Familles libres

Définition 6   Soit $E$ un espace vectoriel, et ${\cal V}$ une famille de vecteurs. On dit que ${\cal V}$ est une famille libre si pour tout entier $n\geqslant 1$ et pour tout $n$-uplet $(v_1,\ldots,v_n)$ de vecteurs de ${\cal V}$,

$$\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i=0\;\Longrightarrow\; \big(\forall i=1,\ldots,n ,\;\lambda_i=0\big)$$

Une famille (quelconque) de vecteurs est libre si toute sous-famille finie est libre : la seule combinaison linéaire nulle de ces vecteurs, a tous ses coefficients nuls. Observons que si une famille est libre dans un espace vectoriel $E$, elle reste libre dans n'importe quel espace vectoriel contenant $E$ ou contenu dans $E$. Dans le cas contraire, elle est dite liée. Nous rassemblons dans la proposition suivante des exemples classiques de familles libres, dans l'espace des polynômes, des suites, et des fonctions.

Proposition 5    

1. Dans l'espace vectoriel des polynômes, toute famille de polynômes non nuls, de degrés distincts deux à deux, est libre.
2. Dans l'espace vectoriel des suites de réels, la famille des suites de la forme $(r^k)_{k\in\mathbb{N}}$, pour $r>0$, est libre.
3. Dans l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, la famille des fonctions de la forme $x\mapsto \mathrm{e}^{\alpha x}$, pour $\alpha\in\mathbb{R}$, est libre.

Démonstration : Pour démontrer qu'une famille est libre, nous devons montrer que toute sous-famille finie de $n$ vecteurs est libre, pour tout $n$. Les trois démonstrations se font par récurrence sur $n$. Pour initialiser les récurrences, observons que la famille formée d'un seul vecteur non nul est toujours libre, quel que soit l'espace.

1. Soient $P_1,\ldots,P_n$ des polynômes non nuls, de degrés distincts deux à deux. Sans perte de généralité, supposons que les polynômes ont été rangés par ordre croissant de leurs degrés. Si $\lambda_1 P_1+\cdots+\lambda_n P_n=0$, alors le coefficient du terme de plus haut degré est nul, donc $\lambda_n=0$. D'où le résultat, par récurrence.
2. Soient $r_1,\ldots,r_n$ des réels strictement positifs, distincts deux à deux. Supposons-les rangés par ordre croissant. Supposons que la suite de terme général $\lambda_1 r_1^k+\cdots+\lambda_n r_n^k$ soit nulle. Puisque $r_n$ est strictement supérieur à tous les autres $r_i$,
   $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{r_n^k} (\lambda_1 r_1^k+\cdots+\lambda_n r_n^k) = \lambda_n\;,$$
   donc $\lambda_n=0$. D'où le résultat, par récurrence.
3. Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ des réels, distincts deux à deux. Supposons-les rangés par ordre croissant. Supposons que la fonction $x\mapsto\lambda_1 \mathrm{e}^{\alpha_1 x}+\cdots+\lambda_n \mathrm{e}^{\alpha_n x}$ soit nulle. Puisque $\alpha_n$ est strictement supérieur à tous les autres $\alpha_i$,
   $$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{\mathrm{e}^{\alpha_n x}} (\la... ...rm{e}^{\alpha_1 x}+\cdots+\lambda_n \mathrm{e}^{\alpha_n x}) = \lambda_n\;,$$
   donc $\lambda_n=0$. D'où le résultat, par récurrence.

$\square$ Par exemple :

1. $\big( 1, 2X+3X^2, 3X-X^2+X^3 \big)$ est une famille de polynômes, libre dans $\mathbb{R}[X]$.
2. $\big( (2^{-k})_{k\in\mathbb{N}}, (2^k)_{k\in\mathbb{N}}, (3^{k})_{k\in\mathbb{N}} \big)$ est une famille de suites, libre dans $\mathbb{R}^\mathbb{N}$.
3. $\big( x\mapsto \mathrm{e}^{-x}, x\mapsto 1, x\mapsto \mathrm{e}^x \big)$ est une famille de fonctions, libre dans $\mathbb{R}^\mathbb{R}$.