Fonctions hyperboliques réciproques

Comme les fonctions circulaires, les fonctions hyperboliques ont leurs réciproques, qui servent elles aussi aux calculs de primitives (figure 9).
Figure 9: Fonctions hyperboliques et leurs réciproques.
\includegraphics[width=5cm,height=5cm]{asinh} \includegraphics[width=5cm,height=5cm]{acosh} \includegraphics[width=5cm,height=5cm]{atanh}

Définition 7   On appelle :
$ \bullet$
argument sinus hyperbolique la bijection de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$, qui à $ x$ associe le réel dont le sinus hyperbolique est égal à $ x$.

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
&\arg\!\sinh&\\
\mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}\\
x&\longmapsto&\arg\!\sinh(x)\;.
\end{array}\end{displaymath}

$ \bullet$
argument cosinus hyperbolique la bijection de $ [1,+\infty[$ dans $ [0,+\infty[$, qui à $ x$ associe le réel positif dont le cosinus hyperbolique est égal à $ x$.

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
&\arg\!\cosh&\\
{[1,+\infty[}&\longrightarrow&[0,+\infty[\\
x&\longmapsto&\arg\!\cosh(x)\;.
\end{array}\end{displaymath}

$ \bullet$
argument tangente hyperbolique la bijection de $ ]-\!1,+1[$ dans $ \mathbb{R}$, qui à $ x$ associe le réel dont la tangente hyperbolique est égale à $ x$.

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
&\arg\!\tanh&\\
{]-\!1,1[}&\longrightarrow&\mathbb{R}\\
x&\longmapsto&\arg\!\tanh(x)\;.
\end{array}\end{displaymath}

Elles sont moins importantes que leurs analogues circulaires, car elles s'expriment de façon relativement simple à l'aide du logarithme.

Proposition 6    
$ \bullet$
$ \forall x\in \mathbb{R}\;,\qquad \quad \arg\!\sinh(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\;,$
$ \bullet$
$ \forall x\in ]1,+\infty[\;,\quad\! \arg\!\cosh(x)=\ln(x+\sqrt{x^2-1})\;,$
$ \bullet$
$ \forall x\in ]-\!1,1[\;,\quad \arg\!\tanh(x)=
\displaystyle{\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}\;.$

Démonstration : Résolvons l'équation $ \sinh(x)=y$.

$\displaystyle \frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2}=y
\;\Longleftrightarrow\;
\mathrm{e}^{2x}-2y\mathrm{e}^x-1=0\;.
$

L'équation $ X^2-2yX-1=0$ a deux racines réelles, dont seule $ y+\sqrt{y^2+1}$ est positive. Donc $ x=\ln(y+\sqrt{y^2+1})$. Résolvons l'équation $ \cosh(x)=y$.

$\displaystyle \frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2}=y
\;\Longleftrightarrow\;
\mathrm{e}^{2x}-2y\mathrm{e}^x+1=0\;.
$

Pour $ y\geqslant 1$, l'équation $ X^2-2yX-1=0$ a deux racines réelles, dont seule $ y+\sqrt{y^2-1}$ est supérieure à $ 1$. Donc $ x=\ln(y+\sqrt{y^2-1})$. Résolvons l'équation $ \tanh(x)=y$.
    $\displaystyle \frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}=y$  
  $\displaystyle \Longrightarrow$ $\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{2x}-1}{\mathrm{e}^{2x}+1}=y$  
  $\displaystyle \Longrightarrow$ $\displaystyle \mathrm{e}^{2x}=\frac{1-y}{1+y}$  
  $\displaystyle \Longrightarrow$ $\displaystyle x=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1-y}{1+y}\right)
\;,$  

puisque $ (1+y)/(1-y)$ est strictement positif pour $ y\in ]-\!1,1[ $.$ \square$ Ici encore, le principal intérêt réside dans les dérivées.

Proposition 7   Les fonctions $ \arg\!\sinh$, $ \arg\!\cosh$ et $ \arg\!\tanh$ sont dérivables sur leur domaine de définition.
$ \bullet$
$ \forall x\in \mathbb{R}\;,\qquad \quad \arg\!\sinh'(x)=
\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}\;,$
$ \bullet$
$ \forall x\in ]1,+\infty[\;,\quad\! \arg\!\cosh'(x)=
\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}\;,$
$ \bullet$
$ \forall x\in ]-\!1,1[\;,\quad \arg\!\tanh'(x)=
\displaystyle{\frac{1}{1-x^2}}\;.$

Démonstration : On peut dériver directement l'expression en logarithme ou bien appliquer la formule donnant la dérivée d'une fonction réciproque.

$\displaystyle \arg\!\sinh'(x)=\frac{1}{\sinh'(\arg\!\sinh(x))}
=\frac{1}{\cosh(\arg\!\sinh(x))}
=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\;.
$

$\displaystyle \arg\!\cosh'(x)=\frac{1}{\cosh'(\arg\!\cosh(x))}
=\frac{1}{\sinh(\arg\!\cosh(x))}
=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\;.
$

$\displaystyle \arg\!\tanh'(x)=\frac{1}{\tanh'(\arg\!\tanh(x))}
=\frac{1}{1-\tanh^2(\arg\!\tanh(x))}
=\frac{1}{1-x^2}\;.
$

$ \square$ Définir une primitive de $ 1/(1-x^2)$ uniquement sur $ ]-\!1,1[$ est un tantinet réducteur, puisque la fonction :

$\displaystyle x\longmapsto \frac{1}{2}\ln\left\vert\frac{1+x}{1-x}\right\vert\;,
$

a pour dérivée $ x\mapsto 1/(1-x^2)$ en tout point de $ \mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$.

De même, définir une primitive de $ 1/\sqrt{x^2-1}$ seulement sur $ ]1,+\infty[$ ne suffit pas, puisque la fonction

$\displaystyle x\longmapsto \ln\left\vert x+\sqrt{x^2-1}\right\vert\;,
$

a pour dérivée $ 1/\sqrt{x^2-1}$ sur $ ]-\!\infty,-1[$ et sur $ ]1,+\infty[$. C'est une raison suffisante pour vous conseiller de ne pas trop surcharger votre mémoire vive avec les fonctions hyperboliques réciproques.

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