Théorie de Cauchy pour les domaines étoilés

Existence de primitives

L'objet de cette section est de donner des conditions sur un ouvert de $\mathbb{C}$ qui permettent d'assurer l'existence de primitives pour les fonctions continues définies sur cet ouvert.

Définition 11   Soit $f$ une fonction continue d'un ouvert $U$ de $\mathbb{C}$ à valeurs complexes. On appelle primitive de $f$ toute fonction $F$ définie sur $U$ telle que $F'=f$.

Théorème 10   Soit $f : U\to \mathbb{C}$ une fonction continue sur l'ouvert $U$ de $\mathbb{C}$. Pour que $f$ admette une primitive dans $U$ il faut et il suffit que pour tout chemin fermé $\gamma$ de classe $\mathcal {C}^1$ par morceaux dans $U$ on ait

$$\int_\gamma f(z) \mathrm{d}z=0.$$

Démonstration : La nécessité de la condition a été prouvée dans le premier exemple de la section 1.2.

Supposons la condition satisfaite, nous devons construire une primitive $F$ de $f$ sur chaque composante connexe de $U$. Sans perte de généralité nous pouvons supposer que $U$ est connexe. Pour tout couple de points $z_0$, $z$ de $U$, il existe donc un chemin de classe $\mathcal {C}^1$ contenu dans $U$ joignant $z_0$ à $z$. Si $([a,b],\gamma)$ est un tel chemin, on définit le chemin $([a,b],-\gamma$ par $t\mapsto\gamma(a+b-t)$ et on a

$$\int_{-\gamma} f(z) \mathrm{d}z=-\int_\gamma f(z) \mathrm{d}z.$$

Montrons que $\int_\gamma f(z) \mathrm{d}z=0$ ne dépend pas du choix du chemin $\gamma$ contenu dans $U$ joignant $z_0$ à $z$. Si $\gamma_1$ et $\gamma_2$ sont deux chemins de classe $\mathcal {C}^1$ contenus dans $U$ joignant $z_0$ à $z$. Notons $\gamma$ le chemin obtenu en juxtaposant le chemin $\gamma_1$ et le chemin $-\gamma_2$, c'est un chemin fermé de classe $\mathcal {C}^1$ par morceaux dans $U$ (figure 5).

Figure 5: Chemins fermés de classe $\mathcal {C}^1$ par morceaux, concaténations de chemins de mêmes extrémités.

Par hypothèse on a donc

$$\int_\gamma f(z) \mathrm{d}z=\int_{\gamma_1} f(z) \mathrm{d}z-\int_{\gamma_2} f(z) \mathrm{d}z=0,$$

soit

$$\int_{\gamma_1} f(z) \mathrm{d}z=\int_{\gamma_2} f(z) \mathrm{d}z.$$

Fixons $z_0\in U$, on peut alors définir pour $z\in U$

$$F(z)=\int_{z_0}^z f(w) \mathrm{d}w,$$

où $\int_{z_0}^z$ signifie $\int_\gamma$, $\gamma$ étant un chemin quelconque contenu dans $U$ joignant $z_0$ à $z_1$.

Il reste à prouver que $F$ est une primitive de $f$ sur $U$. Pour $u\in\mathbb{C}$ assez petit pour que le segment $\Gamma_u$ d'extrémités $z$ et $z+u$ soit contenu dans $U$ on a

$$F(z+u)-F(z) =\int_{z_0}^{z+u}f(w) \mathrm{d}w-\int_{z_0}^z f(w) \mathrm{d}w= \int_{\Gamma_u}f(w) \mathrm{d}w$$

$$=uf(z)+\int_{\Gamma_u}(f(w)-f(z)) \mathrm{d}w.$$

La dernière intégrale est majorée en module par $\vert u\vert\epsilon(u)$ avec $\epsilon(u)=\sup_{\Gamma_u}\vert f(w)-f(z)\vert$ et, la fonction $f$ étant continue, $\epsilon(u)$ tend vers 0 quand $u$ tend vers 0, par conséquent

$$\frac{F(z+u)-F(z)}{u}-f(z)=\epsilon(u)\to_{u\to 0} 0,$$

c'est-à-dire $F'(z)=f(z)$.$\square$ Remarque. On a vu dans la section 1.2 que

$$\int_{\mathcal{C}(0,1)}\frac{\mathrm{d}z}{z}=2\mathrm{i}\pi,$$

la fonction $\frac{1}{z}$ n'admet donc pas de primitive dans $\mathbb{C}\setminus\{0\}$.

Définition 12   Un ouvert $U$ de $\mathbb{C}$ est dit étoilé s'il existe un point $z_0\in U$ tel que pour tout $z\in U$ le segment joignant $z_0$ à $z$ est contenu dans $U$, c'est-à-dire que pour tout $t\in[0,1]$ le point $w=z_0+t(z-z_0)$ appartient à $U$.

Figure 6: Ouvert étoilé.

Exemple. Un ouvert convexe $U$ est étoilé par rapport à chacun de ses points.

Si $\Delta$ est un triangle fermé de $\mathbb{C}$, on désigne par $\partial\Delta$ le chemin de classe $\mathcal {C}^1$ par morceaux constitué du bord du triangle $\Delta$ parcouru une fois dans le sens direct.

Théorème 11   Soit $f$ une fonction continue sur un ouvert étoilé $U$ de $\mathbb{C}$ telle que

$$\int_{\partial\Delta} f(z) \mathrm{d}z=0$$

pour tout triangle $\Delta$ contenu dans $U$, alors $f$ admet une primitive dans $U$.

Démonstration : Soit $z_0$ un point de $U$ par rapport auquel $U$ est étoilé, alors pour tout $z\in U$ le segment $[z_0,z]$joignant $z_0$ à $z$ est contenu dans $U$. On pose

$$F(z)=\int_{[z_0,z]}f(w) \mathrm{d}w.$$

Puisque $U$ est un ouvert de $\mathbb{C}$, il existe $r>0$ tel que le disque $D(z,r)$ soit contenu dans $U$ et par conséquent si $\vert u\vert<r$ le segment $[z,z+u]$ est contenu dans $U$. L'ouvert $U$ étant étoilé par rapport à $z_0$, le triangle $\Delta$ de sommets $z_0$, $z$ et $z+u$ est contenu dans $U$. Puisque $\int_{\partial\Delta} f(z) \mathrm{d}z=0$, il résulte de la définition de $F$ que

$$F(z+u)-F(z)=\int_{[z,z+u]}f(w) \mathrm{d}w$$

et on conclut comme dans la preuve du Théorème 10.$\square$

Résumé. Soit $f$ est une fonction continue dans un ouvert $U$ de $\mathbb{C}$.

	$\int_\gamma f(z) \mathrm{d}z=0$ pour tout chemin fermé $\gamma$ de $U$
$\Downarrow$		$\Updownarrow$
$\int_{\partial\Delta} f(z) \mathrm{d}z=0$ pour tout triangle $\Delta\subset U$	$\Rightarrow$	$f$ admet une primitive dans $U$
	$U$ étoilé

Théorèmes de Cauchy

Nous développons ici la théorie de Cauchy pour les domaines convexes ou étoilés.

Théorème 12   Soit $f$ une fonction $\mathbb{C}$-dérivable dans un ouvert $U$ de $\mathbb{C}$. Pour tout triangle $\Delta$ contenu dans $U$ on a

$$\int_{\partial\Delta} f(z) \mathrm{d}z=0.$$

Démonstration : Nous utilisons la méthode de Goursat. Soient $a,b,c$ les somments du triangle $\Delta$ et $a',b',c'$ les milieux des segments $[b,c]$, $[a,c]$ et $[a,b]$. On considère les quatre nouveaux triangles $\Delta^j$, $1\leqslant j\leqslant 4$, associés aux triplets $(a,c',b')$, $(b,a',c')$, $(c,b',a')$ et $(a',b',c')$.

Figure 7: Méthode de Goursat.

Posons $J=\int_{\partial\Delta} f(z) \mathrm{d}z=\sum_{j=1}^4\int_{\partial\Delta^j} f(z) \mathrm{d}z$. La valeur absolue d'une au moins des quatre intégrales $\int_{\partial\Delta^j} f(z) \mathrm{d}z$ est supérieure ou égale à $\frac{1}{4}\vert J\vert$. Soit $\Delta^1$ le triangle correspondant à une telle intégrale. En appliquant à $\Delta_1$ le raisonnement fait pour $\Delta$, on construit un triangle $\Delta_2$ tel que

$$\left\vert\int_{\partial\Delta_2} f(z) \mathrm{d}z\right\vert\geqslant \frac{1}{4}\left\vert\int_{\partial\Delta_1} f(z) \mathrm{d}z\right\vert.$$

On construit ainsi une suite de triangles emboîtés fermés

$$\Delta_0=\Delta\supset\Delta_1\supset\dots\supset\Delta_n\supset\Delta_{n+1}\supset\dots$$

tels que, pour tout $n\geqslant 1$,

$$\left\vert\int_{\partial\Delta_n} f(z) \mathrm{d}z\right\vert\geq... ...t \frac{1}{4}\left\vert\int_{\partial\Delta_{n-1}} f(z) \mathrm{d}z\right\vert.$$

On en déduit

$$\left\vert\int_{\partial\Delta_n} f(z) \mathrm{d}z\right\vert\geqslant \frac{1}{4^n}\vert J\vert.$$ (6)

De plus par construction $l(\partial\Delta_n)=\frac{1}{2^n}l(\partial\Delta)$.

La famille $(\Delta_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite décroissante de compacts dont le diamètre tend vers 0, donc $\cap_{n\in\mathbb{N}}\Delta_n=\{z_0\}$. En effet $\cap_{n\in\mathbb{N}}\Delta_n\neq\emptyset$ car sinon il existerait une sous famille finie d'intersection vide, ce qui contredirait la décroissance de la famille; elle est réduite à un point car le diamètre des $\Delta_n$ tend vers 0.

Comme $z_0\in\Delta\subset U$, $f$ est $\mathbb{C}$-dérivable en $z_0$ par hypothèse. Par conséquent $\varepsilon>0$ étant donné, il existe $r>0$ tel que pour $\vert z-z_0\vert\leqslant r$ on ait

$$\vert f(z)-f(z_0)-(z-z_0)f'(z_0)\vert\leqslant \varepsilon\vert z-z_0\vert.$$

Prenons $n$ assez grand pour que $\Delta_n\subset D(z_0,r)$. Puisque la fonction polynomiale $f(z_0)+(z-z_0)f'(z_0)$ admet des primitives dans $\mathbb{C}$, son intégrale sur tout chemin fermé est nulle donc

$$\left\vert\int_{\partial\Delta_n} f(z) \mathrm{d}z\right\vert =\left\vert\int_{\partial\Delta_n} (f(z)-f(z_0)-(z-z_0)f'(z_0)) \mathrm{d}z\right\vert$$

$$\leqslant \varepsilon\sup_{z\in\Delta_n} \vert z-z_0\vert l(\partial\Delta_n)$$

$$\leqslant \varepsilon(l(\partial\Delta_n))^2\leqslant \frac{\varepsilon}{4^n}(l(\partial\Delta))^2.$$

On déduit alors de 6 que

$$\frac{1}{4^n}\vert J\vert\leqslant \frac{\varepsilon}{4^n}(l(\partial\Delta))^2,$$

soit $\vert J\vert\leqslant \varepsilon(l(\partial\Delta))^2$ ; $\varepsilon$ étant arbitraire on a $J=0$.$\square$

Remarque. Le résultat du théorème précédent reste vrai si on suppose que $f$ est continue dans $U$ et $\mathbb{C}$-dérivable dans $U$ privé d'un point $\alpha$.

Démonstration : [de la remarque] Il n'y a à traiter que le cas où $\alpha\in\Delta$, l'autre cas résultant directement du Théorème 12.

Si $\alpha$ est un sommet de $\Delta$, par exemple $\alpha=a$. D'après le Théorème 12, si $b'\in [a,b]$ et $c'\in [a,c]$,

$$\int_{(abc)}f(z) \mathrm{d}z=\int_{(ab'c')}f(z) \mathrm{d}z$$

car les intégrales sur les autres triangles sont nulles, $\alpha$ n'appartient pas à ces triangles. Si $b'\to a$ et $c'\to a$, l'intégrale $\int_{(ab'c')}f(z) \mathrm{d}z\to 0$ à cause de la continuité de $f$.

Si $\alpha$ est sur un côté de $\Delta$, on se ramène au cas précédent en décomposant $\Delta$ en deux triangles en joignant $\alpha$ au sommet opposé. De même si $\alpha$ est à l'intérieur de $\Delta$, on décompose $\Delta$ en trois triangles en joignant $\alpha$ à chacun des sommets de $\Delta$ (figure 8).

Figure 8: Découpage de triangles.

$\square$

Cette extension nous sera utile ultérieurement. Mais en fait elle n'est qu'apparente car on verra que si $f$ est continue sur $U$ et $\mathbb{C}$-dérivable dans $U$ privé d'un point elle est $\mathbb{C}$-dérivable dans $U$.

Corollaire 7   Soient $U$ un ouvert convexe ou étoilé de $\mathbb{C}$ et $f$ une fonction $\mathbb{C}$-dérivable dans $U$. Alors $f$ admet une primitive dans $U$ et pour tout chemin fermé $\gamma$ de classe $\mathcal {C}^1$ par morceaux dans $U$ on a

$$\int_\gamma f(z) \mathrm{d}z=0.$$

Démonstration : C'est une conséquence directe des Théorèmes 12, 11 et 10.$\square$

Théorème 13   Soit $f$ une fonction $\mathbb{C}$-dérivable dans un ouvert $U$ convexe ou étoilé de $\mathbb{C}$ et soit $\gamma$ un chemin fermé de classe $\mathcal {C}^1$ par morceaux contenu dans $U$, d'image $\Gamma$. Pour tout $z\in U\setminus\Gamma$ on a

$$f(z)\mathrm{Ind}_\gamma(z)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_\gamma\frac{f(w)}{w-z} \mathrm{d}w.$$ (7)

Démonstration : Soit $z$ un point de $U$, la fonction $g$ définie dans $U$ par

$$\left\{ \begin{array}{lc} g(w)=\frac{f(w)-f(z)}{w-z}\quad \mbox{si} w\neq z g(z)=f'(z) \end{array} \right.$$

est continue dans $U$ et $\mathbb{C}$-dérivable dans $U\setminus \{z\}$. Puisque $U$ est étoilé, il résulte de la remarque suivant le théorème 12 et du Théorème 11 que $g$ admet une primitive dans $U$ et par conséquent que son intégrale sur tout chemin fermé de classe $\mathcal {C}^1$ par morceaux contenu dans $U$ est nulle. On a donc, si $z\notin\Gamma$,

$$\int_\gamma g(w) \mathrm{d}w=\int_\gamma\frac{f(w)-f(z)}{w-z} \mathrm{d}w=0,$$

d'où

$$f(z)\int_\gamma\frac{1}{w-z} \mathrm{d}w=\int_\gamma\frac{f(w)}{w-z} \mathrm{d}w$$

et le résultat par définition de l'indice d'un chemin par rapport à un point.$\square$

Corollaire 8   Soit $U$ un ouvert de $\mathbb{C}$, toute fonction $\mathbb{C}$-dérivable dans $U$ est analytique dans $U$ et en particulier indéfiniment dérivable.

Démonstration : Pour tout $z\in U$ il suffit d'appliquer la formule de Cauchy en prnant comme chemin $\gamma$ le cercle de centre $z$ et de rayon $r>0$ assez petit pour que $\overline{D(z,r)}\subset U$ et de répéter la démonstration du Corollaire 1.$\square$ Remarque. Le Corollaire 8 implique en particulier l'équivalence entre la $\mathbb{C}$-dérivabilité et l'holomorphie. L'hypothèse $f$ de classe $\mathcal {C}^1$ que nous avions faite dans la définition des fonctions holomorphes au paragraphe «Fonctions holomorphes» est donc superflue. Elle nous a permis d'obtenir très rapidement les principales propriétés des fonctions holomorphes en évitant la théorie des primitives.

Corollaire 9 (Théorème de Morera)   Soit $f$ une fonction continue dans un ouvert $U$ de $\mathbb{C}$. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

1) La fonction $f$ est $\mathbb{C}$-dérivable dans $U$

2) La fonction $f$ est holomorphe dans $U$

3) La fonction $f$ est analytique dans $U$

4) La fonction $f$ admet localement une primitive dans $U$

5) Pour tout triangle $\Delta$ contenu dans $U$, on a $\int_{\partial\Delta} f(z) \mathrm{d}z=0$.

Démonstration : Nous venons de prouver que 1) implique 5) et que 1), 2) et 3) sont équivalentes. Il résulte du paragraphe «Existence de primitives» que 4) est équivalent à 5). Il reste donc à prouver que 4) implique 1). Soient $z_0$ un point de $U$ et $F$ une primitive de $f$ sur un voisinage $V_{z_0}$ de $z_0$. La fonction $F$ est $\mathbb{C}$-dérivable sur $V_{z_0}$ et $F'=f$, mais d'après le Corollaire 8 $F$ est indéfiniment dérivable et en particulier $f$ est $\mathbb{C}$-dérivable sur $V_{z_0}$. Ceci étant valable pour tout $z_0\in U$, $f$ est $\mathbb{C}$-dérivable sur $U$.$\square$

Résumé. Soit $f$ est une fonction continue dans un ouvert $U$ de $\mathbb{C}$.

$\int_\gamma f(z) \mathrm{d}z=0$ pour tout chemin fermé $\gamma$ de $U$	$\Leftrightarrow$	$f$ admet une primitive dans $U$
$U$ étoilé $\Uparrow$     $\Downarrow$		$\Downarrow$
$f$ holomorphe dans $U$	$\Leftrightarrow$	$f$ admet localement une primitive dans $U$