Équations différentielles linéaires

Les équations différentielles linéaires sont très proches des équations de récurrence traitées ci-dessus. Considérons l'équation $ {\cal E}$ :

$\displaystyle ({\cal E})\qquad
y^{(d)}(t) = a_0 y(t) + a_1 y'(t) +\cdots+ a_{d-1} y^{(d-1)}(t)\;,
$

$ a_0, a_1,\ldots, a_{d-1}$ sont $ d$ coefficients réels, $ y$ est une fonction indéfiniment dérivable, et $ y^{(k)}$ désigne sa dérivée $ k$-ième. Pour connaître la forme des solutions de $ ({\cal E})$, il faut résoudre l'équation suivante :

$\displaystyle (ECA)\qquad
r^d=a_0+a_1r+\cdots+a_{d-1}r^{d-1}\;.
$

Cette équation porte aussi le nom d'équation caractéristique associée. C'est la condition pour que $ y(t)=\mathrm{e}^{r t}$ soit solution de $ ({\cal E})$.

Le résultat suivant est l'analogue du théorème 9 et sa démonstration est très proche.

Théorème 10   L'ensemble des solutions (réelles ou complexes) de l'équation $ ({\cal E})$ est un espace vectoriel de dimension $ d$ sur $ \mathbb{C}$.

Notons $ r_1,\ldots,r_k$ les racines (réelles ou complexes) de l'équation caractéristique associée $ (ECA)$ et $ m_1,\ldots,m_k$ leurs multiplicités. Toute solution de l'équation $ ({\cal E})$ s'écrit :

$\displaystyle y(t) = \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^{m_i-1} \lambda_{i,j} t^j
\mathrm{e}^{r_i t}\;,
$

où les $ d$ coefficients $ \lambda_{i,j} ,\;i=1,\ldots,k ,\;j=0,\ldots,m_i\!-\!1$ sont réels ou complexes.

En pratique, pour déterminer une solution vérifiant $ d$ conditions particulières, il suffit de calculer ses coefficients $ \lambda_{i,j}$ en résolvant un système linéaire ordinaire, de $ d$ équations à $ d$ inconnues. Exemple : Considérons l'équation suivante :

$\displaystyle ({\cal E})\qquad
y'''(t) = y(t)+y'(t)-y''(t)\;.
$

L'équation caractéristique associée est :

$\displaystyle (ECA)\qquad
r^3 = 1+r-r^2\;.
$

Cette équation a pour racines $ 1$ (racine simple) et $ -1$ (racine double). Toute solution de l'équation différentielle s'écrit donc :

$\displaystyle y(t) = a\mathrm{e}^t+b\mathrm{e}^{-t}+ct\mathrm{e}^{-t}\;.
$

Pour trouver la solution qui vérifie $ y(0)=-1$, $ y'(0)=1$, $ y''(0)=0$, on résout le système suivant.

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{lcr}
a+b &=&-1\\
a-b+c&=&1\\
a+b-2c&=&0
\end{array}\right.
\end{displaymath}

La solution est $ a=1/4$, $ b=-5/4$, $ c=-1/2$. La fonction cherchée est donc :

$\displaystyle y(t) = \frac{1}{4} \mathrm{e}^t - \frac{5}{4}\mathrm{e}^{-t} -\frac{1}{2}t \mathrm{e}^{-t}\;.
$

Il se peut que l'équation caractéristique associée admette des racines complexes conjuguées. Supposons que $ \lambda=\alpha+\mathrm{i}\beta$ soit racine de $ (ECA)$, alors $ \overline\lambda = \alpha-\mathrm{i}\beta$ est aussi solution. Donc $ \mathrm{e}^{\lambda t}$, $ \mathrm{e}^{\overline\lambda t}$ et toutes leurs combinaisons linéaires sont solutions de $ ({\cal E})$. En particulier :

$\displaystyle \frac{1}{2}(\mathrm{e}^{\lambda t}+\mathrm{e}^{\overline\lambda t}) =
\mathrm{e}^{\alpha t}\cos(\beta t)$   et$\displaystyle \quad
\frac{1}{2\mathrm{i}}(\mathrm{e}^{\lambda t}- \mathrm{e}^{\overline\lambda t})
= \mathrm{e}^{\alpha t}\sin(\beta t)
\;.
$

Parmi les solutions réelles de $ ({\cal E})$, on trouvera donc toutes les combinaisons linéaires de ces deux fonctions.

L'ensemble des solutions réelles de $ ({\cal E})$ est un espace vectoriel de dimension $ d$ sur $ \mathbb{R}$. Exemple : Considérons l'équation suivante.

$\displaystyle ({\cal E})\qquad
y''(t)=-y(t)-y'(t)\;.
$

L'équation caractéristique associée est :

$\displaystyle (ECA)\qquad
r^2=-1-r\;.
$

Ses racines sont :

$\displaystyle j=-\frac{1}{2} + \mathrm{i}\frac{\sqrt 3}{2}$   et$\displaystyle \quad
\overline j =-\frac{1}{2} - \mathrm{i}\frac{\sqrt 3}{2}\;.
$

Toute solution réelle de l'équation différentielle s'écrit :

$\displaystyle y(t) = a\mathrm{e}^{-t/2}\cos(t\sqrt 3/2)+b\mathrm{e}^{-t/2}\sin(t\sqrt 3/2)\;.
$

Cette équation pourrait correspondre aux petites oscillations d'un pendule en milieu visqueux. Les solutions trouvées tendent vers 0, avec des oscillations de plus en plus atténuées.

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