QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1   Soit $a$ un réel strictement positif, et $x$ un réel quelconque.

$\sqrt{a^x}=a^{x/2}$.

$(a^x)^x=a^{2x}$.

$a^x a^{\sqrt{x}}=a^{3x/2}$.

$\sqrt{a^x}/(a^{x})^3=a^{-3x/2}$.

$\sqrt{(a^x)^3}=a^{3x/2}$.

Question 2   Soit $a$ un réel strictement positif quelconque.

$\ln(\sqrt{1/a^3})=-\ln(a)$.

$1/\ln(a)=-\ln(-a)$

$\ln(a+\sqrt{a})=(3/2) \ln(a)$.

$\ln(a+\sqrt{a})=(1/2) \ln(a) \ln(1+\sqrt{a})$.

$\ln(a/\sqrt[3]{a})=(2/3) \ln(a)$.

Question 3   Soit $x$ un réel strictement positif quelconque.

$\exp(\ln(x^2))=2x$.

$\exp(x+\ln(x))=x^x$.

$\exp(x^2+\ln(x))=x\mathrm{e}^{2x}$.

$\exp(x\ln(x^2))=x^{2x}$.

$\exp(\ln(x)/2)=\sqrt{x}$.

Question 4   Soit $x$ un réel quelconque.

$\sin(x-5\pi/2)=-\cos(x)$.

$\cos(x-5\pi/2)=-\sin(x)$.

$\sin(x+5\pi/2)=-\cos(x)$.

$\sin(5\pi-x)=-\sin(x)$.

$\cos(x-5\pi)=-\cos(x)$.

Question 5    

$\sin(-5\pi/4)=\sqrt{2}/{2}$.

$\tan(-5\pi/4)=1$.

$\sin(-5\pi/6)=-\sqrt{3}/2$.

$\tan(-5\pi/6)=-\sqrt{3}$.

$\cos(5\pi/3)=1/2$.

Question 6   Soit $x$ un réel quelconque.

$\cos(2x)-2\sin^2(x)=1$.

$\cos(2x)=1-2\cos^2(x)$.

$\sin(3x)-\sin(x)=2\sin(x)\cos(2x)$.

$(\cos(x)+\sin(x))^2=1+\sin(2x)$.

$\cos(3x)-\cos(x)=2\sin(x)\sin(2x)$.

Question 7    

$\arccos(-1/2)=2\pi/3$.

$\arcsin(\sqrt{3}/2)=2\pi/3$.

$\arctan(0)=\pi$.

$\arctan(\sqrt{3})=\pi/3$.

$\arctan(-1/\sqrt{3})=-\pi/3$.

Question 8    

$\forall x\in [-\pi,\pi]\;,\quad \arcsin(\sin(x))=x$.

$\forall x\in [-1,1]\;,\quad \cos(\arccos(x))=x$.

$\forall x\in [-\pi/2,\pi/2]\;,\quad \arccos(\sin(x))=\pi/2-x$.

$\forall x\in [-\pi/2,\pi/2]\;,\quad \arcsin(\cos(x))=\pi/2-x$.

$\forall x\in ]\!-\pi/2,\pi/2[\;,\quad \arctan(1/\tan(x))=\pi/2-x$.

Question 9   Soit $x$ un réel quelconque.

$\sinh(x)+\cosh(x)=\mathrm{e}^x$.

$\cosh(2x)=\cosh^2(x)-\sinh^2(x)$.

$\sinh(2x)+1=(\cosh(x)+\sinh(x))^2$.

$\cosh(3x)+\cosh(x)=2\cosh(2x)\cosh(x)$.

$\sin(3x)+\sinh(x)=2\cosh(2x)\sinh(x)$.

Question 10   Soit $x$ un réel quelconque.

$\arg\!\cosh(\cosh(x))=x$.

$\sinh(\arg\!\sinh(x))=x$.

$\arg\!\sinh(\cosh(x))= \sqrt{x^2-1}$.

$\cosh(\arg\!\sinh(x))= \sqrt{x^2+1}$.

$\tanh(\arg\!\sinh(x))= \displaystyle{\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}$.