Intégrales convergentes

Comme si cela ne suffisait pas, nous avons encore une difficulté à ajouter ; que se passe-t-il si l'intégrale définissant une fonction est prise sur un intervalle infini, ou bien si la fonction à intégrer tend vers l'infini en un point ? La convergence d'une intégrale s'étudie en isolant les « problèmes» s'il y en a plusieurs. Chaque type de problème peut ensuite se ramener par un changement de variable, au cas d'une intégrale sur $ [0,+\infty[$. Afin de ne pas alourdir les notations, nous nous limiterons à ce dernier cas. Soit $ f : (x,t)\longmapsto
f(x,t)$ une fonction définie sur $ I\times
[0,+\infty[$, où $ I$ est un intervalle de $ \mathbb{R}$. Supposons que l'intégrale de l'application partielle $ t\longmapsto f(x,t)$ soit convergente sur $ [0,+\infty[$. Nous souhaitons étudier la fonction qui à $ x\in I$ associe

$\displaystyle F(x)=\int_0^{+\infty} f(x,t) \mathrm{d}t\;.
$

Comme vous le savez, une intégrale convergente est définie comme une limite d'intégrales sur des intervalles bornés. Posons

$\displaystyle F_A(x)= \int_0^A f(x,t) \mathrm{d}t$   donc$\displaystyle \quad
F(x)=\lim_{A\to+\infty} F_A(x)\;.
$

Les résultats de la section précédente donnent des conditions sous laquelle $ F_A(x)$ est continue, dérivable, intégrable, pour $ A$ fixé. Pour passer à la limite quand $ A$ tend vers l'infini, on ajoute comme d'habitude une hypothèse de convergence uniforme.

Définition 7    
  1. On dit que l'intégrale $ F(x)$ converge simplement si

    $\displaystyle \underline{\forall x\in I} ,\;
\forall \varepsilon >0 ,\;\exist...
...in\mathbb{N} ,\;\forall A>A_0\;,
\quad \vert F_A(x)-F(x)\vert<\varepsilon \;.
$

  2. On dit que l'intégrale $ F(x)$ converge uniformément si

    $\displaystyle \forall \varepsilon >0 ,\;\exists A_0\in\mathbb{N} ,\;\forall A...
...,\;
\underline{\forall x\in I}\;,
\quad \vert F_A(x)-F(x)\vert<\varepsilon \;.
$

Sous l'hypothèse de convergence uniforme, les résultats sont bien ceux que vous attendez.

Théorème 18   Si la fonction $ f$ est continue sur $ I\times \mathbb{R}^+$ et si l'intégrale $ F(x)$ converge uniformément, alors la fonction $ F$ est continue sur $ I$.

Théorème 19   On suppose que la dérivée partielle

$\displaystyle (x,t)\longmapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)
$

existe et est continue sur $ I\times \mathbb{R}^+$. On suppose de plus que son intégrale

$\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \mathrm{d}t
$

converge uniformément. Alors la fonction $ F$ est continûment dérivable sur $ I$ et :

$\displaystyle F'(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \mathrm{d}t\;.
$

Théorème 20   Si la fonction $ f$ est continue sur $ I\times \mathbb{R}^+$ et si l'intégrale $ F(x)$ converge uniformément, alors la fonction $ F$ est intégrable sur tout intervalle $ [\alpha,\beta]\subset I$ et

$\displaystyle \int_\alpha^\beta F(x) \mathrm{d}x =
\int_\alpha^\beta\left(\int...
...0^{+\infty}\left(\int_\alpha^\beta
f(x,t) \mathrm{d}x\right) \mathrm{d}t\;.
$

Nous ne donnerons la démonstration que pour la continuité : les deux autres résultats ont des démonstrations très proches, que nous vous engageons vivement à écrire à titre d'exercice. Démonstration : [du théorème 18] Soit $ A_n$ une suite de réels, telle que

$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}A_n = +\infty\;.
$

Pour tout $ n\in\mathbb{N}$, posons

$\displaystyle F_{A_n}(x)= \int_0^{A_n} f(x,t) \mathrm{d}t\;.
$

Pour tout $ n$, fixé, la fonction $ F_{A_n}$ est continue, par application du théorème 15. Par définition, la suite de fonctions $ (F_{A_n})_{n\in\mathbb{N}}$ converge (simplement) vers $ F$. Il suffit de montrer que la convergence est uniforme pour en déduire la continuité de $ F(x)$, par le théorème 4. C'est précisément ce qu'affirme l'hypothèse.$ \square$ Les critères permettant de s'assurer qu'une intégrale converge uniformément ressemblent fort à ceux des séries.

Définition 8   Pour tout $ t\in \mathbb{R}^+$, notons $ f_t$ l'application partielle $ x\longmapsto f(x,t)$. Rappelons que

$\displaystyle \Vert f_t\Vert _\infty = \sup\{  \vert f(x,t)\vert ,\;x\in I \}\;.
$

On dit que l'intégrale $ F(x)$ converge normalement, si l'intégrale

$\displaystyle \int_0^{+\infty} \Vert f_t\Vert _\infty \mathrm{d}t
$

converge

Proposition 3   Si une intégrale converge normalement sur un intervalle, alors elle converge uniformément sur ce même intervalle.

Démonstration : Par définition de la norme uniforme, pour tout $ x\in I$, $ \vert f(x,t)\vert\leqslant \Vert f_t\Vert _\infty$. Par le théorème de comparaison des intégrales, $ \int_0^{+\infty}\vert f(x,t)\vert \mathrm{d}t$ converge, donc $ \int_0^{+\infty} f(x,t) \mathrm{d}t$ converge absolument.
$\displaystyle \displaystyle{\left\vert F(x) - F_A(x)\right\vert}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \displaystyle{\left\vert\int_0^{+\infty}f(x,t) \mathrm{d}t
-\int_0^Af(x,t) \mathrm{d}t\right\vert}$  
  $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle \displaystyle{\int_{A}^{+\infty} \vert f(x,t)\vert \mathrm{d}t}$  
  $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle \displaystyle{\int_{A}^{+\infty} \Vert f_t\Vert _\infty \mathrm{d}t }$  

Le dernier majorant est le reste d'une intégrale convergente, et il ne dépend pas de $ x$ : la convergence est bien uniforme. $ \square$ Il n'est pas indispensable de calculer $ \Vert f_t\Vert _\infty$ explicitement : il suffit d'en connaître un majorant fonction de $ t$, dont l'intégrale soit convergente.

Corollaire 2   Soit $ g$ une fonction définie sur $ \mathbb{R}^+$, telle que l'intégrale $ \int_0^{+\infty} g(t) \mathrm{d}t$ soit convergente et telle que 

$\displaystyle \forall t\in \mathbb{R}^+  ,\;\forall x\in I\;,\quad
\vert f(x,t)\vert\leqslant g(t)\;.
$

Alors l'intégrale $ F(x)$ est normalement, donc uniformément convergente.

L'utilisation de ce corollaire est tellement fréquente, qu'on a donné un nom à cette situation : on parle de convergence dominée.

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