Exercices

Exercice 1   Montrer que les familles suivantes sont libres dans l'espace vectoriel des $ \mathbb{R}[X]$ des polynômes à coefficients réels. Décrire l'espace vectoriel que chacune engendre.
  1. $ \big( X , (X-1) \big)$
  2. $ \big( X^2 , (X^2-1) \big)$
  3. $ \big( X^2 ,  (X-1)^2 ,  (X-2)^2 \big)$
  4. $ \big( X^3 , (X+1)^3 , (X-1)^3 \big)$

Exercice 2   Montrer que les familles suivantes sont libres dans l'espace vectoriel des suites de réels.
  1. $ \big( (1) ,  (2^n) ,  (n2^n) \big)$
  2. $ \big( (1) ,  (\cos(n\pi/4)) ,  (\cos(n\pi/2)) \big)$
  3. $ \big( (1) ,  (\sin(n\pi/4)) ,  (\sin(n\pi/2)) \big)$
  4. $ \big( (1) ,  (2^n\cos(n\pi/4)) ,  (n2^n\cos(n\pi/4)) \big)$

Exercice 3   Montrer que la famille $ (f,g,h)$ est libre dans l'espace vectoriel des fonctions de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$, dans les cas suivants.
  1. $ f : x\mapsto 1\;,\quad g :x\mapsto x\;,\quad h :x\mapsto x^2$
  2. $ f : x\mapsto 1\;,\quad g :x\mapsto \vert x\vert\;,\quad h :x\mapsto \sqrt{\vert x\vert}$
  3. $ f : x\mapsto \mathrm{e}^x\;,\quad g :x\mapsto \cos(x)\;,\quad
h :x\mapsto \sin(x)$
  4. $ f : x\mapsto \sin(x)\;,\quad g :x\mapsto \sin(2x)\;,\quad
h :x\mapsto \sin(3x)$

Exercice 4   Dans l'espace vectoriel $ \mathbb{R}_3[X]$, des polynômes de degrés au plus égal à $ 3$, on considère les familles suivantes.
$ \bullet$
$ \big( (1+X^2) )$
$ \bullet$
$ \big( (1+X^2) , (1-X^2) )$
$ \bullet$
$ \big( (X+X^2+X^3) , (X-X^2+X^3) )$
$ \bullet$
$ \big( (1+X) , (1+X^2) , (1-X^2) )$
$ \bullet$
$ \big( (1+X) , (1+X^3) , (1-X^3) )$
Pour chacune de ces familles :
  1. Démontrer que c'est une famille libre.
  2. Décrire le sous-espace $ F$ engendré par la famille.
  3. Compléter la famille en une base de $ \mathbb{R}_3[X]$.
  4. Déterminer un supplémentaire $ G$ du sous-espace engendré $ F$.
  5. Ecrire chacun des polynômes suivants comme somme d'un polynôme de $ F$ et d'un polynôme de $ G$.

    $\displaystyle 1\;;\;X\;;\;X^2\;;\;X^3\;;\; 1-X+X^2-X^3\;;\;1+2X+3X^2+4X^3
$

Exercice 5   Soient $ E,F,G$ trois sous-espaces d'un même espace vectoriel.
  1. Montrer que $ E\cap(F+G)\supset (E\cap F)+(E\cap G)$.
  2. Montrer que $ E+(F\cap G)\subset (E+F)\cap(E+G)$.
  3. Montrer que $ E\cap(F+(E\cap G)) = (E\cap F)+(E\cap G)$.
  4. Trois sous-espaces $ E$, $ F$, $ G$ de $ \mathbb{R}^3$ sont définis comme suit.
    $ \bullet$
    $ E = \big\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ,\;x=y=0 \big\}$
    $ \bullet$
    $ F = \big\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ,\;z=0 \big\}$
    $ \bullet$
    $ G = \big\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ,\;x+y+z=0 \big\}$
    Donner la dimension de $ E$, $ F$, $ G$, et de chacun des sous-espaces apparaissant dans les questions 1 à 3.
  5. Trois sous-espaces $ E$, $ F$, $ G$ de $ \mathbb{R}_2[X]$ sont définis comme suit.
    $ \bullet$
    $ E = \big\{  P\in\mathbb{R}_2[X] ,\;P''=0 \big\}$
    $ \bullet$
    $ F = \big\{ P\in\mathbb{R}_2[X] ,\;P'=0 \big\}$
    $ \bullet$
    $ G = \big\{ P\in\mathbb{R}_2[X]\in\mathbb{R}^3 ,\;P(1)=0 \big\}$
    Donner la dimension de $ E$, $ F$, $ G$, et de chacun des sous-espaces apparaissant dans les questions 1 à 3.
  6. Trois sous-espaces $ E$, $ F$, $ G$ de $ {\cal M}_{2,2}(\mathbb{R})$ sont définis comme suit.
    $ \bullet$
    $ E = \big\{ A\in{\cal M}_{2,2}(\mathbb{R}) ,\;$tr$ (A)=0 \big\}$
    $ \bullet$
    $ F = \big\{ A\in{\cal M}_{2,2}(\mathbb{R}) ,\;A\binom{1}{0}=\binom{0}{0} \big\}$
    $ \bullet$
    $ G = \big\{ A\in{\cal M}_{2,2}(\mathbb{R}) ,\;(1,0)A=(0,0) \big\}$
    Donner la dimension de $ E$, $ F$, $ G$, et de chacun des sous-espaces apparaissant dans les questions 1 à 3.

Exercice 6   Soit $ F$ l'ensemble des fonctions paires de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$ : ce sont les fonctions $ f$ telles que

$\displaystyle \forall x\in \mathbb{R}\;,\quad f(x)=f(-x)\;.
$

Soit $ G$ l'ensemble des fonctions impaires de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$ : ce sont les fonctions $ f$ telles que

$\displaystyle \forall x\in \mathbb{R}\;,\quad f(x)=-f(-x)\;.
$

  1. Montrer que $ F$ et $ G$ sont des sous-espaces vectoriels de $ E=\mathbb{R}^\mathbb{R}$.
  2. Montrer que $ F\cap G$ est réduit à la fonction nulle.
  3. Soit $ f$ une fonction de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$. On considère les deux fonctions $ \phi$ et $ \psi$, définies pour tout $ x\in \mathbb{R}$ par

    $\displaystyle \phi(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}$   et$\displaystyle \quad
\psi(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}\;.
$

    Montrer que $ \phi\in F$, $ \psi\in G$ et $ f=\phi+\psi$.
  4. En déduire que $ \mathbb{R}^\mathbb{R}= F\oplus G$.
  5. Soit $ p$ la projection sur $ F$ parallèlement à $ G$ et $ s$ la symétrie par rapport à $ F$ parallèlement à $ G$. Calculer l'image par $ p$ et $ s$ des fonctions suivantes.

    $\displaystyle x\mapsto 1+x\;,\quad x\mapsto x^2+2x^3\;,\quad x\mapsto \mathrm{e}^x\;,\quad
x\mapsto \mathrm{e}^x+ \mathrm{e}^{-2x}
$

Exercice 7   Soit $ E$ un espace vectoriel et $ f$ un endomorphisme de $ E$.
  1. Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes.

    \begin{displaymath}
\begin{array}{ll}
(1)\qquad&\mbox{Ker}(f) \cap \mbox{Im}(f) ...
...
(2)\qquad&\mbox{Ker}(f) = \mbox{Ker}(f\circ f)\;.
\end{array}\end{displaymath}

  2. Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes.

    \begin{displaymath}
\begin{array}{ll}
(3)\qquad&\mbox{Ker}(f) + \mbox{Im}(f) = E\;,\\
(4)\qquad&\mbox{Im}(f) = \mbox{Im}(f\circ f)\;.
\end{array}\end{displaymath}

  3. Montrer que si $ E$ est de dimension finie, alors les 4 propositions $ (1)$, $ (2)$, $ (3)$ et $ (4)$ sont équivalentes.
  4. Vérifier que pour l'application dérivation de $ \mathbb{R}[X]$ dans lui-même, $ (1)$ et $ (2)$ sont fausses, $ (3)$ et $ (4)$ sont vraies.

Exercice 8   Soit $ {\cal M}_{2,2}(\mathbb{R})$ l'espace vectoriel des matrices carrées à deux lignes et deux colonnes, à coefficients réels. Pour chacune des matrices $ A$ suivantes.

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr}1&1 0&0\end{array}\right)
\;,\;
\left(\b...
...1\end{array}\right)
\;,\;
\left(\begin{array}{rr}-2&1 4&-2\end{array}\right)
$

Soit $ f$ l'application de $ {\cal M}_{2,2}(\mathbb{R})$ dans lui-même, qui à une matrice carrée $ X$ associe $ f(X)=AX$.
  1. Montrer que $ f$ est un endomorphisme de $ {\cal M}_{2,2}(\mathbb{R})$.
  2. Donner une base de Im$ (f)$ et une base de Ker$ (f)$.
  3. Reprendre l'exercice pour l'application $ g$ qui à $ X$ associe $ g(X)=XA$.

Exercice 9   Soit $ {\cal M}_{2,2}(\mathbb{R})$ l'espace vectoriel des matrices carrées à deux lignes et deux colonnes, à coefficients réels. Pour chacun des vecteurs colonnes $ v$ suivants.

$\displaystyle \left(\begin{array}{r}0 0\end{array}\right)
\;,\;
\left(\begin{...
...}0 1\end{array}\right)
\;,\;
\left(\begin{array}{rr}2 -1\end{array}\right)
$

Soit $ f$ l'application de $ {\cal M}_{2,2}(\mathbb{R})$ dans $ {\cal M}_{2,1}(\mathbb{R})$, qui à une matrice carrée $ X$ associe $ f(X)=Xv$.
  1. Montrer que $ f$ est une application linéaire.
  2. Donner une base de Im$ (f)$ et une base de Ker$ (f)$.
  3. Reprendre l'exercice pour l'application $ g$ qui à $ X$ associe $ g(X)={^t\!v}X$.

Exercice 10   Pour tout entier $ d\geqslant 1$, on munit l'espace vectoriel $ \mathbb{R}_d[X]$ des polynômes de degré $ \leqslant d$ en la variable $ X$, de la base $ \big( 1, X,\ldots,X^d \big)$. On considère les applications $ f$ suivantes.
$ \bullet$
$ f : \mathbb{R}_2[X]\longrightarrow \mathbb{R}_0[X]\;,\quad
P(X)\longmapsto f(P)=P(1)$.
$ \bullet$
$ f : \mathbb{R}_2[X]\longrightarrow \mathbb{R}_2[X]\;,\quad
P(X)\longmapsto f(P)(X)=XP'(X)+P(X)$.
$ \bullet$
$ f : \mathbb{R}_2[X]\longrightarrow \mathbb{R}_2[X]\;,\quad
P(X)\longmapsto f(P)(X)=XP'(X)-P(X)$.
$ \bullet$
$ f : \mathbb{R}_2[X]\longrightarrow \mathbb{R}_2[X]\;,\quad
P(X)\longmapsto f(P)(X)=(X^2+1)P'(X)-2XP(X)$.
$ \bullet$
$ f : \mathbb{R}_3[X]\longrightarrow \mathbb{R}_1[X]\;,\quad
P(X)\longmapsto f(P)(X)=P(1)+(X-1)P'(1)$.
$ \bullet$
$ f : \mathbb{R}_3[X]\longrightarrow \mathbb{R}_3[X]\;,\quad
P(X)\longmapsto f(P)(X)=P(X+1)+P(X-1)-2P(X)$.
$ \bullet$
$ f : \mathbb{R}_3[X]\longrightarrow \mathbb{R}_3[X]\;,\quad
P(X)\longmapsto
f(P)(X) = 3(X+1)P(X)-(X+1)^2P'(X)$.
Pour chacune de ces applications :
  1. Montrer que $ f$ est une application linéaire.
  2. Calculer l'image par $ f$ du polynôme $ (X+2)^2$.
  3. Donner la matrice de $ f$, relative aux bases canoniques.
  4. Donner une base de Im$ (f)$ et une base de Ker$ (f)$.
  5. Calculer les coordonnées du polynôme $ (X+2)^2$ dans la base de l'espace de départ, effectuer le produit du vecteur obtenu par la matrice de $ f$, et vérifier le calcul de la question 2.
  6. Reprendre les questions 3 et 5, en remplaçant la base canonique de $ \mathbb{R}_d[X]$ par la base :

    $\displaystyle \big( 1 , (1+X) , (1+X+X^2) ,\ldots, (1+X+\cdots+X^d) \big)
$

Exercice 11   On considère les équations de récurrence linéaires suivantes.

\begin{displaymath}
\begin{array}{cclcccl}
u_{n+2} &=& u_{n+1}+2u_n&\qquad&
u_{n...
...{n+1} - 4 u_n&\qquad&
u_{n+2} &=& 4 u_{n+1} + 4 u_n
\end{array}\end{displaymath}

Pour chacune de ces équations,
  1. Déterminer l'ensemble des suites de réels qui la vérifient.
  2. Déterminer la suite $ (u_n)$ vérifiant l'équation et $ u_0=1$, $ u_1=-1$.
  3. Déterminer la suite $ (u_n)$ vérifiant l'équation et $ u_0=0$, $ u_1=2$.


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