Exercices

Exercice 1   Pour chacune des fonctions $f$ suivantes.

$$f : x\mapsto \sin(x)\;,\quad f : x\mapsto \cos(x)\;,\quad f : x\mapsto \mathrm{e}^x\;,$$

$$f : x\mapsto \ln(1+x)\;,\quad f : x\mapsto \arctan(x)\;,\quad f : x\mapsto \arcsin(x)\;,$$

$$f : x\mapsto \sinh(x^2)\;,\quad f : x\mapsto \cosh(x^2)\;,\quad f : x\mapsto \ln(1+x^2)\;.$$

1. Calculer les dérivées successives de $f$ jusqu'à l'ordre $n=5$. Écrire le polynôme de Taylor $P_5$.
2. Pour $x=0.1$ puis $x=0.01$, donner une valeur numérique approchée de $f(x)-P_5(x)$.

Exercice 2   Pour chacune des fonctions $f$ suivantes.

$$f : x\mapsto \sin(x)\;,\quad f : x\mapsto \cos(x)\;,\quad f : x\mapsto \mathrm{e}^x\;,$$

$$f : x\mapsto \ln(1+x)\;,\quad f : x\mapsto \arctan(x)\;,\quad f : x\mapsto \arcsin(x)\;,$$

1. Ecrire le développement limité d'ordre $5$ en 0 de $x\mapsto f(2x)$.
2. Ecrire le développement limité d'ordre $5$ en 0 de $x\mapsto f(x/3)$.
3. Ecrire le développement limité d'ordre $10$ en 0 de $x\mapsto f(x^2)$.
4. Ecrire le développement limité d'ordre $5$ en 0 de $x\mapsto f(x+x^2)$.

Exercice 3   Démontrer les résultats suivants.

1. $${\cos(x)\ln(1+x)= x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}+o(x^4)}$$.
2. $${\frac{1}{\cos(x)}= 1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+o(x^4)}$$.
3. $${\frac{1}{1-\sin(x)}= 1+x+x^2+\frac{5x^3}{6}+\frac{2x^4}{3}+o(x^4)}$$.
4. $${\frac{1}{1-\arctan(x)}= 1+x+x^2+\frac{2x^3}{3}+\frac{x^4}{3}+o(x^4)}$$.
5. $${\frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}= x+\frac{2x^3}{3}+o(x^4)}$$.
6. $${\ln(\cos(x))= -\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{12}+o(x^4)}$$.
7. $${\ln(1+x^2\sin(x))= x^3-\frac{x^5}{6}-\frac{x^6}{2}+o(x^6)}$$.
8. $${\cos(\sin(x))= 1-\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+o(x^4)}$$.
9. $${\sin(2x-4x^2)-2\sin(x-x^2)= -2x^2-x^3+7x^4+o(x^4)}$$.
10. $${\cosh(1-\cos(x))= 1+\frac{x^4}{8}+o(x^4)}$$.
11. $${\cos(1-\cosh(x))= 1-\frac{x^4}{8}+o(x^4)}$$.
12. $${\sin(x-\arctan(x))= \frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+o(x^8)}$$.
13. $${\sin(x-\arctan(x))-x+\arctan(x)=o(x^8)}$$.
14. $${\cosh(1-\cos(x))+\cos(\cosh(x)-1)= 2-\frac{x^6}{24}+o(x^6)}$$.
15. $${(\cosh(x)-\cos(x))(\sinh(x)-\sin(x))= \frac{x^5}{3}+o(x^8)}$$.
16. $${(\cosh(x)-\cos(x))(\sinh(x)-\sin(x))^2= \frac{x^8}{9}+o(x^{11})}$$.
17. $${\arcsin(\ln(1+x^2))= x^2-\frac{x^4}{2}+o(x^4)}$$.
18. $${\frac{\arcsin(x)-x}{\sin(x)-x}= -1-\frac{x^2}{2}-\frac{7x^4}{24}+o(x^4)}$$.
19. $${\frac{\arctan(x)-x}{\tan(x)-x}= -1+x^2-\frac{2x^4}{3}+o(x^4)}$$.
20. $${\frac{1}{1+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}= \frac{1}{3}+\frac{x^2}{36}+o(x^3)}$$.
21. $${(1+x)^{1/(1+x)}= 1+x-x^2-\frac{x^3}{2}+\frac{x^4}{6}+o(x^4)}$$.
22. $${\ln\left(\frac{\ln(1+x)}{x}\right)= -\frac{x}{2}+\frac{5x^2}{24}-\frac{x^3}{8}+o(x^3)}$$.
23. $${\mathrm{e}^{\sqrt{1+x}}= \mathrm{e}+\frac{\mathrm{e}x}{2}+\frac{\mathrm{e}x^3}{48}+o(x^3)}$$.
24. $${\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^{3/x^2}= \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}-\frac{x^2}{60\sqrt{\mathrm{e}}}+o(x^3)}$$.
25. $${\ln(2+x+\sqrt{1+x})= \ln(3)+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{6}+\frac{x^3}{12}+o(x^3)}$$.
26. $${\ln(2\cos(x)+\sin(x))= \ln(2)+\frac{x}{2}-\frac{5x^2}{8}+\frac{5x^3}{24}+o(x^3)}$$.
27. $${\arctan(\mathrm{e}^x)= \frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}-\frac{x^3}{12}+o(x^4)}$$.

Exercice 4   Soit $n$ un entier. Le but de l'exercice est de retrouver, par différentes méthodes, le développement limité d'ordre $2n$ en 0 de la fonction $x\mapsto 1/(1-x^2)$.

$$\frac{1}{1-x^2}=1+x^2+x^4+\cdots+x^{2n}+o(x^{2n})\;.$$

1. Écrire le développement d'ordre $n$ de $x\mapsto 1/(1-x)$, puis composer avec $x\mapsto x^2$.
2. Écrire les développements d'ordre $2n$ de $x\mapsto 1/(1-x)$ et $1/(1+x)$, puis calculer la demi-somme.
3. Écrire les développements d'ordre $2n$ de $x\mapsto 1/(1-x)$ et $1/(1+x)$, puis calculer le produit.

Exercice 5   Soit $n$ un entier. Le but de l'exercice est de retrouver, par différentes méthodes, le développement limité d'ordre $n$ en 0 de la fonction $x\mapsto (1-x)^{-2}$.

$$\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+\cdots+(n+1)x^n+o(x^n)\;.$$

1. Écrire le développement d'ordre $n$ de $x\mapsto (1+x)^\alpha$ pour $\alpha=-2$, puis composer avec $x\mapsto -x$.
2. Écrire le développement d'ordre $n+1$ de $x\mapsto 1/(1-x)$, puis dériver.
3. Écrire le développement d'ordre $n$ de $x\mapsto 1/(1-x)$, puis élever au carré.
4. Écrire le développement d'ordre $n$ de $x\mapsto 1/(1-x)$, puis composer avec $x\mapsto 2x-x^2$.

Exercice 6   Soit $n$ un entier. Démontrer les résultats suivants (utiliser une décomposition en éléments simples si nécessaire).

1. $${ \frac{1}{2+x^2} = \frac{1}{2}-\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{8} +\cdots+\frac{(-1)^n x^{2n}}{2^{n+1}} +o(x^{2n})}\;.$$
2. $${ \frac{1}{(x-4)^2} = \frac{1}{16}+\frac{x}{32}+\frac{3x^2}{4^4} +\cdots+\frac{(n+1)x^n}{4^{n+2}} +o(x^n)}\;.$$
3. $${ \frac{x^2}{x-4} = -\frac{x^2}{4}-\frac{x^3}{16}-\cdots-\frac{x^n}{4^{n-1}}-\cdots +o(x^n)}\;.$$
4. $${ \frac{x^2}{x^2-4} = -\frac{x^2}{4}-\frac{x^4}{16}-\cdots-\frac{x^{2n}}{4^{n}}-\cdots +o(x^{2n})}\;.$$
5. $${ \frac{x^2}{x^2+4} = \frac{x^2}{4}-\frac{x^4}{16}+\cdots+\frac{(-1)^{n+1}x^{2n}}{4^{n}}+\cdots +o(x^{2n})}\;.$$
6. $${ \frac{x}{(1-2x)(1-4x)} = 1+6x+28x^2 +\cdots+2^{n}(2^{n+1}-1)x^n +o(x^n)}\;.$$
7. $${ \frac{x}{2x^2-3x+1} = x+3 x^2+\cdots+(-1+2^n) x^n+\cdots +o(x^n)}\;.$$
8. $${ \frac{x^3}{x^2+x-2} = \frac{1}{2}x^3+\cdots +\left(-\frac{1}{3}+\frac{(-2)^{2-n}}{3}\right) x^n+o(x^n)}\;.$$
9. $${ \frac{x^3+1}{x^2+x-2} = -\frac{1}{2}-\frac{x}{4}-\frac{3x^2}{8}+\cdots+ \left(-\frac{2}{3}-\frac{7}{3}(-2)^{-n-1}\right) x^n+\cdots +o(x^n)}\;.$$
10. $${ \frac{x-6x^3}{(1-x)(1-2x)(1-3x)(1-6x)} =x+12x^2+\cdots+ \frac{(2^n-1)(3^n-1)x^n}{2} +o(x^n)}$$.

Exercice 7    

1. Écrire les développements limités d'ordre $6$ en 0 des fonctions sinus et cosinus.
2. Calculer, en effectuant le produit, les développements limités d'ordre $6$ en 0 des fonctions :
   $$x\mapsto \sin^2(x)\;,\quad x\mapsto \cos^2(x)\;,\quad x\mapsto \sin(x)\cos(x)\;.$$

3. Retrouver les résultats de la question précédente, en utilisant les formules :
   $$\sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}\;,\quad \cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}\;,\quad \sin(x)\cos(x)=\frac{\sin(2x)}{2}\;.$$

Exercice 8    

1. Écrire les développements limités d'ordre $6$ en 0 des fonctions sinus et cosinus hyperboliques.
2. Calculer, en effectuant le produit, les développements limités d'ordre $6$ en 0 des fonctions :
   $$x\mapsto \sinh^2(x)\;,\quad x\mapsto \cosh^2(x)\;,\quad x\mapsto \sinh(x)\cosh(x)\;.$$

3. Retrouver les résultats de la question précédente, en utilisant les formules :
   $$\sinh^2(x)=\frac{\cosh(2x)-1}{2}\;,\quad \cosh^2(x)=\frac{\cosh(2x)+1}{2}\;,$$
   $$\sinh(x)\cosh(x)=\frac{\sinh(2x)}{2}\;.$$

Exercice 9   Le but de l'exercice est de retrouver, par différentes méthodes, le développement limité d'ordre $5$ en 0 de la fonction arc sinus.

$$\arcsin(x)=x +\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+o(x^5)\;.$$

On notera $a,b,c$ les trois réels (supposés inconnus) tels que $\arcsin(x)=ax+bx^3+cx^5+o(x^5)$.

1. Écrire le développement limité d'ordre $4$ de $x\mapsto 1/\sqrt{1-x^2}$. En déduire les valeurs de $a,b,c$.
2. Écrire les développements limités d'ordre $4$ de $\sin$ puis de $\sin\circ\arcsin$. Retrouver les valeurs de $a,b,c$.
3. Écrire les développements limités d'ordre $5$ de $\cos$, puis de $\cos\circ\arcsin$, puis de $x\mapsto \sqrt{1-x^2}$. En utilisant la formule $\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}$, retrouver les valeurs de $a,b,c$.
4. Écrire, en fonction de $a,b,c$, les développement limités d'ordre $6$ de la primitive de $\arcsin$ nulle en 0, ainsi que de la fonction $x\mapsto x\arcsin(x)-\sqrt{1-x^2}+1$. En utilisant le fait que ces deux fonctions sont égales, retrouver les valeurs de $a,b,c$.

Exercice 10   Le but de l'exercice est de retrouver, par différentes méthodes, le développement limité d'ordre $5$ en 0 de la fonction argument sinus hyperbolique.

$$\arg\!\sinh(x)=x -\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+o(x^5)\;.$$

On notera $a,b,c$ les trois réels (supposés inconnus) tels que $\arg\!\sinh(x)=ax+bx^3+cx^5+o(x^5)$.

1. On rappelle la formule $\arg\!\sinh(x)=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$. Calculer le développement limité d'ordre $5$ de la fonction $x\mapsto x+\sqrt{1+x^2}$. Calculer les valeurs de $a,b,c$.
2. On rappelle que la dérivée de $\arg\!\sinh$ est la fonction $x\mapsto (1+x^2)^{-1/2}$. Calculer le développement limité d'ordre $4$ de cette fonction. Retrouver les valeurs de $a,b,c$.
3. Écrire les développements limités d'ordre $4$ de $\sinh$ puis de $\sinh\circ\arg\!\sinh$. Retrouver les valeurs de $a,b,c$.
4. Écrire les développements limités d'ordre $5$ de $\cosh$, puis de $\cosh\circ\arg\!\sinh$. En utilisant la formule $\cosh(\arg\!\sinh(x))=\sqrt{1+x^2}$, retrouver les valeurs de $a,b,c$.
5. Écrire, en fonction de $a,b,c$, les développement limités d'ordre $6$ de la primitive de $\arg\!\sinh$ nulle en 0, ainsi que de la fonction $x\mapsto x\arg\!\sinh(x)-\sqrt{1+x^2}+1$. En utilisant le fait que ces deux fonctions sont égales, retrouver les valeurs de $a,b,c$.

Exercice 11   Soit $n$ un entier. Le but de l'exercice est de retrouver, par deux méthodes différentes, le développement limité d'ordre $n$ en 0 de la fonction argument tangente hyperbolique.

$$\arg\!\tanh(x)=x +\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots+\frac{x^n}{n} +o(x^n)\;.$$

1. On rappelle que $\arg\!\tanh(x)$ est la primitive, nulle en 0, de la fonction $x\mapsto 1/(1-x^2)$. Écrire le développement limité d'ordre $n$ de $\arg\!\tanh'$, et en déduire celui de $\arg\!\tanh$.
2. On rappelle la formule :
   $$\arg\!\tanh(x)=\frac{1}{2}\big(\ln(1+x)-\ln(1-x)\big)\;.$$
   Ecrire les développements limités d'ordre $n$ de $x\mapsto \ln(1+x)$ et $x\mapsto \ln(1-x)$, en déduire celui de $\arg\!\tanh$.

Exercice 12    

1. Écrire les développements limités d'ordre $5$ en 0, des fonctions $\sin$, $\arcsin$, $\sinh$, $\arg\!\sinh$, $\tan$, $\arctan$ $\tanh$, $\arg\!\tanh$.
2. En déduire qu'il existe $\varepsilon >0$ tel que pour tout $x\in[-\varepsilon ,\varepsilon ]$ :
   $$\begin{array}{l} \tanh(x)\leqslant \arctan(x) \leqslant \sin... ...n(x) \leqslant \tan(x) \leqslant \arg\!\tanh(x)\;. \end{array}$$

Exercice 13   Démontrer les résultats suivants.

1. $${\lim_{x\to 0} \frac{\mathrm{e}^{x^2}-\cos(x)}{x^2}=\frac{3}{2} }\;.$$
2. $${\lim_{x\to 0} \frac{x(\mathrm{e}^x+1)-2(\mathrm{e}^x-1)}{x^3}=\frac{1}{6} }\;.$$
3. $${\lim_{x\to 0} \frac{\mathrm{e}^x-\cos(x)-x}{x^2}=1 }\;.$$
4. $${\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)-\sin(x)}{x^2}=-\frac{1}{2} }\;.$$
5. $${\lim_{x\to 0} \frac{\cos(x)-\sqrt{1-x^2}}{x^4}=\frac{1}{6} }\;.$$
6. $${\lim_{x\to 0} \frac{1}{\sin^2(x)}-\frac{1}{x^2}=\frac{1}{3} }\;.$$
7. $${\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x)}{\tan^2(x)}=\frac{1}{2} }\;.$$
8. $${\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x-\sin(x))}{\sqrt{1+x^3}-1}=\frac{1}{3} }\;.$$
9. $${\lim_{x\to 0} \frac{\sin(3x)+4\sin^3(x)-3\ln(1+x)}{(\mathrm{e}^x-1)\sin(x)}=\frac{3}{2} }\;.$$

10. $${\lim_{x\to 0} \frac{x\arctan(x)-x^2}{\cos(x^2)-1}=\frac{2}{3} }\;.$$
11. $${\lim_{x\to 0} \frac{\arctan(x)-\sin(x)}{\tan(x)-\arcsin(x)}=-1 }\;.$$
12. $${\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)-\ln(1-x)}{\arctan(1+x)-\arctan(1-x)}=2 }\;.$$
13. $${\lim_{x\to 0} \frac{2\tan(x)-\sinh(2x)}{(1-\cos(3x))\arctan(x)}=-\frac{4}{27} }\;.$$
14. $${\lim_{x\to 0} \frac{(1+3x)^{1/3}-1-\sin(x)-x}{1-\cos(x)}=-2 }\;.$$
15. $${\lim_{x\to 0} \frac{\sinh(x)-2\sinh(2x)+\sinh(3x)} {\ln(1+x+2x^2)+\sqrt{1-2x}-1-x^2}=-\frac{12}{13} }\;.$$
16. $${\lim_{x\to 0} \frac{\sin(\tan(x))-\tan(\sin(x))}{\sinh(\tanh(x))-\tanh(\sinh(x))}=-1 }\;.$$
17. $${\lim_{x\to 0} \frac{\sin(\tan(x))-\tan(\sin(x))}{\arcsin(\arctan(x))- \arctan(\arcsin(x))}=1 }\;.$$

Exercice 14   Pour chacune des fonctions $f$ suivantes.

$$f : x\mapsto \sin(x)\;,\quad f : x\mapsto \cos(x)\;,\quad f : x\mapsto \mathrm{e}^x\;,$$

$$f : x\mapsto \ln(1+x)\;,\quad f : x\mapsto \arctan(x)\;,\quad f : x\mapsto \arcsin(x)\;,$$

$$f : x\mapsto 1/(1-x)\;,\quad f : x\mapsto \sqrt{1+x}\;,\quad f : x\mapsto 1/\sqrt{1+x}\;.$$

1. Écrire le développement limité d'ordre $5$ de $f$ en 0. Ce développement sera utilisé pour toutes les questions suivantes.
2. Écrire un développement asymptotique au voisinage de $0^+$ pour $f(\sqrt{x})$.
3. Écrire un développement asymptotique au voisinage de $0^+$ pour $f(x^x-1)$.
4. Écrire un développement asymptotique au voisinage de $+\infty$ pour $f(1/x)$.
5. Écrire un développement asymptotique au voisinage de $+\infty$ pour $f(\mathrm{e}^{-x})$.

Exercice 15   Démontrer les résultats suivants, qui expriment des développements asymptotiques au voisinage de $0^+$.

1. $${ \frac{1}{\ln^2(1+x)}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{12}+ o\left(x\right) }\;.$$
2. $${ \frac{1}{\sin^3(x^2)}=\frac{1}{x^6}+\frac{1}{2x^2}+ o\left(x\right) }\;.$$
3. $${ \sqrt{x+2x^3}=x^{1/2}+x^{5/2}-\frac{x^{7/2}}{2} o\left(x^{7/2}\right) }\;.$$
4. $${ \frac{\sqrt{x+x^3}}{\sqrt[3]{x+x^2}}= x^{1/6}-\frac{x^{7/6}}{3}+\frac{13x^{13/6}}{18}+ o\left(x^{13/6}\right) }\;.$$
5. $${ x^x=1+x\ln(x)+\frac{x^2\ln^2(x)}{2}+o(x^2\ln(x)) }\;.$$
6. $${ \left(\frac{1+\ln(x)}{\ln(x)}\right)^x= 1+\frac{x}{\ln(x)}-\frac{x}{2\ln^2(x)}+ o\left(\frac{x}{\ln^2(x)}\right) }\;.$$

Exercice 16   Démontrer les résultats suivants, qui expriment des développements asymptotiques au voisinage de $+\infty$.

1. $${ \frac{1}{2+x}=\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}+\frac{4}{x^3} +o\left(\frac{1}{x^3}\right) }\;.$$
2. $${ \frac{1+x^2}{(1+x)(2-x)}=-1-\frac{1}{x}-\frac{4}{x^2}-\frac{6}{x^3} +o\left(\frac{1}{x^3}\right) }\;.$$
3. $${ \frac{1}{x\sin(1/x)}=1+\frac{1}{6x^2}+\frac{7}{360x^4} +o\left(\frac{1}{x^4}\right) }\;.$$
4. $${ \frac{1}{x\arctan(1/x)}=1+\frac{1}{3x^2}-\frac{4}{45x^4} +o\left(\frac{1}{x^4}\right) }\;.$$
5. $${ \frac{\sqrt{x^3+1}}{\sqrt[3]{x^2+1}}=x^{5/6} -\frac{1}{3x^{7/6}}+\frac{1}{2x^{13/6}} +o\left(\frac{1}{x^{13/6}}\right) }\;.$$
6. $${ \frac{\sqrt{\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{-3x}}}{\sqrt[3]{\mathrm... ...6}}{3}+\frac{13\mathrm{e}^{-13x/6}}{18}+ o\left(\mathrm{e}^{-13x/6}\right) }\;.$$

Exercice 17   Démontrer les résultats suivants.

1. $${ \lim_{x\to +\infty}\sinh(\sqrt{x^2+x})-\sinh(\sqrt{x^2-x})=+\infty }\;.$$
2. $${ \lim_{x\to +\infty}\sinh(\cosh(x))-\cosh(\sinh(x))=+\infty }\;.$$
3. $${ \lim_{x\to +\infty}\big(\cosh(\sqrt{x+1})-\cosh(\sqrt{x})\big)^{1/x}=\mathrm{e} }\;.$$
4. $${ \lim_{x\to +\infty}(\mathrm{e}^x+x)^{\mathrm{e}^x-x^2}-(\mathrm{e}^x+x^2)^{\mathrm{e}^x-x}=-\infty }\;.$$
5. $${ \lim_{x\to +\infty}(x+1)^{\left((x+1)^{1/(x+1)}\right)} -x^{\left(x^{1/x}\right)}=1 }\;.$$

Exercice 18   Pour chacune des applications $f$ suivantes, déterminer les asymptotes de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$ ainsi que la position de la courbe représentative par rapport à ces asymptotes.

1. $${ f :\quad x\longmapsto x\sqrt{\frac{x-1}{3x+1}} }\;.$$
2. $${ f :\quad x\longmapsto \frac{x^3+2}{x^2-1} }\;.$$
3. $${ f :\quad x\longmapsto (x+1)\arctan(x) }\;.$$
4. $${ f :\quad x\longmapsto (x+1)\mathrm{e}^{1/(x+1)} }\;.$$
5. $${ f :\quad x\longmapsto \frac{\sqrt{1+x^2}}{x+1+\sqrt{1+x^2}} }\;.$$
6. $${ f :\quad x\longmapsto \sqrt{\frac{x-2}{x+1}}\mathrm{e}^{x/(x+1)} }\;.$$
7. $${ f :\quad x\longmapsto x^2\arctan\left(\frac{1}{1+x^2}\right) }\;.$$
8. $${ f :\quad x\longmapsto x^3\arctan\left(\frac{1}{1+x^2}\right) }\;.$$
9. $${ f :\quad x\longmapsto x\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right) }\;.$$
10. $${ f :\quad x\longmapsto \sqrt[3]{x^3-2x^2+1} -\sqrt{x^2+x+1} }\;.$$