Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Soit $ E$ un espace affine et $ \overrightarrow{E}$ l'espace vectoriel associé. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?
  1. $ \square\;$Pour tout vecteur $ \v$ de $ \overrightarrow{E}$, il existe un couple $ (A,B)$ de points de $ E$ et un seul tel que $ \overrightarrow{AB}=\v$.
  2. $ \boxtimes\;$Pour tout vecteur $ \v$ de $ E$, il existe un couple $ (A,B)$ de points de $ E$ tel que $ \overrightarrow{AB}=\v$.
  3. $ \boxtimes\;$Pour tout point $ A$ de $ E$ et tout vecteur $ \v$ de $ \overrightarrow{E}$, il existe un point $ B$ de $ E$ et un seul tel que $ \overrightarrow{AB}=\v$.
  4. $ \boxtimes\;$Pour tout couple $ (A,B)$ de points de $ E$, il existe un unique vecteur $ \v$ de $ \overrightarrow{E}$ tel que $ \v=\overrightarrow{AB}$.
  5. $ \square\;$Pour tout triplet $ (A,B,C)$ de points de $ E$, on a $ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$.
  6. $ \boxtimes\;$Pour tout point $ B$ de $ E$ et tout vecteur $ \v$ de $ \overrightarrow{E}$, il existe un unique point $ A$ de $ E$ tel que $ \overrightarrow{AB}=\v$.
  7. $ \square\;$Pour tout couple $ (A,B)$ de points de $ E$, il existe un unique point $ C$ de $ E$ tel que $ \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}$.

Vrai-Faux 2   Soit $ E$ un espace affine et $ A$, $ B$, $ C$ trois points de $ E$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$Le vecteur $ \overrightarrow{OA}-2 \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ ne dépend pas du point $ O$ de $ E$.
  2. $ \square\;$Le point $ M$ défini par $ \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}-2 \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ ne dépend pas du point $ O$ de $ E$.
  3. $ \boxtimes\;$Le point $ M$ défini par $ \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ ne dépend pas du point $ O$ de $ E$.
  4. $ \boxtimes\;$Le point $ M$ défini par $ 4 \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+2 \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ ne dépend pas du point $ O$ de $ E$.
  5. $ \square\;$Le vecteur $ \v$ défini par $ 3 \v=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ ne dépend pas du point $ O$ de $ E$.

Vrai-Faux 3   Soit $ E$ un espace affine, $ n$ et $ m$ deux entiers strictement positifs, $ A_1,\dots,A_n$ et $ B_1,\dots,B_m$ des points de $ E$, $ G$ l'isobarycentre des points $ A_1,\dots,A_n$, $ H$ l'isobarycentre des points $ B_1,\dots,B_m$, $ K$ l'isobarycentre des $ n+m$ points $ A_1,\dots,A_n,B_1,\dots,B_m$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?
  1. $ \square\;$$ K$ est toujours le milieu du segment $ [GH]$.
  2. $ \boxtimes\;$$ K$ appartient toujours au segment $ [GH]$.
  3. $ \square\;$ $ n \overrightarrow{KG}=m \overrightarrow{KH}$.
  4. $ \boxtimes\;$ $ n \overrightarrow{KG}+m \overrightarrow{KH}=\vec{0}$.
  5. $ \boxtimes\;$$ H$ appartient à la droite $ (KG)$ (en supposant $ G\not = K$).
  6. $ \square\;$$ H$ appartient au segment $ [KG]$.
  7. $ \boxtimes\;$ $ n \overrightarrow{KG}=\sum\limits_{i=1}^n \overrightarrow{KA_i}$.
  8. $ \boxtimes\;$$ K=H$ si et seulement si $ H=G$.

Vrai-Faux 4   Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$Tout segment est convexe.
  2. $ \square\;$Une droite privée d'un point est convexe.
  3. $ \square\;$Un plan privé d'un point est convexe.
  4. $ \square\;$Le graphe d'une fonction convexe de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$ est convexe.
  5. $ \boxtimes\;$Le graphe d'une fonction affine de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$ est convexe.
  6. $ \boxtimes\;$L'enveloppe convexe de la réunion de deux droites sécantes est le plan contenant ces droites.
  7. $ \boxtimes\;$L'enveloppe convexe d'une partie bornée du plan est bornée.
  8. $ \square\;$L'enveloppe convexe de la réunion de deux droites non coplanaires de l'espace $ E$ de dimension $ 3$ est $ E$.

Vrai-Faux 5   Soit, dans un espace affine $ E$, $ h$ une homothétie de centre $ A$ et de rapport $ \lambda\not=1$ et $ f$ une transformation affine de $ E$ telle que $ f(A)\not =A$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ $ f\circ h=h\circ f$.
  2. $ \boxtimes\;$ $ f\circ h \circ f^{-1}$ est une homothétie de rapport $ \lambda$.
  3. $ \square\;$ $ f\circ h \circ f^{-1}$ est une homothétie de centre $ A$.
  4. $ \boxtimes\;$ $ h^{-1}$ est une homothétie de centre $ A$.
  5. $ \square\;$ $ h\circ f \circ h^{-1}$ est une homothétie de centre $ A$.

Vrai-Faux 6   Le cadre est un espace affine de dimension trois. Dire pour chacune des affirmations suivantes si elle est vraie ou fausse (en justifiant votre réponse).
  1. $ \square\;$Si deux droites sont parallèles à un même plan, elles sont parallèles entre elles.
  2. $ \boxtimes\;$Si deux plans sont parallèles, toute droite qui coupe l'un coupe l'autre.
  3. $ \square\;$Si une droite $ D$ est parallèle à un plan $ P$, tout plan non parallèle à $ P$ rencontre $ D$.
  4. $ \boxtimes\;$Étant donnés deux plans sécants, toute droite parallèle à ces deux plans est parallèle à leur intersection.
  5. $ \boxtimes\;$Étant données deux droites non coplanaires, il existe toujours au moins un plan tel que ces deux droites soient parallèles à ce plan.
  6. $ \boxtimes\;$Étant donnés deux plans sécants, deux droites parallèles à chacun de ces deux plans sont nécessairement parallèles entre elles.
  7. $ \boxtimes\;$Soient $ D$ et $ D'$ deux droites non parallèles de l'espace ; il existe un plan $ P$ et un seul contenant $ D$ tel que $ D'$ soit parallèle à $ P$.

Vrai-Faux 7   Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$Toute transformation affine qui transforme toute droite en une droite parallèle est une homothétie ou une translation.
  2. $ \boxtimes\;$Toute transformation affine dont la partie linéaire est $ -id$ est une symétrie centrale.
  3. $ \square\;$Toute transformation affine admettant un point fixe et un seul est une homothétie.
  4. $ \boxtimes\;$Toute transformation affine dont la partie linéaire est l'identité est une translation.
  5. $ \square\;$Toute transformation affine qui transforme deux droites parallèles quelconques en deux droites parallèles est une homothétie ou une translation.
  6. $ \boxtimes\;$Toute transformation affine transforme un parallélogramme non aplati en un parallélogramme non aplati.

Vrai-Faux 8   Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$Une figure bornée du plan ne peut pas admettre deux centres de symétrie distincts.
  2. $ \square\;$Une figure bornée du plan ne peut pas admettre deux axes de symétrie distincts.
  3. $ \square\;$Toute transformation affine du plan conservant globalement une droite possède au moins un point fixe.
  4. $ \boxtimes\;$Toute transformation affine du plan conservant globalement un ensemble fini de points possède au moins un point fixe.
  5. $ \boxtimes\;$Toute application affine $ p$ du plan dans lui-même vérifiant $ p\circ p=p$ est une projection.
  6. $ \square\;$Toute application affine $ p$ du plan dans lui-même vérifiant $ \vec p\circ \vec p=\vec p$ est une projection.
  7. $ \square\;$Si $ s$ est une symétrie de l'espace par rapport à une droite $ D$ dans la direction d'un plan $ P$, pour tout couple $ (M,N)$ de points n'appartenant pas à $ D$ les droites $ (Ms(M))$ et $ (Ns(N))$ sont parallèles.
  8. $ \boxtimes\;$Toute application affine $ s$ de l'espace affine $ E$ dans lui-même vérifiant $ s \circ s=id_{E}$ est une symétrie affine .


         © UJF Grenoble, 2011                              Mentions légales