Opérations sur les dérivées

Les résultats de cette section sont à connaître par cur : ils vous permettent de calculer les dérivées de toutes les fonctions que vous rencontrerez, à partir d'un petit nombre de dérivées usuelles.

Théorème 1   Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$ contenant $a$. On suppose que $f$ et $g$ sont dérivables en $a$. Alors :

1. $f+g$ est dérivable en $a$, de dérivée $f'(a)+g'(a)$
2. $fg$ est dérivable en $a$, de dérivée $f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$.

Comme cas particulier du point $2$, si $\lambda$ est une constante, la dérivée de $\lambda f$ est $\lambda f'$. Démonstration : Par hypothèse,

$$\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)$$   et$$\quad \lim_{x\rightarrow a} \frac{g(x)-g(a)}{x-a}=g'(a)\;.$$

1. Écrivons le taux d'accroissement de la somme.
   $$\frac{(f+g)(x)-(f+g)(a)}{x-a} = \frac{f(x)-f(a)}{x-a}+\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\;.$$
   Comme la limite de la somme est la somme des limites, le résultat s'ensuit.
2. Écrivons le taux d'accroissement du produit.
   $$\frac{(fg)(x)-(fg)(a)}{x-a} = g(x)\frac{f(x)-f(a)}{x-a}+f(a)\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\;.$$
   Comme $g$ est dérivable, elle est continue en $a$, donc $g(x)$ tend vers $g(a)$ quand $x$ tend vers $a$. La limite d'un produit est le produit des limites, idem pour la somme. D'où le résultat.

$\square$ Le théorème 1, combiné avec la proposition 3, entraîne en particulier que toute fonction polynôme est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Théorème 2   Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ de $\mathbb{R}$, dérivable en $a$. Soit $g$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $f(a)$, dérivable en $f(a)$. Alors la composée $g\circ f$ est dérivable en $a$, de dérivée :

$$(g\circ f)'(a) = f'(a) g'(f(a))\;.$$

Démonstration : Par hypothèse, les taux d'accroissement de $f$ en $a$ et de $g$ en $f(a)$ convergent :

$$\lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)$$   et$$\quad \lim_{y\to f(a)} \frac{g(y)-g(f(a))}{x-a}=g'(f(a))\;.$$

Nous allons utiliser en plus les conséquences suivantes :

C1 :

$f$ est continue en $a$,

C2 :

si $f'(a)\neq 0$ alors $f(x)\neq f(a)$ au voisinage de $a$,

C3 :

le taux d'accroissement de $g$ est borné au voisinage de $f(a)$.

L'idée consiste à écrire le taux d'accroissement de $g\circ f$ en $a$ comme un produit de deux taux :

$$\tau(x) = \frac{g(f(x))-g(f(a))}{x-a}=\tau_1(x)\;\tau_2(x)\;,$$

avec :

$$\tau_1(x)= \frac{g(f(x))-g(f(a))}{f(x)-f(a)}$$   et$$\quad \tau_2(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\;.$$

Évidemment, $\tau_1(x)$ n'est défini que si $f(x)\neq f(a)$. Mais si $f(x)=f(a)$, alors $\tau(x)=0$.

Considérons d'abord le cas où $f'(a)=0$. Dans ce cas, $\tau_2(x)$ tend vers 0, et comme conséquence de C1 et C3, il existe un intervalle $J\subset I$ et une constante $M$ telle que :

$$\forall x\in J\setminus\{a\} ,\; \vert\tau(x)\vert\leqslant M\vert\tau_2(x)\vert\;.$$

Donc $\tau(x)$ converge vers 0.

Considérons maintenant le cas où $f'(a)\neq 0$. Comme conséquence de C2, $\tau_1(x)$ est bien défini au voisinage de $a$. La convergence de $\tau_2(x)$ vers $g'(f(a))$ découle de la dérivabilité de $g$ et de la continuité de $f$ (composition des limites).$\square$ D'après la proposition 3, appliquée à la fonction inverse $g : y\mapsto 1/y$, celle-ci est dérivable en tout point $b$ où elle est définie, et $g'(b)=-1/b^2$. On déduit du théorème 2 que si $f$ est dérivable et ne s'annule pas en $a$, alors son inverse $x\mapsto 1/f(x)$ est dérivable, de dérivée

$$\left(\frac{1}{f}\right)'(a)=-\frac{f'(a)}{f^2(a)}\;.$$

En combinant ceci avec la formule donnant la dérivée d'un produit, on obtient la dérivée d'un quotient.

$$\left(\frac{u}{v}\right)'(a) = \frac{v(a)u'(a)-u(a)v'(a)}{v^2(a)}\;.$$

Attention à ne pas confondre l'inverse $1/f$ avec la fonction réciproque $f^{-1}$ dans le cas où $f$ est bijective.

Proposition 4   Soit $f$ une bijection d'un intervalle ouvert $I$ vers un intervalle ouvert $J$. Soit $a$ un point de $I$ et $b=f(a)\in J$. Si $f$ est dérivable en $a$, de dérivée non nulle, alors la fonction réciproque $f^{-1}$ est dérivable en $b$, et :

$$(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(f^{-1}(b))}\;.$$

Démonstration : Pour tout point $y$ de $J$, il existe un unique $x\in I$ tel que $y=f(x)$. Écrivons le taux d'accroissement de $f^{-1}$ en $b$ : pour tout $y\in J\setminus\{b\}$,

$$\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(b)}{y-b} = \frac{x-a}{f(x)-f(a)}\;.$$

Puisque $f$ est continue en $a$, $f^{-1}$ est continue en $b$, et donc

$$\lim_{y\rightarrow b} \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(b)}{y-b} = \lim_{x\rightarrow a}\frac{x-a}{f(x)-f(a)}=\frac{1}{f'(a)}\;.$$

$\square$ Les théorèmes de cette section permettent de démontrer la dérivabilité de toutes les fonctions que vous aurez à examiner, à condition d'admettre la dérivabilité des «briques de base» que sont les fonctions usuelles.

Toutes les fonctions usuelles sont dérivables en tout point
d'un intervalle ouvert où elles sont définies.

Ceci concerne les fonctions polynômes, fractions rationnelles, puissances, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus, mais exclut bien sûr la valeur absolue. Voici un tableau récapitulatif des formules de dérivation à connaître par cur.

$$\begin{array}{\vert c\vert c\vert} \hline\hline \mbox{\bf fo... ...lpha-1} u'\\ u^{-1} & 1/(u'\circ u^{-1})\\ \hline \end{array}$$

Les dérivées suivantes doivent être connues.

$$\begin{array}{\vert c\vert c\vert} \hline\hline \mbox{\bf fo... ...\mathrm{e}^x&\mathrm{e}^x\\ \ln(x) & 1/x\\ \hline \end{array}$$

La connaissance des dérivées usuelles, permet, en appliquant la définition 2, de calculer des limites de taux d'accroissement. À titre d'exemple, nous donnons ci-dessous trois limites à connaître.

Théorème 3   Au voisinage de 0, $\sin(x)$, $\mathrm{e}^x-1$ et $\ln(1+x)$ sont équivalents à $x$.

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} =\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^x-1}{x} =\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{x} =1\;.$$

Démonstration : Les trois limites sont démontrées dans l'ordre.

1. La dérivée de la fonction sinus en 0 est $\cos(0)=1$. Son taux d'accroissement en 0 est :
   $$\tau_0(x)= \frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}=\frac{\sin(x)}{x}\;.$$
   D'où le résultat.
2. La dérivée de la fonction exponentielle en 0 est $\mathrm{e}^0=1$. Son taux d'accroissement en 0 est :
   $$\tau_0(x)= \frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^0}{x-0}=\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}\;.$$
   D'où le résultat.
3. La dérivée de la fonction $x\mapsto \ln(1+x)$ en 0 est $1/(1+0)=1$. Son taux d'accroissement en 0 est :
   $$\tau_0(x)= \frac{\ln(1+x)-\ln(1)}{x-0}=\frac{\ln(1+x)}{x}\;.$$
   D'où le résultat.

$\square$