Projections et symétries

L'étude des projections et symétries, sera l'occasion de mettre en uvre à la fois des applications linéaires entre espaces vectoriels généraux et les sommes d'espaces vectoriels. Aussi bien pour les projections que pour les symétries, l'ingrédient principal est une somme directe. Soit $E$ un espace vectoriel, $F$ et $G$ deux sous-espaces tels que $E=F\oplus G$. Pour tout vecteur $u$ dans $E$, il existe un couple unique de vecteurs $(v,w)$ tels que $v\in F$, $w\in G$ et $u=v+w$ (voir la proposition 4 et la figure 1).

Définition 11   Soit $E$ un espace vectoriel, $F$ et $G$ deux sous-espaces tels que $E=F\oplus G$.

1. On appelle projection sur $F$ parallèlement à $G$ l'application qui à $u\in E$ associe l'unique élément $v$ de $F$ tel que $u-v\in G$.
2. On appelle symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$ l'application qui à $u\in E$ associe $v-w$, où $(v,w)$ est le couple unique de vecteurs tels que $v\in F$, $w\in G$ et $u=v+w$.

La figure 2 illustre la projection sur $F$ parallèlement à $G$ et la symétrie correspondante. Reprenons par exemple la décomposition de l'espace des polynômes $\mathbb{R}[X]=F\oplus G$, où $F$ (respectivement : G) est l'ensemble des polynômes ne contenant que des termes de degré pair (respectivement : impair). La projection $p$ sur $F$ parallèlement à $G$ associe à un polynôme, le polynôme formé par ses termes de degré pair.

$$p(1+X+3X^2+2X^3-2X^4-X^5) = 1+3X^2-2X^4$$

La symétrie par rapport à $F$ change le signe des termes de degré impair (transformation $X\mapsto -X$).

$$s(1+X+3X^2+2X^3-2X^4-X^5) = \big(1+3X^2-2X^4\big)-\big(X+2X^3-X^5)$$

Figure 2: Somme directe $E=F\oplus G$, projection sur $F$, et symétrie par rapport à $F$.

Proposition 10   Soit $E$ un espace vectoriel, $F$ et $G$ deux sous-espaces tels que $E=F\oplus G$. La projection sur $F$ d'une part, et la symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$ d'autre part, sont des applications linéaires.

Démonstration : Si $u=v+w$ et $u'=v'+w'$, alors

$$\lambda u+\mu u' = (\lambda v+\mu v')+(\lambda w+\mu w')\;.$$

Puisque les vecteurs $\lambda v+\mu v'$ et $\lambda w+\mu w'$ appartiennent respectivement à $F$ et $G$, la formule précédente donne la décomposition de $\lambda u+\mu u'$. Sa projection sur $F$ est donc $\lambda v+\mu v'$, et son symétrique par rapport à $F$ est

$$(\lambda v+\mu v')-(\lambda w+\mu w') =\lambda (v-w)+\mu (v'-w')\;,$$

d'où le résultat.$\square$ La projection sur $F$ parallèlement à $G$ a pour image $F$ et pour noyau $G$. La symétrie est une bijection de $E$ sur lui-même : c'est un automorphisme de $E$. La proposition suivante caractérise les projections et les symétries, indépendamment de la décomposition en somme directe.

Proposition 11   Soit $E$ un espace vectoriel.

1. Un endomorphisme $p$ de $E$ est une projection si et seulement si $p\circ p=p$.
2. Un endomorphisme $s$ de $E$ est une symétrie si et seulement si $s\circ s=I_E$, où $I_E$ désigne l'application identique de $E$.

Démonstration : Si $p$ est la projection sur $F$ parallèlement à $G$, alors pour tout $v\in F$, $p(v)=v$, et donc $p\circ p=p$. Réciproquement, si $p\circ p=p$, nous allons montrer que $p$ est la projection sur Im$(p)$ parallèlement à Ker$(p)$. Commençons par montrer que Im$(p)$ et Ker$(p)$ sont supplémentaires, c'est-à-dire que $E=$Im$(p)\oplus$   Ker$(p)$. Observons que pour tout $u\in E$,

$$p(u-p(u))= p(u)- p\circ p(u) = 0\;,$$

donc $u-p(u)\in$   Ker$(p)$. On peut toujours écrire $u=p(u)+(u-p(u))$. Pour vérifier que la somme est directe, nous devons montrer que l'intersection de l'image et du noyau est réduite au vecteur nul. Si $u\in$   Im$(p) \cap$   Ker$(p)$, alors il existe $v$ tel que $u=p(v)$ (puisque $u$ est dans l'image), et de plus $p(u)=0$ (puisque $u$ est dans le noyau). Donc $p(p(v))=0$. Mais $p(p(v))=p(v)=u$. D'où le résultat.

Nous avons montré que $U=$Im$(p)\oplus$   Ker$(p)$. La décomposition d'un vecteur $u$ selon cette somme directe est

$$u=p(u)+(u-p(u))\;.$$

Donc $p(u)$ est bien la projection de $u$ sur Im$(p)$ parallèlement à Ker$(p)$. La formule $v-(-w)=v+w$ entraîne que la composée d'une symétrie par elle-même est l'application identique. Réciproquement, soit $s$ une application telle que $s\circ s=I_E$. Définissons les applications $p_1$ et $p_2$ par :

$$p_1 : u\longmapsto \frac{1}{2}(u+s(u))$$   et$$\quad p_2 : u\longmapsto \frac{1}{2}(u-s(u))\;.$$

Composons l'application $p_1$ par elle-même :

$$p_1\circ p_1(u) = p_1\left(\frac{1}{2}(u+s(u))\right)$$

$$= \frac{1}{2}\big(p_1(u)+p_1(s(u))\big)$$

$$= \frac{1}{4}\big(u+s(u)+s(u)+s\circ s(u)\big)$$

$$= \frac{1}{4}\big(2u+2s(u)\big)=p_1(u)\;.$$

On vérifie de même que $p_2\circ p_2=p_2$. D'après ce qui précède, $p_1$ et $p_2$ sont donc des projections. Or $p_1+p_2=I_E$. Il s'ensuit que si $p_1$ est la projection sur $F$ parallèlement à $G$, alors $p_2$ est la projection sur $G$ parallèlement à $F$. Mais puisque $s=p_1-p_2$, alors $s$ est la symétrie par rapport à $F$, parallèlement à $G$.$\square$