Homothéties et translations

Définition 22   Soit $ E$ un espace affine, $ O$ un point de $ E$ et $ k$ un réel non nul. L'homothétie $ h_{O,k}$ de centre $ O$ et de rapport $ k$ est l'application qui à tout point $ M$ de $ E$ associe le point $ M'=h_{O,k}(M)$ défini par $ \overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}$.

On vérifie immédiatement que $ h_{O,k}$ est une transformation affine d'application linéaire associée l'homothétie vectorielle $ k   id_{\overrightarrow{E}}$ de rapport $ k$, i.e. l'application linéaire qui à tout vecteur $ \u$ de $ \overrightarrow{E}$ associe le vecteur $ k\u$, et que si $ k$ est différent de 1, $ O$ est le seul point fixe de $ h_{O,k}$ (si $ k=1$, $ h_{O,k}$ est l'identité).

La proposition 30 montre que, réciproquement, toute transformation affine $ f$ de partie linéaire $ \vec{f}=k  id_{\overrightarrow{E}}$, avec $ k\not = 1$, admet un point fixe $ O$ et un seul ; il en résulte aussitôt que $ f$ est l'homothétie de centre $ O$ et de rapport $ k$.

Proposition 32   Soit $ E$ un espace affine, et $ k$ un réel différent de 0 et de 1. Une application affine de $ E$ dans $ E$ est une homothétie de rapport $ k$ si et seulement si sa partie linéaire est une homothétie vectorielle de rapport $ k$.

On a obtenu à la proposition 27 une caractérisation analogue des translations :

Proposition 33   Une application affine d'un espace affine $ E$ dans lui-même est une translation si et seulement si sa partie linéaire est l'identité de $ \overrightarrow{E}$.

La proposition suivante se déduit immédiatement de ces deux caractérisations.

Proposition 34   L'ensemble des homothéties et des translations d'un espace affine $ E$ constitue un sous-groupe du groupe affine de $ E$, appelé groupe des homothéties-translations.

Plus précisément, la composée de deux homothéties de rapports $ k_1$ et $ k_2$ est une homothétie de rapport $ k_1k_2$ si $ k_1k_2\not =1$, une translation si $ k_1k_2=1$. La composée d'une homothétie de rapport $ k\not = 1$ et d'une translation est une homothétie de rapport $ k$. L'application réciproque d'une homothétie de rapport $ k$ est l'homothétie de même centre et de rapport $ 1/k$.

Le groupe des homothéties-translations est parfois aussi appelé groupe des dilatations (mais il faut se méfier : ce terme a, pour certains auteurs, un autre sens).

La proposition suivante caractérise géométriquement les éléments de ce sous-groupe :

Proposition 35   Une transformation affine est une homothétie ou une translation si et seulement si elle transforme toute droite en une droite parallèle.

Démonstration : Soit $ f$ une transformation affine de $ E$. Pour tout vecteur non nul $ \u$ de $ \overrightarrow{E}$ et tout point $ A$ de $ E$, la droite de vecteur directeur $ \u$ passant par $ A$ est transformée par $ f$ en la droite de vecteur directeur $ \vec{f}(\u)$ passant par $ f(A)$. La condition de l'énoncé équivaut donc à «$ \vec{f}$ transforme tout vecteur non nul de $ \overrightarrow{E}$ en un vecteur colinéaire».

Cette condition est évidemment vérifiée si $ f$ est une homothétie ou une translation.

Réciproquement, si cette condition est vérifiée, il existe pour tout vecteur non nul $ \u$ de $ \overrightarrow{E}$ un réel $ \lambda(\u)$ tel que $ \vec{f}(\u)=\lambda(\u) \u$. Il faut montrer que $ \lambda(\u)$ ne dépend pas de $ \u$, autrement dit que $ \lambda(\u)=\lambda(\v)$ pour tout couple $ (\u,\v)$ de vecteurs non nuls de $ \overrightarrow{E}$. Si $ \v$ est colinéaire à $ \u$, il existe un réel $ \alpha$ tel que $ \v=\alpha\u$ et par linéarité de $ \vec{f}$ $ \vec{f}(\v)=\alpha \vec{f}(\u)=\alpha\lambda(\u)\u=\lambda(\u)\v$, d'où $ \lambda(\v)=\lambda(\u)$. Si $ \u$ et $ \v$ ne sont pas colinéaires, le système $ (\u,\v)$ est libre et l'égalité

$\displaystyle \lambda(\u+\v)\u+\lambda(\u+\v)\v=\lambda(\u+\v)[\u+\v]=\vec{f}(\u+\v)=\vec{f}(\u)+\vec{f}(\v)=\lambda(\u)\u+\lambda(\v)\v$

montre que $ \lambda(\u+\v)=\lambda(\u)=\lambda(\v)$. Le réel $ \lambda=\lambda(\u)$ ne dépend donc pas de $ \u$ et $ \vec{f}$ est l'homothétie vectorielle de rapport $ \lambda$. Il résulte alors de la proposition 32 que $ f$ est une homothétie si $ \lambda\not=1$ et de la proposition 33 que $ f$ est une translation si $ \lambda=1$.$ \square$

Il faut bien distinguer cette propriété de la conservation du parallélisme : toute transformation affine transforme des droites parallèles en des droites parallèles ; mais seules les homothéties et les translations transforment toute droite en une droite parallèle à elle-même.


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