Exercices

Exercice 1   Pour $n=3$, puis $n=4$ :

1. Écrire toutes les permutations de ${\cal S}_n$
2. Écrire la décomposition en orbites de chaque permutation
3. En déduire une décomposition en produit de cycles, puis en produit de permutations.
4. Calculer la signature.

Exercice 2   On considère les éléments suivants de ${\cal S}_{10}$.

$$\left(\begin{array}{cccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9... ...9 & 10\\ 5 & 10 & 2 & 6 & 9 & 4 & 7 & 1 & 8 & 3 \end{array}\right)\quad;\quad$$

$$\left(\begin{array}{cccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9... ...9 & 10\\ 7 & 8 & 6 & 10 & 2 & 4 & 1 & 5 & 9 & 3 \end{array}\right)\quad;\quad$$

$$\left(\begin{array}{cccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9... ...9 & 10\\ 5 & 10 & 6 & 2 & 3 & 1 & 7 & 4 & 9 & 8 \end{array}\right)\quad;\quad$$

$$\left(\begin{array}{cccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9... ...9 & 10\\ 7 & 3 & 1 & 8 & 5 & 6 & 2 & 9 & 4 & 10 \end{array}\right)\quad;\quad$$

$$\left(\begin{array}{cccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9... ... 8 & 9 & 10\\ 5 & 7 & 6 & 1 & 10 & 9 & 8 & 2 & 4 & 3 \end{array}\right)\quad.$$

Pour chacune de ces permutations :

1. Écrire sa décomposition en orbites.
2. En déduire sa signature.
3. Calculer la composée de $\tau_{1,2}\circ s$. Écrire sa décomposition en orbites et vérifier que $\varepsilon (\tau_{1,2}\circ s)=-\varepsilon (s)$.
4. Calculer la composée de $s \circ\tau_{1,2}$. Écrire sa décomposition en orbites et vérifier que $\varepsilon (s\circ \tau_{1,2})=-\varepsilon (s)$.

Exercice 3   Soit $s\in\mathcal{S}_n$ une permutation. On considère l'ensemble $\mathcal{P}$ des $\frac{n(n-1)}{2}$ paires d'éléments de $\{1,\ldots,n\}$. On définit la quantité :

$$\pi(s) = \prod_{\{i,j\}\in\mathcal{P}} \frac{s(i)-s(j)}{i-j}\;.$$

1. Montrer que $\pi(s)=\pm 1$.
2. Soient $s,s'\in\mathcal{S}_n$ deux permutations. Montrer que $\pi(s\circ s')=\pi(s)\pi(s')$.
3. Soit $\{i,j\}\in\mathcal{P}$ une paire d'éléments de $\{1,\ldots,n\}$. On dit que la paire $\{i,j\}$ est en inversion pour la permutation $s$ si $i<j$ et $s(i)>s(j)$. Montrer que $\pi(s)$ est égal à $+1$ si le nombre de paires en inversion est pair, $-1$ s'il est impair.
4. Montrer que si $s$ est une transposition, alors $\pi(s)=-1$.
5. Déduire de ce qui précède que l'application $s\longmapsto\pi(s)$ coïncide avec la signature.

Exercice 4   Soit $s\in\mathcal{S}_n$ une permutation. Soit $\mathcal{B}=(v_1,\ldots,v_n)$ une base de $\mathbb{R}^n$. On définit l'endomorphisme $f_s$ de $\mathbb{R}^n$, par :

$$\forall i=1,\ldots,n\;,\quad f_s(v_j)=v_{s(i)}\;.$$

Montrer que le déterminant de $f_s$ est égal à la signature de $s$.

Exercice 5   Calculer chacun des déterminants suivants :

1. par la règle de Sarrus,
2. en développant selon la première colonne,
3. en développant selon la seconde ligne,
4. par la méthode du pivot de Gauss.
5. Quelle méthode est la plus rapide ?

$$\left\vert\begin{array}{rrr} 0&0&  1\\ -1&0&0\\ 0&-1&2 \end{arr... ... \left\vert\begin{array}{rrr} 0&2&-1\\ 0&0&2\\ 1&-1&2 \end{array}\right\vert$$

$$\left\vert\begin{array}{rrr} -1&-1&0\\ -1&0&0\\ 1&-1&-2 \end{ar... ...left\vert\begin{array}{rrr} 1&-2&-1\\ 1&0&0\\ -1&-1&0 \end{array}\right\vert$$

Exercice 6   Calculer chacun des déterminants suivants :

1. en développant selon la première colonne,
2. en développant selon la seconde ligne,
3. par la méthode du pivot de Gauss.
4. Quelle méthode est la plus rapide ?

$$\left\vert\begin{array}{rrrr} -1&1&-2&-1\\ -2&0&0&0\\ 1&-1&1&2\... ...y}{rrrr} 2&0&-1&2\\ 2&-1&1&-1\\ 2&1&0&-2\\ -1&1&-2&2 \end{array}\right\vert$$

$$\left\vert\begin{array}{rrrr} -2&-1&0&2\\ 2&0&-1&-1\\ 1&1&0&-1\... ...}{rrrr} -2&-1&0&2\\ -1&1&-1&0\\ 2&2&2&-1\\ -1&2&2&-2 \end{array}\right\vert$$

Exercice 7   Factoriser les déterminants suivants.

$$\left\vert\begin{array}{ccc} 1&a&a^2\\ 1&b&b^2\\ 1&c&c^2 \end{a... ...left\vert\begin{array}{ccc} a&b&c\\ b&c&a\\ c&a&b \end{array}\right\vert \;.$$

Exercice 8   Factoriser les déterminants suivants.

$$\left\vert\begin{array}{cccc} 1&0&1&0\\ 0&a&b&1\\ 1&b&a&0\\ 0&... ...ray}{cccc} a&a&a&a\\ a&b&b&b\\ a&b&c&c\\ a&b&c&d \end{array}\right\vert \;;$$

$$\left\vert\begin{array}{cccc} 1&a&b&ab\\ 1&c&b&cb\\ 1&a&d&ad ... ...ray}{cccc} 1&1&1&1\\ 1&1&a&b\\ 1&a&1&c\\ 1&b&c&0 \end{array}\right\vert \;.$$

Exercice 9   Soit $n\geqslant 2$ un entier, et $A$ une matrice carrée de taille $n\times n$ dont tous les coefficients valent $\pm 1$. Montrer que le déterminant de $A$ est un entier divisible par $2^{n-1}$. Indication : faire apparaître des zéros dans la première colonne.

Exercice 10   Soit $n\geqslant 2$ un entier et $a$ un réel. Pour chacun des déterminants d'ordre $n$ suivants :

1. Calculer $D_2$, $D_3$.
2. Établir une formule de récurrence reliant $D_n$ et $D_{n-1}$
3. En déduire l'expression de $D_n$ en fonction de $n$ et $a$.

$$D_n=\left\vert\begin{array}{cccccc} 1&a&a^2&\ldots&a^{n-2}&a^{n-1... ...ddots&\ldots&a&1&a\\ a^{n-1}&a^{n-2}&\ldots&\ldots&a&1 \end{array}\right\vert$$

$$D_n=\left\vert\begin{array}{cccccc} 1&1&\ldots&\ldots&1&1\\ -1&a... ...\\ \vdots&&\ddots&\ddots&a&0\\ 0&\ldots&\ldots&0&-1&a \end{array}\right\vert$$

$$D_n= \left\vert \begin{array}{cccccc} a&0&\ldots&\ldots&0&a^... ...s&\ddots&a&a^2\\ 0&\ldots&\ldots&0&1&a \end{array}\right\vert$$

Exercice 11    

1. Soient $a$, $b$, $c$, $d$ quatre fonctions dérivables de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. On pose :
   $$f(x)=\left\vert\begin{array}{cc} a(x)&b(x) c(x)&d(x) \end{array}\right\vert\;.$$
   Montrer que $f$ est dérivable et que
   $$f'(x) = \left\vert\begin{array}{cc} a'(x)&b(x) c'(x)&d(x) \end{... ... \left\vert\begin{array}{cc} a(x)&b'(x) c(x)&d'(x) \end{array}\right\vert\;.$$

2. Soit $n\geqslant 2$ un entier. Soient $a_1(x),\ldots a_n(x)$ $n$ fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}^n$, dont chaque coordonnée est une fonction dérivable de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Soit $f$ la fonction qui à $x$ associe $\mathrm{det}(a_1(x),\ldots,a_n(x)$. Montrer que $f$ est dérivable et que
   $$f'(x) = \sum_{i=1}^n \mathrm{det}(a_1,\ldots,a_{i-1},a'_i(x),a_{i+1}(x),\ldots,a_n(x)) \;.$$

3. Soient $x, \alpha, \beta$ trois réels. On considère le déterminant suivant.
   $$\left\vert\begin{array}{ccc} 1&\cos(x)&\sin(x)\\ 1&\cos(x+\alpha)&\sin(x+\alpha)\\ 1&\cos(x+\beta)&\sin(x+\beta)\\ \end{array}\right\vert\;.$$
   Montrer que c'est une fonction constante de $x$ et calculer cette constante.

Exercice 12   Soit $n\geqslant 2$ un entier. Soient $A$, $B$, $C$, $D$ quatre matrices de taille $n\times n$. On note $\Delta$ le déterminant d'ordre $2n$ suivant :

$$\Delta = \left\vert\begin{array}{cc}A&B C&D \end{array}\right\vert\;.$$

1. Montrer que
   $$\Delta = \left\vert\begin{array}{cc}D&C B&A \end{array}\right\vert\;.$$

2. Dans le cas particulier où $A$ est la matrice nulle. Montrer que
   $$\Delta= \left\vert\begin{array}{cc}0&B C&D \end{array}\right\vert = (-1)^n\mathrm{det}(B)\mathrm{det}(C)\;.$$

3. Dans le cas particulier $C=B$ et $D=A$. Montrer que
   $$\Delta= \left\vert\begin{array}{cc}A&B B&A \end{array}\right\ve... ...c}A+B&B 0&A-B \end{array}\right\vert = \mathrm{det}(A+B)\mathrm{det}(A-B)\;.$$

4. On suppose que $C$ et $D$ commutent ($CD=DC$) et que $D$ est inversible. Montrer que $\Delta=\mathrm{det}(AD-BC)$. Indication : multiplier à droite par la matrice $${\left(\begin{array}{rr}  D&0 -C&I \end{array}\right)}$$.
5. On suppose toujours que $C$ et $D$ commutent, mais on ne suppose plus que $D$ est inversible. Pour tout $x$ réel, on note $D_x$ la matrice $xI+D$, et $\Delta_x$ le déterminant obtenu en remplaçant $D$ par $D_x$ dans $\Delta$. Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\Delta_x = \mathrm{det}(AD_x-BC)$. En déduire que $\Delta=\mathrm{det}(AD-BC)$.
6. Montrer que si $A$ et $C$ commutent, alors $\Delta=\mathrm{det}(AD-CB)$.
7. Montrer que si $B$ et $D$ commutent, alors $\Delta=\mathrm{det}(DA-BC)$.
8. Montrer que si $A$ et $B$ commutent, alors $\Delta=\mathrm{det}(DA-CB)$.
9. À quelle condition la matrice $${\left(\begin{array}{rr}A&A -A&A \end{array}\right)}$$ est-elle inversible ? Si c'est le cas, quel est son inverse ?
10. À quelle condition la matrice $${\left(\begin{array}{rr}I&B B&I \end{array}\right)}$$ est-elle inversible ? Si c'est le cas, quel est son inverse ?

Exercice 13   Soit $n\geqslant 1$ un entier. Soient $A$ et $B$ deux matrices de taille $n\times n$, à coefficients réels.

1. Montrer que $\mathrm{det}(A+\mathrm{i}B)$ et $\mathrm{det}(A-\mathrm{i}B)$ sont deux nombres complexes conjugués.
2. On suppose que $A$ et $B$ commutent ($AB=BA$). Montrer que $\mathrm{det}(A^2+B^2)\geqslant 0$.
3. Vérifier que les deux matrices suivantes $A$ et $B$ suivantes ne commutent pas et calculer $\mathrm{det}(A^2+B^2)$.
   $$A=\left(\begin{array}{cc}1&1 1&1\end{array}\right)\quad;\quad B=\left(\begin{array}{rr}0&  1 -1&0\end{array}\right)\;.$$

Exercice 14   Soit $n$ un entier $\geqslant 2$. Soit $A\in \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$ une matrice triangulaire. Montrer que la comatrice $\widetilde{A}$ est aussi triangulaire.

Exercice 15   Soit $n$ un entier $\geqslant 2$. Soit $A\in \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$. On note $\widetilde{A}$ la comatrice de $A$.

1. On suppose que $A$ est inversible. Quel est le déterminant de $\widetilde{A}$ ? Montrer que la comatrice de $\widetilde{A}$ est $(\mathrm{det}(A))^{n-2} A$.
2. On suppose que le rang de $A$ est inférieur ou égal à $n-2$. Montrer que $\widetilde{A}$ est la matrice nulle.
3. On suppose que le rang de $A$ est égal à $n-1$. Montrer que le rang de $\widetilde{A}$ est $1$.

Exercice 16   Soient $a,b,c,d$ quatre vecteurs de $\mathbb{R}^3$. Montrer que :

$$\mathrm{det}(d,b,c) a + \mathrm{det}(a,d,c) b + \mathrm{det}(a,b,d) c = \mathrm{det}(a,b,c) d \;.$$

Indication : considérer le système $ax+by+cz=d$.

Exercice 17   Déterminer le rang des matrices suivantes,

1. par la méthode des mineurs,
2. par l'algorithme du pivot de Gauss.

$$\left(\begin{array}{rrrr} 0&  1&  0&  1\\ -1&0&1&0\\ 0&1&0&1 ... ...array}{rrrr} 2&1&0&-1\\ 1&1&1&-1\\ 0&-1&2&1\\ -1&-1&-1&1 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{rrrr} -1&-2&0&-2\\ 2&4&1&4\\ 2&3&1&3\\ -2&... ...ray}{rrrr} 0&  1&  0&  0\\ -1&0&1&0\\ 0&0&0&2\\ -1&0&1&0 \end{array}\right)$$

Exercice 18   Déterminer en fonction du paramètre $a$ le rang des matrices suivantes,

1. par la méthode des mineurs,
2. par l'algorithme du pivot de Gauss.

$$\left(\begin{array}{cccc} 2&a&a&a\\ a&2&a&a\\ a&a&2&a\\ a&a&a&... ...cc} a+1&1&a+1&1\\ 1&a+1&a+1&a\\ a&2a&1&1\\ a+1&a&a&1 \end{array}\right) \;.$$