Exercices

Exercice 1   Pour chacune des applications $ f$ suivantes.

\begin{displaymath}
f :\;\left\{
\begin{array}{lcl}
\mathbb{R}^2&\longrightarro...
...athbb{R}\\
(x,y)&\longmapsto&x^2+y^2-xy\;;
\end{array}\right.
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
f :\;\left\{
\begin{array}{lcl}
\mathbb{R}^2&\longrightarro...
...athbb{R}\\
(x,y)&\longmapsto&x^2-y^2-xy\;;
\end{array}\right.
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
f :\;\left\{
\begin{array}{lcl}
\mathbb{R}^2&\longrightarro...
...b{R}\\
(x,y)&\longmapsto&x^3+y^3-x^2y^2\;;
\end{array}\right.
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
f :\;\left\{
\begin{array}{lcl}
\mathbb{R}^2&\longrightarro...
...}\\
(x,y)&\longmapsto&4x^2+4y^2-(x+y)^4\;;
\end{array}\right.
\end{displaymath}

  1. Calculer le gradient de $ f$.
  2. Donner l'équation du plan tangent à la surface d'équation $ z=f(x,y)$, aux points $ (1,1)$, $ (1,2)$, $ (2,1)$.
  3. Déterminer les points critiques de $ f$.
  4. Calculer la matrice hessienne de $ f$.
  5. Soit $ g$ l'application de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$ qui à $ x$ associe $ \mathrm{e}^{-x}$. Calculer directement, puis en utilisant les dérivées partielles de $ f$, la dérivée de l'application de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$ qui à $ x$ associe $ f(x,g(x))$.
  6. Pour chacun des points critiques de $ f$, donner les conclusions tirées de l'examen de la matrice hessienne.
  7. Pour chacun des points critiques de $ f$, dire s'il s'agit ou non d'un extremum global de $ f$.

Exercice 2   Pour chacune des applications $ f$ suivantes.

\begin{displaymath}
f :\;\left\{
\begin{array}{lcl}
\mathbb{R}^3&\longrightarro...
...{R}\\
(x,y,z)&\longmapsto&x^2+2y^2+3z^2\;;
\end{array}\right.
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
f :\;\left\{
\begin{array}{lcl}
\mathbb{R}^3&\longrightarro...
...{R}\\
(x,y,z)&\longmapsto&x^2+2y^2-3z^2\;;
\end{array}\right.
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
f :\;\left\{
\begin{array}{lcl}
\mathbb{R}^3&\longrightarro...
...,y,z)&\longmapsto&x^4+y^2+z^2-4x-2y-2z+4\;;
\end{array}\right.
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
f :\;\left\{
\begin{array}{lcl}
\mathbb{R}^3&\longrightarro...
...ngmapsto&x^4-2x^2y+2y^2+2z^2+2yz-2y-2z+2\;;
\end{array}\right.
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
f :\;\left\{
\begin{array}{lcl}
\mathbb{R}^3&\longrightarro...
...z)&\longmapsto&3(x^2+y^2+z^2)-2(x+y+z)^4\;;
\end{array}\right.
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
f :\;\left\{
\begin{array}{lcl}
\mathbb{R}^3&\longrightarro...
...z)&\longmapsto&3(x^2+y^2+z^2)-2(x+y+z)^3\;.
\end{array}\right.
\end{displaymath}

  1. Calculer le gradient de $ f$.
  2. Déterminer l'ensemble des points critiques de $ f$.
  3. Calculer la matrice hessienne de $ f$.
  4. Calculer le laplacien de $ f$.
  5. Vérifier que $ \mathrm{rot}(\nabla f)=0$.
  6. Pour chacun des points critiques de $ f$, donner les conclusions tirées de l'examen de la matrice hessienne.
  7. Pour chacun des points critiques de $ f$, dire s'il s'agit ou non d'un extremum global de $ f$.

Exercice 3   Donner une valeur approchée des quantités suivantes, pour $ x=3.04$ et $ y=2.05$.
  1. $ xy$
  2. $ x^2y^3$
  3. $ \displaystyle{
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}
}$
  4. $ \displaystyle{
\frac{x+y}{x-y}
}$
  5. $ \displaystyle{
\frac{\ln(x+y)}{xy}
}$

Exercice 4   Soit $ f$ l'application de $ D=\mathbb{R}^{+*}\times \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$ qui à $ (x,y)$ associe $ y^3\ln(x)$. Vérifier que partout sur $ D$ :

  1. $\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\left(
\frac{\partial}{\partial y}\lef...
...{\partial}{\partial y}\left(
\frac{\partial f}{\partial y}\right)\right)\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\left(
\frac{\partial}{\partial x}\lef...
...{\partial}{\partial y}\left(
\frac{\partial f}{\partial y}\right)\right)\right)$  
      $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\left(
\frac{\partial}{\partial y}\lef...
...{\partial}{\partial x}\left(
\frac{\partial f}{\partial y}\right)\right)\right)$  
      $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\left(
\frac{\partial}{\partial y}\lef...
...{\partial}{\partial y}\left(
\frac{\partial f}{\partial x}\right)\right)\right)$  


  2. $\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\left(
\frac{\partial}{\partial x}\lef...
...{\partial}{\partial y}\left(
\frac{\partial f}{\partial y}\right)\right)\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\left(
\frac{\partial}{\partial y}\lef...
...{\partial}{\partial x}\left(
\frac{\partial f}{\partial y}\right)\right)\right)$  
      $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\left(
\frac{\partial}{\partial x}\lef...
...{\partial}{\partial y}\left(
\frac{\partial f}{\partial x}\right)\right)\right)$  
      $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\left(
\frac{\partial}{\partial y}\lef...
...{\partial}{\partial x}\left(
\frac{\partial f}{\partial x}\right)\right)\right)$  


  3. $\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\left(
\frac{\partial}{\partial x}\lef...
...{\partial}{\partial x}\left(
\frac{\partial f}{\partial y}\right)\right)\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\left(
\frac{\partial}{\partial x}\lef...
...{\partial}{\partial y}\left(
\frac{\partial f}{\partial x}\right)\right)\right)$  
      $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\left(
\frac{\partial}{\partial y}\lef...
...{\partial}{\partial x}\left(
\frac{\partial f}{\partial x}\right)\right)\right)$  
      $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\left(
\frac{\partial}{\partial x}\lef...
...{\partial}{\partial x}\left(
\frac{\partial f}{\partial x}\right)\right)\right)$  

Exercice 5   Soit $ f$ l'application de $ \mathbb{R}^3$ dans $ \mathbb{R}^2$ qui à $ (x,y,z)$ associe $ (x+y^2,xy^2z)$. Soit $ g$ l'application de $ \mathbb{R}^2$ dans $ \mathbb{R}^3$ qui à $ (u,v)$ associe $ (u^2+v,uv,\mathrm{e}^v)$.
  1. Écrire la matrice jacobienne de $ f$ au point $ (x,y,z)$.
  2. Écrire la matrice jacobienne de $ g$ au point $ (u,v)$.
  3. Écrire la matrice jacobienne de $ f\circ g$ au point $ (u,v)$.
  4. Écrire la matrice jacobienne de $ g\circ f$ au point $ (x,y,z)$.

Exercice 6   On note $ {\cal A}$ " Acrci" Aunité de $ \mathbb{R}^2$ :

$\displaystyle {\cal A} = \{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 ,\;x^2+y^2=1 \}\;.
$

On considère les fonctions de $ \mathbb{R}^2$ dans $ \mathbb{R}$ définies comme suit.

$\displaystyle f(x,y)= x+y
\;;\quad
f(x,y)= x+y-xy\;;
$

$\displaystyle f(x,y)= x^2+y^2-xy
\;;\quad
f(x,y)= x^2+y^2-x^2y^2
\;.
$

Pour chacune deAcrs fonctions :
  1. Utiliser le théorème des multiplicateurs de Lagrange pour déterminer quels points de $ {\cal A}$ sont des extrema possibles pour la restriction de $ f$ à $ {\cal A}$.
  2. Pour chacun deAcrs points, dire s'il s'agit ou non d'un extremum pour la restriction de $ f$ à $ {\cal A}$.

Exercice 7   Étant donné le domaine $ D$ du plan, et la fonction $ f$, calculer l'intégrale double de $ f$ sur $ D$, dans les cas suivants.
  1. $ D=\{ (x,y) ,\;0<x<y ,\;0<y<1 \}
\;,\quad
f(x,y)=x^2+y\;.
$
  2. $ D=\{ (x,y) ,\;0<x<1 ,\;0<y<1 \}
\;,\quad
f(x,y)=x\sin(xy)\;.
$
  3. $ D=\{ (x,y) ,\;0<x<1 ,\;0<y<x \}
\;,\quad
f(x,y)=x^2\sin(xy)\;.
$
  4. $ D=\{ (x,y) ,\;0<x<1 ,\;0<y<1-x \}
\;,\quad
f(x,y)=x(1-2x)\sin(xy)\;.
$
  5. $ D=\{ (x,y) ,\;1<x<3 ,\;1<y<4-x \}
\;,\quad
f(x,y)=(x+y)^{-4}\;.
$
  6. $ D=\{ (x,y) ,\;-1<x<1 ,\;0<y<2 \}
\;,\quad
f(x,y)=\sqrt{\vert y-x^2\vert}\;.
$

Exercice 8   Étant donné le domaine $ D$ de l'espace, et la fonction $ f$, calculer l'intégrale triple de $ f$ sur $ D$, dans les cas suivants.
  1. $ D=\{ (x,y,z) ,\;0<x<1 ,\;0<y<z<1 \}
\;,\quad
f(x,y,z)=xyz
\;\;.
$
  2. $ D=\{ (x,y,z) ,\;0<x<y<z<1 \}
\;,\quad
f(x,y,z)=x+y+z\;.
$
  3. $ D=\{ (x,y,z) ,\;0<x<1 ,\;0<y<x ,\;0<z<xy \}
\;,\quad
f(x,y,z)=x^3y^2z
\;\;.
$
  4. $ D=\{ (x,y,z) ,\;0<x ,\;0<y ,\;0<z ,\;x+y+z<1 \}
\;,\quad
f(x,y,z)=z\;.
$

Exercice 9   On note $ D$ le domaine du plan défini comme suit.

$\displaystyle D=\{ (x,y) ,\;-1-x<y<1-x ,\;x-1<y<x+1 \}\;.
$

Soit $ \Phi$ l'application de $ \mathbb{R}^2$ dans $ \mathbb{R}^2$ définie par :

\begin{displaymath}
\Phi(x,y)=(u,v) :\;
\left\{
\begin{array}{lcl}
u&=&\displaystyle{x+y} [2ex]
v&=&\displaystyle{x-y}\;.
\end{array}\right.
\end{displaymath}

  1. Calculer l'expression de $ \Phi^{-1}$.
  2. Déterminer le domaine $ \Delta$, image de $ D$ par $ \Phi$.
  3. Représenter graphiquement les domaines $ D$ et $ \Delta$.
  4. Vérifier que $ \Phi$ est une bijection de $ D$ sur $ \Delta$.
  5. Calculer la matrice jacobienne de $ \Phi$ au point $ (x,y)$ et la matrice jacobienne de $ \Phi^{-1}$ au point $ (u,v)$. Vérifier qu'elles sont inverses l'une deAl'autre.
  6. Calculer le déterminant jacobien de $ \Phi$ au point $ (x,y)$ et le déterminant jacobien de $ \Phi^{-1}$ au point $ (u,v)$.
  7. Utiliser le changement de variable $ \Phi$ pour calculer les intégrales suivantes.

    $\displaystyle \int_D x^2-y^2 \mathrm{d}x\mathrm{d}y
\;;\quad
\int_D (x^2-y^2)^2 \mathrm{d}x\mathrm{d}y\;;
$

    $\displaystyle \int_D \frac{1}{\sqrt{\vert x^2-y^2\vert}} \mathrm{d}x\mathrm{d}y
\;;\quad
\int_D \cos(x)\cos(y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\;.
$

Exercice 10   On note $ D$ le domaine du plan défini comme suit.

$\displaystyle D=\{ (x,y) ,\;x>0 ,\;y>0 ,x^2+y^2<1 \}\;.
$

Soit $ \Phi$ l'application de $ \mathbb{R}^2$ dans $ \mathbb{R}^2$ définie par :

\begin{displaymath}
\Phi(x,y)=(u,v) :\;
\left\{
\begin{array}{lcl}
u&=&\display...
...y^2}} [2ex]
v&=&\displaystyle{x^2+y^2}\;.
\end{array}\right.
\end{displaymath}

  1. Calculer l'expression de $ \Phi^{-1}$.
  2. Déterminer le domaine $ \Delta$, image de $ D$ par $ \Phi$.
  3. Représenter graphiquement les domaines $ D$ et $ \Delta$.
  4. Vérifier que $ \Phi$ est une bijection de $ D$ sur $ \Delta$.
  5. Calculer la matrice jacobienne de $ \Phi$ au point $ (x,y)$ et la matrice jacobienne de $ \Phi^{-1}$ au point $ (u,v)$. Vérifier qu'elles sont inverses l'une deAl'autre.
  6. Calculer le déterminant jacobien de $ \Phi$ au point $ (x,y)$ et le déterminant jacobien de $ \Phi^{-1}$ au point $ (u,v)$.
  7. Utiliser le changement de variable $ \Phi$ pour calculer les intégrales suivantes.

    $\displaystyle \int_D x \mathrm{d}x\mathrm{d}y
\;;\quad
\int_D xy \mathrm{d}x\mathrm{d}y\;;
$

    $\displaystyle \int_D x^2y \mathrm{d}x\mathrm{d}y
\;;\quad
\int_D x^2y^2 \mathrm{d}x\mathrm{d}y\;.
$

Exercice 11   On note $ D$ le domaine du plan défini comme suit.

$\displaystyle D=\left\{ (x,y) ,\;0<x<\frac{1}{1+2y} ,\;0<y<\frac{1}{1+2x} \right\}\;.
$

Soit $ \Phi$ l'application de $ \mathbb{R}^2$ dans $ \mathbb{R}^2$ définie par :

\begin{displaymath}
\Phi(x,y)=(u,v) :\;
\left\{
\begin{array}{lcl}
u&=&\display...
...]
v&=&\displaystyle{\frac{y(1+x)}{1-xy}}\;.
\end{array}\right.
\end{displaymath}

  1. Calculer l'expression de $ \Phi^{-1}$.
  2. Déterminer le domaine $ \Delta$, image de $ D$ par $ \Phi$.
  3. Représenter graphiquement les domaines $ D$ et $ \Delta$.
  4. Vérifier que $ \Phi$ est une bijection de $ D$ sur $ \Delta$.
  5. Calculer la matrice jacobienne de $ \Phi$ au point $ (x,y)$ et la matrice jacobienne de $ \Phi^{-1}$ au point $ (u,v)$. Vérifier qu'elles sont inverses l'une deAl'autre.
  6. Calculer le déterminant jacobien de $ \Phi$ au point $ (x,y)$ et le déterminant jacobien de $ \Phi^{-1}$ au point $ (u,v)$.
  7. Utiliser le changement de variable $ \Phi$ pour calculer les intégrales suivantes.

    $\displaystyle \int_D \frac{(1+x)(1+y)}{(1-xy)^3} \mathrm{d}x\mathrm{d}y
\;;\quad
\int_D \frac{1-xy}{(1+x)(1+y)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y\;;
$

    $\displaystyle \int_D \frac{1}{1-xy} \mathrm{d}x\mathrm{d}y
\;;\quad
\int_D \frac{1}{(1-xy)^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y\;.
$

Exercice 12   Soit $ D$ le disque ouvert de centre $ (0,0)$ et de rayon $ 1$ :

$\displaystyle D =
\{ (x,y) ,\;x^2+y^2<1 \}\;.
$

En utilisant le changement de variables en coordonnérs polaires, calculer les intégrales suivantes.
  1. $ \displaystyle{
\int_{D}\frac{1}{1+x^2+y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y\;.
}$
  2. $ \displaystyle{
\int_{D} (x^2+y^2)^{-1/4} \mathrm{d}x\mathrm{d}y \;.
}$
  3. $ \displaystyle{
\int_{D} x^2 \mathrm{d}x\mathrm{d}y\;.
}$
  4. $ \displaystyle{
\int_{D} x^2(x^2+y^2) \mathrm{d}x\mathrm{d}y \;.
}$

Exercice 13   Soit $ a$ un réel strictement compris entre 0 et $ 1$. On considère les domaines $ D$ du plan définis par :
$\displaystyle D$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 ,\;x^2+y^2<1 ,\;x>a \}\;;$  
$\displaystyle D$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 ,\;x^2<y<a \}\;;$  
$\displaystyle D$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 ,\;1/x<y<-x+1/a \}\;;$  
$\displaystyle D$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 ,\;0<y<x^2+a \}\;.$  

Pour chacun deAcrs domaines, calculer en fonction de $ a$ :
  1. l'aire de $ D$,
  2. les coordonnérs du centre de gravité de $ D$.

Exercice 14   Soit $ a$ un réel strictement compris entre 0 et $ 1$. On considère les domaines $ D$ de l'espace définis par :
$\displaystyle D$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ,\;x^2+y^2+z^2<1 ,\;z>a \}\;;$  
$\displaystyle D$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ,\;\sqrt{x^2+y^2}<1-z ,\;0<z<a \}\;;$  
$\displaystyle D$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ,\;x^2+y^2<z<a \}\;;$  
$\displaystyle D$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ,\;x^2+y^2+z^2<1 ,\;x^2+y^2<a ,\;z>0 \}\;.$  

Pour chacun deAcrs domaines, calculer en fonction de $ a$ :
  1. l'aire de $ D$,
  2. les coordonnérs du centre de gravité de $ D$.


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