Solution générale et problème de Cauchy

Avant d'aller plus loin, il convient de préciser ce que nous entendons par résolution d'une équation différentielle. Cela recouvre en fait deux types de problèmes. Le premier est la détermination de l'ensemble des solutions. La définition suivante précise la notion de solution pour les équations différentielles d'ordre $1$. Elle s'étend de façon évidente à des équations différentielles plus générales.

Définition 1   Soit $g$ une fonction de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$, et $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$. On appelle solution sur $I$ de l'équation différentielle $y'=g(t,y)$, toute application $y : I\longrightarrow \mathbb{R}$, dérivable sur $I$, telle que :

$$\forall t\in I\;,\quad y'(t)=g(t,y(t)).$$

Résoudre une équation différentielle, c'est déterminer l'ensemble des solutions de cette équation sur $I$, pour tout intervalle $I$ inclus dans $\mathbb{R}$.

Vous connaissez probablement déjà l'équation $y'=ay+b$, où $a$ et $b$ sont deux réels fixés. Vous savez donc que pour tout intervalle $I\subset \mathbb{R}$ et pour toute constante $C\in\mathbb{R}$, l'application suivante est solution de cette équation sur $I$ (si vous ne le savez pas, vérifiez-le en calculant $y'$).

$$\begin{array}{rcl} &y&\\ I&\longrightarrow&\mathbb{R}\\ t&... ...t)=-\displaystyle{\frac{b}{a}} +C\mathrm{e}^{at}\;. \end{array}$$

Dans cet exemple, il n'y a aucune différence d'expression entre les solutions définies sur un intervalle $I$ et l'ensemble des solutions définies sur $\mathbb{R}$. De façon abrégée, on dira que $y(t)=-b/a +C\mathrm{e}^{at}$ est la solution générale de l'équation $y'=ay+b$, manière de dire que l'ensemble des solutions sur $\mathbb{R}$ est :

$$\left\{ t\mapsto-\frac{b}{a}+C\mathrm{e}^{at} ,\;C\in\mathbb{R} \right\}.$$

Mais il peut très bien se faire que les solutions ne soient pas définies sur $\mathbb{R}$ tout entier. C'est le cas bien sûr si $g(t,y)$ n'est pas défini pour certaines valeurs de $t$. La définition 1 impose que $g(t,y(t))$ existe pour tout $t$ dans l'intervalle $I$ sur lequel $y(t)$ est solution. Pour en donner des exemples, il suffit de faire appel aux calculs de primitives, qui sont des équations différentielles particulières. Considérons par exemple $y'=1/t$. Il existe des solutions définies sur $\mathbb{R}^{+*}$, d'autres sur $\mathbb{R}^{-*}$ :

$$\begin{array}{ccl} &y&\\ ]-\infty,0[&\longrightarrow&\mathb... ...rrow&\mathbb{R}\\ t&\longmapsto&y(t)=\ln(t)+C_2\;. \end{array}$$

Il se peut aussi que chaque solution soit définie sur un intervalle qui lui est propre. Considérons par exemple $y'=-y^2$. La seule solution définie sur $\mathbb{R}$ est la fonction nulle. Les autres sont toutes de la forme suivante.

$$\begin{array}{ccl} &y&\\ ]-\infty,C_1[&\longrightarrow&\mat... ...&\longmapsto&y(t)=\displaystyle{\frac{1}{t-C_2}}\;. \end{array}$$

Malgré les problèmes de définition, il est raisonnable de garder en tête l'idée intuitive que la solution générale d'une équation du premier ordre dépend d'une constante arbitraire (le réel noté $C$, $C_1$ ou $C_2$ dans les exemples précédents). On peut donc s'attendre à ce qu'en imposant une condition supplémentaire, on arrive à déterminer une solution unique. En général, cette condition est une valeur fixée de la fonction : on impose à la solution de passer par un point donné. Par exemple, vous pouvez vérifier que pour tout couple $(t_0,y_0)\in\mathbb{R}^2$, il existe une solution unique de l'équation $y'=ay+b$ telle que $y(t_0)=y_0$. Ce n'est pas toujours le cas.

Dans les applications, la variable $t$ correspond souvent au temps. Un type de problème fréquent est le calcul d'une solution partant d'une valeur donnée en $t=0$ : cela s'appelle résoudre un problème de Cauchy.

Définition 2   Soit $g$ une fonction de $\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, et $y_0$ un réel. Résoudre le problème de Cauchy :

$$\left\{ \begin{array}{lcl} y' &=& g(t,y) y(0) &=& y_0\;, \end{array} \right.$$ (2)

c'est déterminer l'ensemble des réels strictement positifs $T$, et l'ensemble des fonctions $y : [0,T]\rightarrow \mathbb{R}$, telles que $y(0)=y_0$ et :

$$\forall t\in [0,T[\;,\quad y'(t)=g(t,y(t))\;.$$

Il existe des théorèmes qui, sous des conditions assez générales portant sur $g$, assurent l'existence et l'unicité de la solution d'un problème de Cauchy. Il peut aussi se faire qu'il n'y ait aucune solution, ou bien qu'il y en ait une infinité. Considérons par exemple l'équation $y'=2\sqrt{y}$. La fonction nulle est solution sur $\mathbb{R}$, et d'autres solutions sont données par :

$$\begin{array}{ccl} &y&\\ ]C,+\infty[&\longrightarrow&\mathbb{R}\\ t&\longmapsto&y(t)=(t-C)^2\;. \end{array}$$

Il se trouve que pour tout $C\in\mathbb{R}$, la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

$$\forall t\in\mathbb{R}\;,\quad y(t)=\left\{ \begin{array}{lc... ...lant C\\ (t-C)^2&\mbox{si}&t\geqslant C\;, \end{array}\right.$$

est solution sur $\mathbb{R}$ tout entier. Donc le problème de Cauchy

$$\left\{ \begin{array}{lcl} y' &=& 2\sqrt{y}\\ y(0) &=& 0\;, \end{array}\right.$$

a une infinité de solutions.