Projections, symétries, affinités

Soit $E$ un espace affine, $F$ un sous-espace affine de $E$ et $\overrightarrow{G}$ un sous-espace vectoriel de $\overrightarrow{E}$ supplémentaire de $\overrightarrow{F}$. Il résulte de la proposition 9 que, pour tout point $M$ de $E$, l'intersection $F \bigcap \Aff (M,\overrightarrow{G})$ de $F$ et du sous-espace affine $\Aff (M,\overrightarrow{G})$ de direction $\overrightarrow{G}$ passant par $M$ est constituée d'un point $M'$ et d'un seul (ce point $M'$ est l'unique point de $F$ vérifiant $\overrightarrow{MM'}\in \overrightarrow{G}$). On peut donc définir une application $p$ de $E$ dans lui-même par $p(M)=M'$. Cette application est appelée projection sur $F$ parallèlement à $\overrightarrow{G}$ ou dans la direction $\overrightarrow{G}$.

Figure 4: Projection et symétrie dans le plan et dans l'espace.

Soit alors $M''$ le symétrique de $M$ par rapport à $M'$ : on a donc $\overrightarrow{MM''}=2\overrightarrow{MM'}$. L'application $s$ de $E$ dans lui-même qui à $M$ associe $M''$ est appelée symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $\overrightarrow{G}$ ou dans la direction $\overrightarrow{G}$.

Plus généralement, pour tout réel $\alpha$, on définit l'affinité de base $F$, de direction $\overrightarrow{G}$ et de rapport $\alpha$ comme l'application qui au point $M$ associe le point $M'''$ défini par $\overrightarrow{M'M'''}=\alpha \overrightarrow{M'M}$. La projection et la symétrie sont donc des cas particuliers d'affinités correspondant respectivement à $\alpha=0$ et $\alpha=-1$.

Remarques :

1. Si $F=E$, $\overrightarrow{G}=\{\vec{0}\}$ ; la projection, la symétrie, et les affinités précédemment définies sont alors toutes égales à l'identité. Si au contraire $F$ est réduit à un point, $\overrightarrow{F}=\{\vec{0}\}$ et $\overrightarrow{G}=\overrightarrow{E}$. Il en résulte que la projection $p$ est l'application constante envoyant tout point de $E$ sur $F$, la symétrie $s$ est l'homothétie de centre ce point et de rapport $-1$ (on parle alors de symétrie centrale) et, plus généralement, l'affinité de rapport $\alpha$ est l'homothétie de rapport $\alpha$ et de centre ce point.
2. Le sous-espace $F$ ne suffit pas à déterminer la projection : il faut en préciser la direction. Si on remplace $\overrightarrow{G}$ par un autre supplémentaire de $\overrightarrow{F}$, la projection $p$ est radicalement changée (quoique son image $p(E)$ soit toujours égale à $F$). Dans le cas des espaces affines euclidiens, on verra qu'il existe une direction privilégiée : celle de l'orthogonal de $\overrightarrow{F}$ dans $\overrightarrow{E}$ ; on omettra alors de mentionner $\overrightarrow{G}$, et on parlera simplement de projection orthogonale. La même remarque est valable pour les symétries et les affinités.

Rappels d'algèbre linéaire : projections et symétries vectorielles.

Soit $\overrightarrow{E}$ un espace vectoriel de dimension finie et $\overrightarrow{E}_1$ et $\overrightarrow{E}_2$ deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\overrightarrow{E}$. Tout vecteur $\u$ de $\overrightarrow{E}$ s'écrit de manière unique sous la forme $\u=\u_1+\u_2$, avec $\u_i\in \overrightarrow{E}_i$ ($i=1,2$). Les deux applications $\vec p_1$ et $\vec p_2$ de $\overrightarrow{E}$ dans lui-même définies par $\vec p_i(\u)=\u_i$ ($i=1,2$) sont linéaires et vérifient les relations :

$\bullet$

$\vec p_i\circ\vec p_i=\vec p_i$ ($i=1,2$) ;

$\bullet$

$\vec p_1\circ\vec p_2=\vec p_2\circ\vec p_1=0$, $\vec p_1+\vec p_2=id_{\overrightarrow{E}}$ ;

$\bullet$

$\mathrm{Ker} \vec p_1=\Img \vec p_2=\overrightarrow{E}_2$, $\mathrm{Ker} \vec p_2=\Img \vec p_1=\overrightarrow{E}_1$.

Elles sont appelées projection sur $\overrightarrow{E}_1$ (resp. $\overrightarrow{E}_2$) dans la direction (ou parallèlement à) $\overrightarrow{E}_2$ (resp. $\overrightarrow{E}_1$).

Les deux applications $\vec s_1$ et $\vec s_2$ de $\overrightarrow{E}$ dans lui-même définies par $\vec s_1(\u)=\u_1-\u_2$, $\vec s_2(\u)=\u_2-\u_1$ sont appelées symétrie par rapport à $\overrightarrow{E}_1$ (resp. $\overrightarrow{E}_2$) de direction (ou parallèlement à) $\overrightarrow{E}_2$ (resp. $\overrightarrow{E}_1$).
Elles sont linéaires, bijectives et vérifient les relations :

$\bullet$

$\vec s_i\circ\vec s_i=id_{\overrightarrow{E}}$ ($i=1,2$) ;

$\bullet$

$\vec s_1=\vec p_1-\vec p_2=2\vec p_1-id_{\overrightarrow{E}}$, $\vec s_2=\vec p_2-\vec p_1=2\vec p_2-id_{\overrightarrow{E}}$ ;

$\bullet$

$\vec s_1\circ\vec s_2=\vec s_2\circ\vec s_1=-id_{\overrightarrow{E}}$, $\vec s_1+\vec s_2=0$.

Réciproquement, si $\vec p$ est une application linéaire de $\overrightarrow{E}$ dans lui-même vérifiant $\vec p\circ \vec p=\vec p$, les deux sous-espaces vectoriels $\Img \vec p$ et $\mathrm{Ker} \vec p$ de $\overrightarrow{E}$ sont supplémentaires et $\vec p$ est la projection sur $\Img \vec p$ parallèlement à $\mathrm{Ker}\vec p$.
De même, si $\vec s$ est une application linéaire de $\overrightarrow{E}$ dans lui-même vérifiant $\vec s\circ \vec s=id_{\overrightarrow{E}}$ (on dit que $\vec s$ est involutive), $\vec s$ admet exactement les deux valeurs propres +1 et -1 (sauf si $\vec s=\pm id_{\overrightarrow{E}}$, auquel cas elle n'admet qu'une valeur propre), et les noyaux des applications linéaires $\vec s-id_{\overrightarrow{E}}$ et $\vec s+id_{\overrightarrow{E}}$ (i.e. les sous-espaces propres de $\vec s$ correspondant à ces deux valeurs propres) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\overrightarrow{E}$ ; $\vec s$ est alors la symétrie par rapport au premier parallèlement au second.

Proposition 36   Soit $F$ un sous-espace affine d'un espace affine $E$ et $\overrightarrow{G}$ un sous-espace vectoriel supplémentaire de $\overrightarrow{F}$ dans $\overrightarrow{E}$. La projection $p$ sur $F$ parallèlement à $\overrightarrow{G}$ (resp. la symétrie $s$ par rapport à $F$ parallèlement à $\overrightarrow{G}$) est une application affine, d'application linéaire associée la projection vectorielle $\vec p$ sur $\overrightarrow{F}$ parallèlement à $\overrightarrow{G}$ (resp. la symétrie vectorielle $\vec s=2\vec p -id_{\overrightarrow{E}}$ par rapport à $\overrightarrow{F}$ parallèlement à $\overrightarrow{G}$). Plus généralement, l'affinité $f$ de base $F$, de direction $\overrightarrow{G}$ et de rapport $\alpha$ est une application affine, d'application linéaire associée $\vec{f}=\vec p +\alpha (id_{\overrightarrow{E}}-\vec p)$.

Démonstration : Soient $M$ et $N$ deux points quelconques de $E$, $M'$ et $N'$ leurs projetés sur $F$ dans la direction $\overrightarrow{G}$, $M''$ et $N''$ leurs symétriques par rapport à $F$ dans la direction $\overrightarrow{G}$. Par la relation de Chasles, on a $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MM'}+\overrightarrow{M'N'}+\overrightarrow{N'N}$. Mais le vecteur $\overrightarrow{M'N'}$ appartient à $\overrightarrow{F}$ et le vecteur $\overrightarrow{MM'}+\overrightarrow{N'N}$ appartient à $\overrightarrow{G}$ comme somme de deux vecteurs de $\overrightarrow{G}$. On a donc $\overrightarrow{M'N'}=\vec p (\overrightarrow{MN})$ par définition de la projection vectorielle $\vec p$, ce qui montre que $p$ est affine de partie linéaire $\vec p$.

De même l'égalité

$$\overrightarrow{M''N''} =\overrightarrow{M''M}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NN''}$$

$$=\overrightarrow{MN}-2 (\overrightarrow{MM'}+\overrightarrow{N'N})$$

$$=\overrightarrow{MN}-2(\overrightarrow{MN}-\vec p(\overrightarrow{MN}))$$

$$=(2\vec p-id_{\overrightarrow{E}})(\overrightarrow{MN})$$

$$=\vec s (\overrightarrow{MN})$$

montre que la symétrie $s$ est affine de partie linéaire la symétrie vectorielle $\vec s$.

La démonstration pour l'affinité est analogue.$\square$

Une projection, étant affine, conserve les rapports de mesures algébriques sur une même droite. La partie directe du théorème de Thalès ne fait que traduire cette propriété :

Théorème 3 (Théorème de Thalès)  

Soient $\Delta_A$, $\Delta_B$, $\Delta_C$ trois droites parallèles distinctes d'un plan affine $P$ coupant deux droites $D$ et $D'$ respectivement en $A$, $B$, $C$ et $A'$, $B'$, $C'$. Alors

$$\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{A'C'}}\; . \qquad{ (*)}$$

Réciproquement, soient $\Delta_A$, $\Delta_B$, $\Delta_C$ trois droites distinctes d'un plan affine $P$ coupant deux droites $D$ et $D'$ respectivement en $A$, $B$, $C$ et $A'$, $B'$, $C'$. On suppose $\Delta_A$ et $\Delta_B$ parallèles, $C$ et $C'$ distincts et

$$\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{A'C'}}\; .$$

Alors $\Delta_C$ est parallèle à $\Delta_A$ et $\Delta_B$.

Figure 5: Le théorème de Thalès dans le plan et dans l'espace.

Démonstration : La partie directe du théorème résulte immédiatement du caractère affine de la projection $p$ sur $D'$ dans la direction commune des droites $\Delta_A$, $\Delta_B$, $\Delta_C$ : si $\u$ est un vecteur directeur de $D$ et si les mesures algébriques sur $D$ sont définies à partir de ce vecteur, les relations $\overrightarrow{AB}=\overline {AB}\;\u$, $\overrightarrow{AC}=\overline {AC}\;\u$ impliquent $\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{p(A)p(B)}=\vec p(\overrightarrow{AB})=\overline {AB}\;\vec p(\u)$, $\overrightarrow{A'C'}=\overrightarrow{p(A)p(C)}=\vec p(\overrightarrow{AC})=\overline {AC}\;\vec p(\u)$. En définissant les mesures algébriques sur $D'$ en prenant $\vec p (\u)$ comme vecteur directeur (ce vecteur n'est pas nul, et on rappelle que les rapports de mesures algébriques sur une droite ne dépendent pas du choix du vecteur directeur), la relation $(*)$ en résulte immédiatement.

Réciproquement, supposons la relation $(*)$ vérifiée. La parallèle à $\Delta_A$ menée par $C$ coupe la droite $D'$ en un point $C''$ qui vérifie $\dfrac{\overline {AB}}{\overline {AC}} = \dfrac{\overline {A'B'}}{\overline {A'C''}}$ par la partie directe du théorème. Il en résulte $\dfrac{\overline {A'B'}}{\overline {A'C''}}=\dfrac{\overline {A'B'}}{\overline {A'C'}}$, d'où $\overline {A'C''}=\overline {A'C'}$ et $C'=C''$, ce qui montre que $\Delta_C$ est parallèle à $\Delta_A$.$\square$

La partie directe du théorème de Thalès ne faisant que traduire le caractère affine des projections, on peut énoncer un théorème analogue en toute dimension, en particulier dans l'espace de dimension 3 :

Théorème 4   (Théorème de Thalès dans l'espace) Soient $\Pi_A$, $\Pi_B$, $\Pi_C$ trois plans parallèles distincts de l'espace coupant deux droites $D$ et $D'$ respectivement en $A$, $B$, $C$ et $A'$, $B'$, $C'$. Alors

$$\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{A'C'}}\; . \qquad{ (*)}$$

.

Mais le théorème de Thalès dans l'espace n'admet pas de réciproque analogue à celle du théorème de Thalès dans le plan : si on suppose les plans $\Pi_A$ et $\Pi_B$ parallèles et la relation $(*)$ vérifiée, on ne peut en déduire que $\Pi_C$ est parallèle à $\Pi_A$ et $\Pi_B$. On a cependant :

Proposition 37   Soient $D$ et $D'$ deux droites de l'espace, $A$, $B$, $C$ trois points de $D$, $A'$, $B'$, $C'$ trois points de $D'$, ces six points étant supposés tous distincts. Si

$$\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{A'C'}}\; ,$$

alors les trois droites $(AA')$, $(BB')$, $(CC')$ sont parallèles à un même plan.

Démonstration : Si les droites $(AA')$ et $(BB')$ sont parallèles, les droites $D$ et $D'$ sont coplanaires et $(CC')$ est parallèle à $(AA')$ et $(BB')$ par le théorème de Thalès dans le plan.

Sinon, soient $\Pi_A$, $\Pi_B$, $\Pi_C$ les plans passant respectivement par $A$, $B$, $C$ de direction le plan vectoriel engendré par les vecteurs $\overrightarrow{AA'}$ et $\overrightarrow{BB'}$. Ces trois plans sont parallèles et la droite $(AA')$ (resp. $(BB')$) est incluse dans $\Pi_A$ (resp. $\Pi_B$) de sorte que $\Pi_A$ (resp. $\Pi_B$) coupe $D'$ en $A'$ (resp. $B'$). Le plan $\Pi_C$ coupe $D'$ en un point $C''$ qui vérifie $\dfrac{\overline {AB}}{\overline {AC}} = \dfrac{\overline {A'B'}}{\overline {A'C''}}$ d'après le théorème direct. Il en résulte $\overline {A'C''}=\overline {A'C'}$, d'où $C''=C'$. La droite $(CC')$ est donc incluse dans $\Pi_C$.$\square$