Exercices

Exercice 1   Résoudre les équations homogènes du premier ordre suivantes. Préciser le domaine de validité des solutions.

$$y'(t) = 2y(t) \;;\quad y'(t) = -y(t) \;;\quad y'(t) = ty(t)\;;$$

$$t^2y'(t) = -y(t) \;;\quad y'(t) = \frac{y(t)}{1+t^2} \;;\quad y'(t) = \frac{y(t)}{1-t^2}\;;$$

$$y'(t) = y(t)\frac{2t+3}{(t-2)(t+5)} \;;\quad y'(t) = \frac{y(t)}{1+\mathrm{e}^t} \;;\quad y'(t) = y(t)\sin(t)\;.$$

Exercice 2   Résoudre les équations différentielles suivantes. Préciser le domaine de validité des solutions.

$$y'(t)y(t)=-t \;;\quad y'(t)=\mathrm{e}^{t-y(t)} \;;\quad (1+t^2)y'(t)=1+y^2(t)\;;$$

$$y'(t) = \cos(t)\mathrm{e}^{-y(t)} \;;\quad y'(t) = \frac{t}{\cos(y(t))} \;;\quad y'(t) = \frac{1+y^2(t)}{t^2}\;;$$

$$y'(t)= \frac{t-1}{1+y(t)} \;;\quad y'(t)= \mathrm{e}^t\mathrm{e}^{-y(t)} \;;\quad y'(t)= \frac{(t-1)(y^2(t)-1)}{y(t)}\;;$$

$$y'(t)=\sin(t)(y^2(t)+1) \;;\quad y'(t)=\frac{\pi}{2}\cos(t)\sqrt{1-y^2(t)}\;.$$

Exercice 3   Résoudre les équations différentielles suivantes, par la méthode de variation de la constante. Préciser le domaine de validité des solutions.

$$y'(t)=-2ty(t)+t \;;\quad y'(t) = -y(t)\tan(t)+\sin(t)\cos(t) \;;\quad y'(t)=-\frac{y(t)}{t^2-1}+t^2\;;$$

$$y'(t)=\frac{y(t)}{t}-1 \;;\quad y'(t) = -\frac{y(t)}{t^2}-\frac{1}{t^3} \;;\quad y'(t)=-\frac{y(t)}{t^2}+\mathrm{e}^{1/t}\;;$$

$$y'(t)=2ty(t)-(2t-1)\mathrm{e}^t \;;\quad y'(t)=\frac{2t-1}{t^2} y(t)+1 \;;\quad y'(t)=\frac{3t}{1-t^2} y(t)-\frac{t^3}{(t^2-1)^{\frac{3}{2}}}\;;$$

$$y'(t)=2\frac{\cos(t)}{\sin(t)} y(t)+\frac{1+\cos^2(t)}{\sin(t)} \;;\quad y'(t)=\cos(t) y(t)+2\cos(t)-\sin^2(t)\cos(t)\;;$$

$$y'(t)=\frac{t^2+1}{t(t^2-1)} y(t)+2 \;;\quad y'(t)=-\frac{y(t)}{\sqrt{1+t^2}}+1-\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\;;$$

$$(t^2+1)y'(t)+4ty(t)=1 \;;\quad (t^2+1)y'(t)+(t-1)^2y(t)=t^3-t^2+t+1\;;$$

$$y'(t)\cos(t)+y(t)\sin(t)=\cos(t)+t\sin(t) \;;\quad (\mathrm{e}^t-1)y'(t)+(\mathrm{e}^t+1)y(t)=3+2\mathrm{e}^t\;;$$

$$t(t-1))y'(t)-(3t-1)y(t)=-t^2(t+1) \;;\quad \cos(t)y'(t)+\sin(t)y(t)=\cos(t)+t\sin(t)\;.$$

Exercice 4   Déterminer l'ensemble des solutions réelles des équations différentielles suivantes.

$$y''(t) =y'(t) +2 y(t) \;;\quad y''(t) =-y(t) \;;\quad y''(t) =y(t)\;;$$

$$y''(t) +4y'(t) +3 y(t)=0 \;;\quad y''(t) -6y'(t)+8y(t)=0 \;;\quad y''(t) -2y'(t)+y(t)=0\;;$$

$$y''(t) -4y'(t) +4 y(t)=0 \;;\quad y''(t) -3y'(t)+2y(t)=0 \;;\quad y''(t) -4y(t)=0\;;$$

$$y''(t) +6y'(t) +9 y(t)=0 \;;\quad y''(t) +y'(t)_6y(t)=0 \;;\quad y''(t) -4y'(t)+13 y(t)=0\;;$$

$$y''(t) +2y'(t)+y(t)=0 \;;\quad y''(t) -2y'(t) + 2 y(t)=0 \;;\quad 2 y''(t) -3 y'(t) + y(t)=0\;;$$

$$y''(t) +4 y'(t) + 4 y(t)=0 \;;\quad y''(t) - 5 y'(t) + 6 y(t)=0 \;;\quad y''(t) = 5 y'(t) + 6 y(t)\;.$$

Exercice 5   Déterminer l'ensemble des solutions réelles des équations différentielles suivantes.

$$y'(t)-y(t)=t \;;\quad y'(t)-y(t)=\cos(t) \;;\quad y'(t)+2y(t)=(t-2)^2\;;$$

$$y'(t)-2y(t)=t\mathrm{e}^t \;;\quad y'(t)-2y(t)=t\mathrm{e}^{2t} \;;\quad y'(t) - 2y(t) = \cos(t)\;;$$

$$y'(t) - 2y(t) = t \;;\quad y'(t) - 2y(t) = \mathrm{e}^{-t} \;;\quad y'(t) - 2y(t) = t\mathrm{e}^{-2t}\;.$$

Exercice 6   Déterminer l'ensemble des solutions réelles des équations différentielles suivantes.

$$y''(t)-y(t)=t^3+t^2 \;;\quad y''(t) - 2y'(t) +y(t) = \mathrm{e}^{t} \;;\quad y''(t) - 2y'(t) +y(t)=\mathrm{e}^t+\cos(t)\;;$$

$$y''(t)-2y'(t)+2y(t)=t\mathrm{e}^t\cos(t) \;;\quad y''(t) - 2y'(t) +y(t) = t^2\mathrm{e}^{-t} \;;\quad y''(t) +y(t) = t\;;$$

$$2 y''(t) - 3 y'(t) + y(t) = \mathrm{e}^{t} \;;\quad y''(t) - 4 y'(t) + 4 y(t) = t \;;\quad y''(t) - 4 y'(t) + 4 y(t) = \sin(t)\;;$$

$$y''(t) - y(t) = \mathrm{e}^{-t} \;;\quad y''(t) - y(t) = t\mathrm{e}^{t} \;;\quad y''(t) +y(t) = \cos(t)\;;$$

$$y''(t)-3y'(t)+2y(t)=\mathrm{e}^t \;;\quad y''(t) -y(t) = -6\cos(t)+2t\sin(t)\;;$$

$$y''(t)+2y'(t)+4y(t)=t\mathrm{e}^t \;;\quad 4y''(t) +4y'(t)+5y(t) = \sin(t)\mathrm{e}^{-t/2}\;;$$

$$y''(t)-2y'(t)+y(t)=\mathrm{e}^t\sin(t) \;;\quad y''(t) -3y'(t)+2y(t) = (t^2+1)\mathrm{e}^{t}\;;$$

$$y''(t)+y'(t)-6y(t)=\mathrm{e}^{3t} \;;\quad y''(t) +y'(t)-6y(t)=\mathrm{e}^t(2t+1)\;;$$

$$y''(t)+3y'(t)+2y(t)=\mathrm{e}^{2t}(t+1) \;;\quad y''(t) +3y'(t)+2y(t) = \mathrm{e}^{-2t}(t+1)\;;$$

$$y''(t)-4y'(t)+4y(t)=\mathrm{e}^t+(3t-1)\mathrm{e}^{2t}+(t-2)\;.$$

Exercice 7   Résoudre les équations de Bernoulli suivantes. Préciser le domaine de validité des solutions.

$$y'(t) = -\frac{y(t)}{t} -\frac{y^2(t)}{t} \;;\quad y'(t) = \frac{y(t)\tan(t)}{3} +\frac{1}{3y^2(t)}\;;$$

$$y'(t)=-\frac{y(t)}{t}-y^2(t)\ln(t) \;;\quad y'(t)=\frac{y(t)}{t}-2y^2(t)\;;$$

$$y'(t) = \frac{2y(t)}{t^2+1}-\frac{2\sqrt{y(t)}}{t^2+1} \;;\quad y'(t) = \frac{3y(t)}{\sin(t)\cos(t)}-3(y(t))^{2/3}\sin^3(t)\;;$$

$$ty'(t)+3y(t)=t^2y^2(t) \;;\quad ty'(t)=2y(t)-2\sqrt{y(t)}\;.$$

Exercice 8   Déterminer l'ensemble des solutions réelles des équations d'Euler suivantes.

$$t^2y''(t) = 2t y'(t)-2y(t) \;;\quad t^2y''(t) =-4t y'(t)-2y(t)\;;$$

$$t^2y''(t)=-ty'(t)+y(t) \;;\quad t^2y''(t) = t y'(t)-y(t)\;;$$

$$t^2y''(t) -t y'(t)+2y(t)=t \;;\quad t^2y''(t) -2y(t)=t\;;$$

$$t^2y''(t)+ty'(t)+y(t)=t\ln(t) \;;\quad t^2y''(t)+3ty'(t)+4y(t)=t\ln(t)\;.$$

Exercice 9   On considère l'équation différentielle

$$(E)\qquad\qquad y'(t)-\frac{1}{t}y(t)-(y(t))^2=-9t^2.$$

1. Déterminer un réel $a$ tel que $y(t)=at$ soit solution de $(E)$. On note $y_0$ cette solution.
2. Montrer que le changement de fonction inconnue $y(t)=y_0(t)-1/z(t)$ transforme l'équation $(E)$ en l'équation suivante.
   $$(E')\qquad\qquad z'(t)+\left(6t+\frac{1}{t}\right)z(t)=1$$

3. Déterminer l'ensemble des solutions de $(E')$, définies sur $]0,+\infty[$.
4. En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$, définies sur $]0,+\infty[$.

Exercice 10    

1. Résoudre l'équation différentielle
   $$ty''(t)-y'(t)-t^3y(t)=0\;,$$
   en posant $t=\sqrt{u}$.
2. Résoudre l'équation différentielle
   $$y''(t)+\frac{2t}{1+t^2}y'(t)-\frac{1}{(1+t^2)^2} y(t)=0\;,$$
   en posant $t=\tan(u)$.
3. Résoudre l'équation différentielle
   $$y(t)y'(t)+y^2(t)=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-2t}\;,$$
   en posant $z(t) = y^2(t)$.
4. Résoudre l'équation différentielle
   $$y'(t)+3y(t)+y^2(t)+2=0\;,$$
   en posant $z(t)=y(t)+1$.
5. Résoudre l'équation différentielle
   $$t^2y'(t)-y^2(t)+2t^2=0\;,$$
   en posant $y(t)=tz(t)$.
6. Résoudre l'équation différentielle
   $$(3t+y(t))y'(t)=3y(t)+t\;,$$
   en posant $y(t)=tz(t)$.
7. Résoudre l'équation différentielle
   $$t^2y''(t)-2ty'(t)+(2-t^2) y(t)=0\;,$$
   en posant $y(t)=tz(t)$.