Fonctions puissance

Si $n$ est un entier naturel, vous savez ce qu'est la puissance $n$-ième d'un nombre : le produit de ce nombre par lui-même $n$ fois.

$$a^n = \underbrace{a a \ldots a}_{n\mbox{ facteurs}}\;.$$

Rappelons que pour tout $a$, $a^0=1$. Vous connaissez aussi la notation $a^{-1}$ pour l'inverse de $a$, et vous savez donc calculer des puissances entières négatives.

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}\;.$$

À cause de la règle des signes, une puissance paire est toujours positive ou nulle. C'est la raison pour laquelle on ne définit de puissances fractionnaires que pour des réels positifs ou nuls. Le cas $a=0$ n'est pas passionnant : pour tout $x$, $0^x=0$. Dans ce qui suit, $a$ désigne un réel strictement positif.

Proposition 1   Etant donné un réel strictement positif $a$, et deux entiers $p\in\mathbb{Z}$ et $q\in\mathbb{N}^*$, il existe un unique réel strictement positif $y$ tel que $y^q=a^p$. Ce réel est noté $a^{p/q}$.

Ainsi :

$$a^{1/2}=\sqrt{a}\;,\quad a^{3/2}=(\sqrt{a})^3=\sqrt{a^3}\;,\quad a^{2/3}=(\sqrt[3]{a})^2=\sqrt[3]{a^2}\;.$$

Démonstration : c'est une application du théorème de la bijection. L'application qui à $y$ associe $y^q$ est continue et strictement croissante de $[0,+\infty[$ dans lui-même. C'est donc une bijection.$\square$ Nous rassemblons dans la proposition suivante les propriétés des puissances fractionnaires.

Proposition 2   Soit $a$ un réel strictement positif.

1. Soient $(p,q), (p',q')\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}^*$, deux couples d'entiers tels que $p/q=p'/q'$. Alors :
   $$a^{p/q}=a^{p'/q'}\;.$$

2. Soient $(p,q), (p',q')\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}^*$, deux couples d'entiers. Alors :
   $$a^{p/q+p'/q'}=a^{p/q}a^{p'/q'}\;.$$

3. Soit $(p,q)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}^*$ un couple d'entiers. Alors :
   $$a^{-p/q}=\frac{1}{a^{p/q}}=\left(\frac{1}{a}\right)^{p/q}\;.$$

4. Soient $(p,q), (p',q')\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}^*$, deux couples d'entiers tels que $p/q< p'/q'$. Alors :

   si $a> 1$, alors $a^{p/q}<a^{p'/q'}$,

   si $a< 1$, alors $a^{p/q}>a^{p'/q'}$.

Démonstration : elle consiste à se ramener aux propriétés connues des puissances entières.

1. $$\frac{p}{q}=\frac{p'}{q'} \;\Longleftrightarrow\; pq'=p'q\;.$$
   Donc :
   $$a^{pq'}=a^{p'q} \;\Longrightarrow\; a^{pq'/qq'}=a^{p'q/qq'} \;\Longrightarrow\; a^{p/q}=a^{p'/q'}\;.$$

2. $$a^{p/q+p'/q'}=a^{(pq'+p'q)/qq'} =(a^{pq'+qp'})^{1/qq'}$$
   Or $pq'$ et $p'q$ sont deux entiers. Donc :
   $$(a^{pq'+qp'})^{1/qq'} =(a^{pq'}a^{p'q})^{1/qq'} =a^{pq'/qq'}a^{p'q/qq'}=a^{p/q}a^{p'/q'}\;.$$

3. En utilisant la relation précédente :
   $$a^{p/q-p/q}=a^0=1\;\Longrightarrow\; a^{-p/q}=\frac{1}{a^{p/q}}=\left(\frac{1}{a^p}\right)^{1/q} =\left(\frac{1}{a}\right)^{p/q}\;.$$

4. Pour $a> 1$ :
   $$\frac{p}{q}< \frac{p'}{q'}\; \Longrightarrow\; pq'< qp'\;\Longrightarrow\; a^{pq'}< a^{p'q}\;\Longrightarrow a^{p/q}< a^{p'/q'}\;.$$
   On passe de $a> 1$ à $a< 1$ par la propriété 3.

$\square$ Étant donné un rationnel $r$, il existe une infinité de manières de l'écrire comme rapport de deux entiers. Le point 1 de la proposition 2 montre que la puissance fractionnaire ne dépend que du rapport $p/q$. Nous avons donc défini $a^r$ pour tout $r$ rationnel. Nous allons étendre la définition à tous les $x$ réels.

Définition 1   Soit $a$ un réel strictement positif. On appelle fonction puissance de base $a$ la fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}^+$ définie par :

$\bullet$

pour $a\geqslant 1$ :

$$\forall x\in \mathbb{R}\;,\quad a^x=\sup\{ a^r ,\;r\in\mathbb{Q} \cap ]-\!\infty,x[ \}\;.$$

$\bullet$

pour $a\leqslant 1$ :

$$\forall x\in \mathbb{R}\;,\quad a^x=\inf\{ a^r ,\;r\in\mathbb{Q} \cap ]-\!\infty,x[ \}\;.$$

La figure 1 montre le graphe des fonctions puissance pour plusieurs valeurs de $a$.

Figure: Fonctions puissance $x\mapsto a^x$ pour plusieurs valeurs de $a$.

Voici la liste des propriétés des fonctions puissances.

Théorème 1   Soit $a$ un réel strictement positif.

1. La fonction puissance de base $a$ est un morphisme du groupe additif $(\mathbb{R},+)$ vers le groupe multiplicatif $(\mathbb{R}^*,\times)$.

   $$\forall x,y\in\mathbb{R}\;,\quad a^{x+y}=a^xa^y\;.$$ (1)

   
   

2. 1. Si $a=1$, alors pour tout $x\in\mathbb{R}$ $a^x=1$,
   2. si $a> 1$, alors $x\mapsto a^x$ est strictement croissante, et :
      $$\lim_{x\to -\infty} a^x=0$$   et$$\quad \lim_{x\to +\infty} a^x=+\infty\;,$$

   3. si $a< 1$, alors $x\mapsto a^x$ est strictement décroissante, et :
      $$\lim_{x\to -\infty} a^x=+\infty$$   et$$\quad \lim_{x\to +\infty} a^x=0\;.$$

3. La fonction $x\mapsto a^x$ est convexe.
4. La fonction $x\mapsto a^x$ est dérivable et sa dérivée est $x\mapsto L_a a^x$, où $L_a$ est une constante.
5. La fonction $x\mapsto a^x$ est indéfiniment dérivable sur $\mathbb{R}$.

Démonstration : elle consiste essentiellement à vérifier les propriétés souhaitées sur les rationnels, puis à les étendre aux réels par passage à la limite. Pour simplifier, nous supposons $a\geqslant 1$. Les démonstrations pour $a\leqslant 1$ s'en déduisent facilement.

1. Soient $x$ et $y$ deux réels. Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ les suites des approximations décimales par défaut de $x$ et $y$. Ce sont deux suites croissantes de rationnels, qui convergent respectivement vers $x$ et $y$. La suite $(u_n+v_n)$ est elle-aussi une suite croissante de rationnels, et elle converge vers $x+y$. Or nous connaissons déjà la propriété pour les rationnels :
   $$\forall n\in\mathbb{N}\;,\quad a^{u_n+v_n}=a^{u_n} a^{v_n}\;.$$
   Par définition de la borne supérieure, et comme la fonction puissance est croissante pour les rationnels, les suites $(a^{u_n})$, $(a^{v_n})$ et $(a^{u_n+v_n})$ convergent respectivement vers $a^x$, $a^y$ et $a^{x+y}$. D'où le résultat.
2. Soit $x$ un réel, et $(u_n)$ la suite de ses approximations décimales : $1^x$ est la limite de la suite $(1^{u_n})$. Or pour tout $n$, $1^{u_n}=1$. D'où le résultat.

   Passons au cas $a> 1$. Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $x<y$. Il existe un rationnel $r$ tel que $x<r<y$. Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ les suites des approximations décimales par défaut de $x$ et $y$. Il existe un certain rang $n_0$ tel que pour tout $n\geqslant n_0$, $u_n<r<v_n$. Pour $a> 1$, les suites $(a^{u_n})$ et $(a^{v_n})$ sont croissantes. et $a^{u_n}<a^r<a^{v_n}$. Par passage à la limite, $a^x\leqslant a^r <a^y$. Donc $x\mapsto a^x$ est strictement croissante pour $a> 1$. Toute fonction croissante admet une limite en $-\infty$ et en $+\infty$. Pour identifier ces limites, il suffit de considérer une suite tendant vers $-\infty$ et une suite tendant vers $+\infty$, par exemple les suites d'entiers $(-n)$ et $(n)$. Or :

   $$\lim_{n\to \infty}a^{-n}=0$$   et$$\quad \lim_{n\to \infty} a^n =+\infty\;.$$
   D'où le résultat.

   Pour $a< 1$, inutile de refaire les démonstrations : il suffit d'utiliser la formule $a^{-x}=1/a^x$, conséquence de (1).

3. Nous souhaitons montrer que pour tout $x<y$, et pour tout $\lambda\in[0,1]$,

   $$a^{\lambda x+(1-\lambda)y}\leqslant \lambda a^x+(1-\lambda)a^y\;.$$ (2)

   
   
   Il existe plusieurs démonstrations, mais l'auteur est tellement fan de celle qui suit, qu'il ne résiste pas au plaisir de vous la servir.

   Nous allons d'abord montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ :

   $$\forall (x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{R}^n\;,\quad a^{(x_1+\cdots+x_n)/n}\leqslant \frac{1}{n}\big( a^{x_1}+\cdots+a^{x_n} \big)\;.$$ (3)

   
   
   La démonstration de (3) est une récurrence curieuse. Observons d'abord que (3) est trivialement vraie pour $n=1$. Montrons qu'elle est vraie pour $n=2$. Par application de (1) et puisque $a^x>0$, on a :
   $$a^{(x_1+x_2)/2} = \sqrt{a^{x_1}a^{x_2}}\;.$$
   Il est facile de vérifier que si $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels positifs, alors $\sqrt{\alpha\beta}\leqslant (\alpha+\beta)/2$, d'où (3) pour $n=2$. Nous en déduisons ensuite que si (3) est vraie pour un entier $n$, alors elle est vraie pour $2n$. Pour faciliter la lecture, nous notons $f_a$ l'application $x\mapsto a^x$.
   $$\begin{array}{l} \displaystyle{ f_a\left(\frac{x_1+\cdots+x_... ...s+f_a(x_n)+f_a(x_{n+1})+\cdots+f_a(x_{2n})}{2n}}\;. \end{array}$$
   Montrons maintenant que si (3) est vraie pour un entier $m\geqslant 2$, alors elle est vraie pour $m\!-\!1$.
   $$\begin{array}{l} \displaystyle{f_a\left(\frac{x_1+\cdots+x_{... ...ft(\frac{x_1+\cdots+x_{m-1}}{m-1}\right)\right)}\;. \end{array}$$
   Soit en regroupant les termes :
   $$f_a\left(\frac{x_1+\cdots+x_{m-1}}{m-1}\right)\left(\frac{m-1}{m}\right) \leqslant \frac{1}{m}\Big(f_a(x_1)+\cdots+f_a(x_{m-1})\Big)\;,$$
   d'où le résultat pour $m\!-\!1$. Maintenant, si (3) est vraie pour un entier $n$, elle est vraie pour $2n$, et d'après ce qui précède, aussi pour $2n\!-\!1$, $2n\!-\!2$, ..., $n+1$. Elle est donc vraie pour tout $n$.

   Soient $p$ et $q$ deux entiers positifs tels que $p<q$, et $x,y$ deux réels tels que $x<y$. Appliquons (3) pour $n=q$, $x_1=\cdots=x_p=x$, et $x_{p+1}=\cdots=x_{q}=y$. On obtient :

   $$f_a\left(\frac{p}{q}x+\left(1-\frac{p}{q}\right)y\right) \leqslant \frac{p}{q}f_a(x) +\left(1-\frac{p}{q}\right)f_a(y)\;,$$
   soit (2) pour $\lambda=\frac{p}{q}$. Donc (2) est vraie pour tout $\lambda$ rationnel. On en déduit le résultat pour tout $\lambda$ réel, en utilisant les approximations rationnelles comme nous l'avons déjà fait plusieurs fois.
4. La dérivabilité se déduit de la convexité, en utilisant la propriété (1). Commençons par montrer que $f_a$ est dérivable en 0. Considérons la fonction $\tau_0$, qui à $h\in\mathbb{R}^*$ associe le taux d'accroissement :
   $$\tau_0(h) = \frac{a^h-a^0}{h-0} = \frac{a^h-1}{h}\;.$$
   La fonction $f_a$ étant convexe, elle est continue et ses accroissements sont croissants. Donc la fonction $\tau_0$ admet une limite à gauche et une limite à droite en 0. La fonction $f_a$ est donc dérivable à gauche et à droite en 0. Nous devons montrer que les deux dérivées sont égales. Pour cela, calculons $\tau_0(-h)$, en utilisant (1).
   $$\tau_0(-h) = \frac{a^{-h}-1}{-h} = \frac{\frac{1}{a^h}-1}{-h} = \frac{1}{a^h} \frac{1-a^h}{-h}=\frac{1}{a^h}\tau_0(h)\;.$$
   Or quand $h$ tend vers 0, $1/a^h$ tend vers $1$, par continuité en 0. Donc la limite à gauche de $\tau_0$ en 0 est égale à sa limite à droite, ce qui entraîne que $f_a$ est dérivable en 0. Notons $L_a$ la dérivée en 0.

   Pour en déduire la dérivabilité en un point $x$ quelconque de $\mathbb{R}$, il suffit d'appliquer une fois de plus la propriété (1) :

   $$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{a^{x+h}-a^x}{h} = a^x\lim_{h\rightarrow 0} \frac{a^h-1}{h} = L_a a^x\;.$$

5. La dérivée étant proportionnelle à la fonction, elle est elle même dérivable. Donc $f_a$ est indéfiniment dérivable et sa dérivée $n$-ième est $L_a^n f_a$.

$\square$