Fonction définie par une intégrale

Soit $ f : (x,t)\longmapsto
f(x,t)$ une fonction de deux variables, $ x$ et $ t$. Nous considérons $ x$ comme un paramètre et $ t\in
[a,b]$ comme une variable d'intégration, permettant de définir

$\displaystyle F(x) = \int_a^b f(x,t) \mathrm{d}t\;.
$

Pour que $ F(x)$ existe, il suffit que les applications partielles $ t\mapsto f(x,t)$ soient continues sur $ I$. À ce stade du chapitre, vous ne devriez plus être surpris d'apprendre que cela ne garantit pas la continuité de la fonction $ F$. Nous donnons des conditions suffisantes pour que $ F$ soit continue, puis dérivable, puis intégrable.

Théorème 15   Soit $ I$ un intervalle ouvert de $ \mathbb{R}$, $ J=[a,b]$ un intervalle fermé borné, et $ f$ une fonction continue sur $ I\times J$, à valeurs dans $ \mathbb{R}$ ou $ \mathbb{C}$. Alors la fonction $ F$ définie pour tout $ x\in I$ par

$\displaystyle F(x) = \int_a^b f(x,t) \mathrm{d}t\;,
$

est continue sur $ I$.

Démonstration : Soit $ x_0$ un point de $ I$. Fixons $ \alpha>0$ tel que l'intervalle fermé borné $ [x_0-\alpha,x_0+\alpha]$ soit inclus dans $ I$. Le théorème de Heine 9 s'applique à la fonction $ f$ sur $ [x_0-\alpha,x_0+\alpha]\times J$ : elle est donc uniformément continue. En particulier, pour tout $ \varepsilon >0$, il existe $ \eta>0$ tel que pour tout $ t\in J$,

$\displaystyle \vert x-x_0\vert<\eta \; \Longrightarrow  \vert f(x,t)-f(x_0,t)\vert< \frac{\varepsilon }{b-a}\;.
$

Dans ce cas,
$\displaystyle \vert F(x)-F(x_0)\vert$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \displaystyle{\left\vert 
\int_a^b (f(x,t)-f(x_0,t) \mathrm{d}t \right\vert}$  
  $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle \displaystyle{
\int_a^b \vert f(x,t)-f(x_0,t)\vert \mathrm{d}t}$  
  $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle \displaystyle{ (b-a)\frac{\varepsilon }{b-a} = \varepsilon \;.}$  

$ \square$

Théorème 16   Soit $ I$ un intervalle ouvert de $ \mathbb{R}$, $ J=[a,b]$ un intervalle fermé borné, et $ f$ une fonction continue sur $ I\times J$, à valeurs dans $ \mathbb{R}$ ou $ \mathbb{C}$. On suppose que la dérivée partielle

$\displaystyle (x,t)\longmapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)
$

existe et est continue sur $ I\times J$. Alors la fonction $ F$ définie pour tout $ x\in I$ par

$\displaystyle F(x) = \int_a^b f(x,t) \mathrm{d}t\;,
$

est continûment dérivable sur $ I$ et :

$\displaystyle F'(x) = \int_a^b \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \mathrm{d}t\;.
$

Démonstration : Soit $ x_0\in I$. Nous devons démontrer que pour tout $ \varepsilon >0$, il existe $ \eta>0$ tel que, pour tout $ x\in ]x_0-\eta,x_0+\eta[$ :

$\displaystyle \left\vert \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} -
\int_a^b \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,t) \mathrm{d}t \right\vert<\varepsilon \;.
$

Écrivons :
    $\displaystyle \displaystyle{\left\vert F(x)-F(x_0)-(x-x_0)\int_a^b
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,t) \mathrm{d}t \right\vert}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \displaystyle{\left\vert \int_a^b \left(f(x,t)-f(x_0,t)-
(x-x_0)\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,t)\right) \mathrm{d}t \right\vert}$  
  $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle \displaystyle{\int_a^b \left\vert
f(x,t)-f(x_0,t) - (x-x_0)\frac{\partial f}{\partial
x}(x_0,t)\right\vert \mathrm{d}t\;.}$  

Par le théorème des accroissements finis, pour tout $ t\in
[a,b]$ il existe $ x_1$ strictement compris entre $ x_0$ et $ x$, tel que

$\displaystyle f(x,t)-f(x_0,t) = (x-x_0)\frac{\partial f}{\partial x}(x_1,t)\;.
$

Fixons $ \delta>0$ tel que $ [x_0-\delta,x_0+\delta]$ soit inclus dans $ I$ : la dérivée partielle $ \partial f/\partial x$ est uniformément continue sur $ [x_0-\delta, x_0+\delta]\times [a,b]$, d'après le théorème de Heine 9. Il existe $ \eta>0$ tel que pour tout $ y$ tel que $ \vert y-x_0\vert<\eta$ et pour tout $ t\in
[a,b]$,

$\displaystyle \left\vert\frac{\partial f}{\partial x}(y,t)-
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,t)\right\vert< \frac{\varepsilon }{b-a}\;.
$

Si $ \vert x-x_0\vert<\eta$, alors tout $ x_1$ strictement compris entre $ x_0$ et $ x$ est encore tel que $ \vert x_1-x_0\vert<\eta$, donc :

$\displaystyle \left\vert\frac{\partial f}{\partial x}(x_1,t)-
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,t)\right\vert< \frac{\varepsilon }{b-a}\;.
$

En reportant dans l'expression ci-dessus, on obtient :
$\displaystyle \displaystyle{
\left\vert f(x,t)-f(x_0,t)- (x-x_0)\frac{\partial f}{\partial
x}(x_0,t)\right\vert}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \displaystyle{
\left\vert(x-x_0)\frac{\partial f}{\partial
x}(x_1,t)- (x-x_0)\frac{\partial f}{\partial
x}(x_0,t)\right\vert}$  
  $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle \vert x-x_0\vert\frac{\varepsilon }{b-a}\;.$  

Il reste à intégrer entre $ a$ et $ b$ :

$\displaystyle \left\vert F(x)-F(x_0)-(x-x_0)\int_a^b
\frac{\partial f}{\partia...
...x_0\vert\frac{\varepsilon }{b-a} \mathrm{d}t
=\vert x-x_0\vert\varepsilon \;,
$

d'où le résultat en divisant par $ \vert x-x_0\vert$.$ \square$

Théorème 17   Soit $ I=[\alpha,\beta]$ un intervalle de $ \mathbb{R}$, $ J=[a,b]$ un intervalle fermé borné, et $ f$ une fonction continue sur $ I\times J$, à valeurs dans $ \mathbb{R}$ ou $ \mathbb{C}$. Alors la fonction $ F$ définie pour tout $ x\in I$ par

$\displaystyle F(x) = \int_a^b f(x,t) \mathrm{d}t\;,
$

est intégrable sur $ I$ et

$\displaystyle \int_\alpha^\beta F(x) \mathrm{d}x =
\int_\alpha^\beta\left(\int...
... = \int_a^b\left(\int_\alpha^\beta
f(x,t) \mathrm{d}x\right) \mathrm{d}t\;.
$

Démonstration : Par le théorème 15, la fonction $ F$ est continue sur $ ]\alpha,\beta[$, donc intégrable. Pour $ z\in ]\alpha,\beta[$, considérons la fonction :

$\displaystyle \varphi(x,t)= \int_{\alpha}^x f(y,t) \mathrm{d}y\;.
$

C'est une fonction continue sur $ I\times J$. Sa dérivée partielle par rapport à $ x$ est $ f(x,t)$, qui est elle aussi continue sur $ I\times J$. On peut donc lui appliquer le théorème précédent. La fonction qui à $ x$ associe

$\displaystyle \Phi(x) = \int_a^b \varphi(x,t) \mathrm{d}t=
\int_a^b\left(\int_{\alpha}^x f(y,t) \mathrm{d}y\right) \mathrm{d}t
$

est dérivable et sa dérivée est :

$\displaystyle \Phi'(x) = \int_a^bf(x,t) \mathrm{d}t\;.
$

On obtient donc, pour tout $ x\in ]\alpha,\beta[$ :

$\displaystyle \int_a^b\left(\int_{\alpha}^x f(y,t) \mathrm{d}y\right) \mathrm{d}t
=
\int_\alpha^x\left(\int_a^b f(y,t) \mathrm{d}t\right) \mathrm{d}y\;.
$

D'où le résultat.$ \square$

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