ [CA]$, $ [AB]$, $ M$ un point de coordonnées barycentriques réduites $ (\alpha,\beta,\gamma)$ dans le repère affine $ (A,B,C)$.
\framebox{A}
$ M$ appartient à la droite $ (BC)$ si et seulement si $ \alpha=1$.
\framebox{B}
$ M$ appartient à la droite $ (B'C')$ si et seulement si $ \beta=\gamma$.
\framebox{C}
$ M$ appartient à la droite $ (AA')$ si et seulement si $ \beta=\gamma$.
\framebox{D}
$ M$ appartient à la parallèle à $ (BC)$ menée par $ A$ si et seulement si $ \beta=-\gamma$.
\framebox{E}
$ ABCM$ est un parallélogramme si et seulement si $ \beta=-\gamma$.

Question 3   Soit, dans un espace affine de dimension 3 rapporté à un repère cartésien $ (O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, $ P_1$, $ P_2$, $ P_3$ les trois plans d'équations respectives :

$\displaystyle P_1 \; : \quad$ $\displaystyle 2x-y-z=2$    
$\displaystyle P_2\; : \quad$ $\displaystyle y-z=1$    
$\displaystyle P_3 \; : \quad$ $\displaystyle 3x-y-2z=0 \; .$    

\framebox{A}
Les plans $ P_1$ et $ P_3$ sont parallèles.
\framebox{B}
Il existe une droite contenue dans les trois plans $ P_1$, $ P_2$, $ P_3$.
\framebox{C}
Le vecteur $ (1,1,1)$ est un vecteur directeur de l'intersection de $ P_1$ et $ P_2$.
\framebox{D}
L'intersection $ P_1 \cap P_2 \cap P_3$ des trois plans $ P_1$, $ P_2$, $ P_3$ est réduite à un point.
\framebox{E}
Les intersections deux à deux des trois plans $ P_1$, $ P_2$, $ P_3$ sont des droites parallèles.

Question 4   Soient $ A$, $ B$, $ C$, $ D$ quatre points non coplanaires de l'espace affine de dimension 3, $ I$, $ J$, $ K$, $ L$ les milieux respectifs des segments $ [AB]$, $ [BC]$, $ [CD]$ et $ [DA]$.
\framebox{A}
Les centres de gravité des quatre triangles $ ABC$, $ BCD$, $ CDA$ et $ DAB$ sont coplanaires.
\framebox{B}
Le plan défini par les centres de gravité des triangles $ ABC$, $ ACD$, $ ABD$ est parallèle au plan $ (BCD)$.
\framebox{C}
Le quadrilatère $ IJKL$ est un parallélogramme.
\framebox{D}
Le plan défini par les centres de gravité des triangles $ ABC$, $ ACD$, $ ABD$ se déduit du plan $ (BCD)$ par une homothétie de centre $ A$ et de rapport $ 1/2$.
\framebox{E}
La droite $ (IK)$ est parallèle à la droite $ (AD)$.

Question 5   Les parties suivantes du plan affine $ \mathbb{R}^2$ sont convexes :
\framebox{A}
$ \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\geq 1, y\leq 2   \}$ ;
\framebox{B}
$ \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2=1   \}$ ;
\framebox{C}
$ \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2 \leq 1   \}$ ;
\framebox{D}
$ \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2 \geq 1   \}$ ;
\framebox{E}
$ \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y-x^2 \leq 0   \}$.

Question 6   On considère, dans le plan affine euclidien, les figures suivantes :

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\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figures/QCM}

Il existe une transformation affine du plan transformant le carré $ Q$ en :

\framebox{A}
A.

\framebox{B}
B.

\framebox{C}
C.

\framebox{D}
D.

\framebox{E}
E.

Question 7   Soient $ A$ et $ B$ deux points distincts d'un espace affine, $ s_A$ et $ s_B$ les symétries centrales de centres $ A$ et $ B$, et $ \u=\overrightarrow{AB}$.
\framebox{A}
$ s_A\circ s_B=t_{2\u}$.
\framebox{B}
$ s_A\circ t_{\u}=t_{\u}\circ s_A$.
\framebox{C}
$ s_A\circ t_{\u}$ est une symétrie centrale.
\framebox{D}
$ s_A\circ s_B=s_B \circ s_A$.
\framebox{E}
$ s_A\circ t_{\u}\circ s_A=t_{-\u}$.

Question 8   Soient $ f$, $ g$, $ h$ les applications du plan affine $ P$ rapporté à un repère cartésien $ (O,\vec{i},\vec{j})$ dans lui-même définies par les formules :

$\displaystyle f\; : \quad$ $\displaystyle x'=y,\; y'=x \; ;$    
$\displaystyle g\; : \quad$ $\displaystyle x'=-x-2y-2, \; y'=x+2y+1 \; ;$    
$\displaystyle h\; : \quad$ $\displaystyle x'=3x-4, \; y'=3y+3.$    

\framebox{A}
$ h$ est une homothétie de rapport 3.
\framebox{B}
$ f$ est une symétrie centrale.
\framebox{C}
$ g\circ g= id_P$.
\framebox{D}
$ f$ est la symétrie par rapport à la droite d'équation $ x+y=0$ dans la direction du vecteur $ (1,1)$.
\framebox{E}
$ g$ est une projection affine.

Question 9   Soit, dans le plan affine $ E$, $ ABCD$ un parallélogramme et $ I$ le milieu de $ [AC]$.
\framebox{A}
Il existe une translation $ t$ et une seule vérifiant $ t(A)=B$ et $ t(D)=C$.
\framebox{B}
Il existe une transformation affine $ f$ et une seule vérifiant $ f(A)=B$ et $ f(D)=C$.
\framebox{C}
L'identité est la seule transformation affine de $ E$ conservant globalement l'ensemble $ \{A,B,C,D\}$.
\framebox{D}
Toute transformation affine de $ E$ conservant globalement l'ensemble $ \{A,B,C,D\}$ laisse fixe $ I$.
\framebox{E}
Pour toute permutation $ \sigma$ des quatre points $ A,B,C,D$, il existe une transformation affine $ f$ de $ E$ et une seule vérifiant $ f(A)=\sigma(A)$, $ f(B)=\sigma(B)$, $ f(C)=\sigma(C)$, $ f(D)=\sigma(D)$.

Question 10   Soit, dans l'espace affine $ E$ de dimension 3, $ ABCD$ un tétraèdre non aplati et $ G$ l'isobarycentre de ses sommets.
\framebox{A}
Il n'existe pas de symétrie affine par rapport à un plan conservant globalement le tétraèdre.
\framebox{B}
Pour toute permutation $ \sigma$ des quatre points $ A,B,C,D$, il existe une transformation affine $ f$ de $ E$ et une seule vérifiant $ f(A)=\sigma(A)$, $ f(B)=\sigma(B)$, $ f(C)=\sigma(C)$, $ f(D)=\sigma(D)$.
\framebox{C}
Il existe une symétrie centrale et une seule conservant globalement le tétraèdre.
\framebox{D}
Il y a exactement 6 symétries affines conservant globalement le tétraèdre.
\framebox{E}
Toute transformation affine de $ E$ conservant globalement le tétraèdre laisse fixe le point $ G$.

\framebox{\rotatebox{180}{Réponses~: 1--BD~2--CD~3--CE~4--BC~5--AC~6--CD~7--CE~8--AE~9--AD~10--BE}}


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