Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.


Questions de cours :  

  1. Quand dit-on d'une application $ f$ entre deux espaces vectoriels $ E$ et $ F$ qu'elle est linéaire ?
  2. Définir l'image d'une application linéaire $ f$.
  3. Démontrer qu'une application linéaire $ f$ entre deux espaces vectoriels $ E$ et $ F$ est surjective si et seulement si Im$ (f)=F$.
  4. Définir le noyau d'une application linéaire $ f$.
  5. Démontrer qu'une application linéaire $ f$ entre deux espaces vectoriels $ E$ et $ F$ est injective si et seulement si Ker$ (f)=\{0\}$.

Exercice 1 : On considère l'espace vectoriel $ \mathbb{R}_2[X]$ des polynômes de degrés inférieurs ou égaux à $ 2$. Soit $ f$ l'application de $ \mathbb{R}_2[X]$ dans $ \mathbb{R}$ qui à $ P$ associe $ P(1)$.
  1. Montrer que $ f$ est une application linéaire.

    On note $ F=$Ker$ (f)$. Montrer que $ F$ est un sous-espace vectoriel de dimension $ 2$ de $ \mathbb{R}_2[X]$.

  2. Montrer que $ \big( X-1,X^2-1 \big)$ est une base de $ F$.
  3. Soit $ G$ le sous-espace vectoriel de $ \mathbb{R}_2[X]$, engendré par le polynôme $ (X^2+1)$. Montrer que $ G$ est un sous-espace vectoriel de dimension $ 1$ de $ \mathbb{R}_2[X]$.
  4. On note $ {\cal B}= \big( X-1,X^2-1,X^2+1 \big)$. Montrer que $ {\cal B}$ est une base de $ \mathbb{R}_2[X]$.
  5. Ecrire la matrice de l'application $ f$ dans la base $ {\cal B}$ (au départ) et $ (1)$ (à l'arrivée).
  6. Déterminer les coordonnées dans la base $ {\cal B}$ des polynômes $ 1$, $ X$ et $ X^2$.
  7. Montrer que $ F$ et $ G$ sont supplémentaires dans $ \mathbb{R}_2[X]$.

    On note $ p$ la projection sur $ F$ parallèlement à $ G$ et $ s$ la symétrie par rapport à $ F$, parallèlement à $ G$.

  8. Donner la matrice de $ p$ et la matrice de $ s$ dans la base $ {\cal B}$.
  9. Déterminer l'image par $ p$ et par $ s$ des polynômes $ 1$, $ X$ et $ X^2$. En déduire les matrices de $ p$ et $ s$ dans la base canonique de $ \mathbb{R}_2[X]$.

Exercice 2 : Dans $ \mathbb{R}^\mathbb{R}$, on considère la famille $ {\cal V}$ suivante.

$\displaystyle {\cal V}=\big( x\mapsto \sin(x) , 
x\mapsto \cos(x) , x\mapsto \sin(2x) ,
x\mapsto \cos(2x) \big)\;.
$

On note $ E$ l'espace vectoriel engendré par $ {\cal V}$, et $ D$ l'application qui à $ f$ associe sa dérivée $ f'$.
  1. Montrer que $ {\cal V}$ est une famille libre.
  2. Montrer que $ D$ est un endomorphisme de $ E$.
  3. Montrer que $ D$ est un automorphisme de $ E$.

Exercice 3 : On considère l'équation de récurrence linéaire d'ordre $ 2$ suivante.

$\displaystyle ({\cal E})\qquad\qquad u_{n+2}=u_{n+1}-u_n/2\;.
$

  1. Ecrire et résoudre l'équation caractéristique associée.
  2. Déterminer l'ensemble des solutions réelles de $ ({\cal E})$.
  3. Soit $ (u_n)$ la suite solution de $ ({\cal E})$ telle que $ u_0=0$ et $ u_1=1$. Donner une expression de $ u_n$ en fonction de $ n$.


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