Suites de fonctions

Nous commençons par expliciter à nouveau l'hypothèse de convergence uniforme dans le cas d'une suite de fonctions.

Définition 1   Soit $ I$ un intervalle de $ \mathbb{R}$ et $ (f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions définies sur $ I$, à valeurs dans $ \mathbb{R}$ ou $ \mathbb{C}$. Soit $ f$ une fonction de $ I$ dans $ \mathbb{R}$ ou $ \mathbb{C}$.
  1. On dit que la suite $ (f_n)$ converge simplement vers $ f$ sur $ I$ si

    $\displaystyle \underline{\forall x\in I} ,\;
\forall \varepsilon >0 ,\;\exist...
...in\mathbb{N} ,\;\forall n>n_0\;,
\quad \vert f_n(x)-f(x)\vert<\varepsilon \;.
$

  2. On dit que la suite $ (f_n)$ converge uniformément vers $ f$ sur $ I$ si

    $\displaystyle \forall \varepsilon >0 ,\;\exists n_0\in\mathbb{N} ,\;\forall n...
...,,\;
\underline{\forall x\in I}\;,\quad \vert f_n(x)-f(x)\vert<\varepsilon \;.
$

La convergence uniforme est naturellement associée à la norme uniforme.

Définition 2   Soit $ I$ un intervalle de $ \mathbb{R}$, et $ f$ une fonction définie sur $ I$. On appelle norme uniforme de $ f$ sur $ I$, et on note $ \Vert f\Vert _\infty$ la quantité

$\displaystyle \Vert f\Vert _\infty = \sup\{  \vert f(x)\vert ,\;x\in I \}\;.
$

Rappelons que toute partie majorée de $ \mathbb{R}$ admet une borne supérieure finie, et que par convention la borne supérieure d'une partie non majorée est $ +\infty$. Vous apprendrez plus tard que les normes servent à évaluer les distances dans les espaces vectoriels, et vous saurez pourquoi celle-ci, parmi toutes les normes possibles dans les espaces vectoriels de fonctions, est affublée d'un indice $ \infty$. Pour l'instant, elle va nous permettre de rendre la convergence uniforme un peu plus lisible.

Proposition 1   Soit $ I$ un intervalle de $ \mathbb{R}$ et $ (f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions définies sur $ I$, à valeurs dans $ \mathbb{R}$ ou $ \mathbb{C}$. Soit $ f$ une fonction de $ I$ dans $ \mathbb{R}$ ou $ \mathbb{C}$. La suite $ (f_n)$ converge uniformément vers $ f$ si et seulement si

$\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \Vert f_n-f\Vert _\infty = 0
$

Démonstration : Reprenons la définition :

$\displaystyle \forall \varepsilon >0 ,\;\exists n_0\in\mathbb{N} ,\;\forall n...
...,,\;
\underline{\forall x\in I}\;,\quad \vert f_n(x)-f(x)\vert<\varepsilon \;.
$

Cette définition dit qu'à partir de $ n_0$, $ \varepsilon $ est un majorant de $ \{  \vert f_n(x)-f(x)\vert ,\;x\in I \}$, ce qui entraîne que $ \Vert f_n-f\Vert _\infty<\varepsilon $ (la borne supérieure est le plus petit des majorants). Donc $ \Vert f_n(x)-f(x)\Vert _\infty$ tend vers 0.

Réciproquement, si $ \Vert f_n(x)-f(x)\Vert _\infty$ tend vers 0, alors, pour tout $ \varepsilon >0$, il existe $ n_0$ tel que $ \sup\{ \vert f_n(x)-f(x)\Vert ,\;x\in
I \}<\varepsilon $, donc pour tout $ x\in I$, $ \vert f_n(x)-f(x)\Vert<\varepsilon $. $ \square$ La figure 1 donne un support géométrique à votre intuition. Si $ (f_n)$ converge uniformément vers $ f$, alors pour $ n$ assez grand, le graphe de $ f_n$ reste dans un «tube» de largeur constante $ \varepsilon $ autour du graphe de $ f$.

Figure 1: Convergence uniforme d'une suite de fonctions.
\includegraphics[width=7cm]{cvu}
La proposition 1 fournit un moyen de démontrer qu'une convergence est uniforme : il suffit de trouver un majorant $ \alpha_n$ de l'ensemble $ \{  \vert f_n(x)-f(x)\vert ,\;x\in I \}$, puis de montrer que $ \alpha_n$ tend vers 0. Réciproquement, pour montrer qu'une convergence n'est pas uniforme, recherchez le maximum de $ \vert f_n(x)-f(x)\vert$ : s'il ne tend pas vers 0, la convergence n'est pas uniforme. Par exemple $ f_n : x\mapsto\mathbb{I}_{]0,\frac{1}{n}]}(x)$ converge simplement vers la fonction nulle, mais la convergence n'est pas uniforme car le maximum de $ f_n$ est $ 1$. Avant d'étudier les conséquences de la convergence uniforme, insistons à nouveau sur le fait que la limite simple d'une suite de fonctions continues n'est pas nécessairement une fonction continue. Nous avons déjà donné l'exemple de $ x\mapsto x^n$ sur $ [0,1]$, en voici un autre. Pour tout $ x\in\mathbb{R}$ et pour tout $ n\in\mathbb{N}$, soit $ f_n(x)=(1+x^{2n})^{-1}$. La suite de fonctions $ (f_n)$ converge simplement.

$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}
f_n(x) = \left\{\begin{array}{lcl}
0&\mbox{si}...
...{2}&\mbox{si}& \vert x\vert=1\\
1&\mbox{si}&\vert x\vert<1
\end{array}\right.
$

Si la convergence d'une suite de fonctions continues est uniforme, la limite est bien continue.

Théorème 4   Soit $ I$ un intervalle de $ \mathbb{R}$ et $ (f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions continues sur $ I$, à valeurs dans $ \mathbb{R}$ ou $ \mathbb{C}$. Soit $ f$ une fonction de $ I$ dans $ \mathbb{R}$ ou $ \mathbb{C}$. Si la suite $ (f_n)$ converge uniformément vers $ f$, alors $ f$ est continue sur $ I$.

Démonstration : Pour tout $ a\in I$,

$\displaystyle \lim_{x\to a} f_n(x)=f_n(a)\;,
$

car $ f_n$ est continue en $ a$. Comme la convergence est uniforme, le théorème 2 donne :

$\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=
\lim_{x\to a}\left(\lim_{n\to +\infty} f_n(x)...
... +\infty}\left(\lim_{x\to a} f_n(x)\right)=
\lim_{n\to +\infty} f_n(a)=f(a)\;.
$

$ \square$ Il s'agit bien d'une condition suffisante : une limite non uniforme de fonctions continues peut très bien être continue : par exemple $ f_n : x\mapsto\mathbb{I}_{]0,\frac{1}{n}]}(x)$ converge (simplement) vers la fonction nulle. Il en est d'ailleurs de même de $ nf_n$. Or l'intégrale de $ nf_n$ sur $ [0,1]$ vaut $ 1$ : l'intégrale de la limite simple d'une suite de fonctions n'est pas forcément l'intégrale de la limite. Là encore, la convergence uniforme est la bonne hypothèse.

Théorème 5   Soit $ I=[a,b]$ un intervalle de $ \mathbb{R}$ et et $ (f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions continues sur $ I$, à valeurs dans $ \mathbb{R}$ ou $ \mathbb{C}$. Soit $ f$ une fonction de $ I$ dans $ \mathbb{R}$ ou $ \mathbb{C}$. Si la suite $ (f_n)$ converge uniformément vers $ f$, alors la suite des primitives $ (F_n)$ définies sur $ [a,b]$ par 

$\displaystyle F_n(x) = \int_a^x f_n(t) \mathrm{d}t\;,
$

converge uniformément sur $ [a,b]$ vers la fonction qui à $ x$ associe

$\displaystyle F(x) = \int_a^x f(t) \mathrm{d}t\;.
$

En particulier,

$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left( \int_a^b f_n(t) \mathrm{d}t\right)
=\int_a^b \left(\lim_{n\to+\infty} f_n(t)\right) \mathrm{d}t\;.
$

Démonstration : La fonction $ f$ est limite uniforme d'une suite de fonctions continues, elle est donc continue (théorème 4). En tant que fonction continue, elle est intégrable sur $ [a,b]$, et sa primitive $ F$ est donc bien définie. De plus pour tout $ x\in [a,b]$ :
$\displaystyle \vert F_n(x)-F(x)\vert$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \displaystyle{\left\vert \int_a^x (f_n(t)-f(t)) \mathrm{d}t \right\vert}$  
  $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle \displaystyle{\int_a^x \vert f_n(t)-f(t)\vert \mathrm{d}t}$  
  $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle (b-a)\Vert f_n-f\Vert _\infty\;.$  

Or par hypothèse, $ \Vert f_n-f\Vert _\infty$ tend vers 0 : $ \vert F_n(x)-F(x)\vert$ est majoré indépendamment de $ x$ par un terme qui tend vers 0. Donc la suite $ (F_n)$ converge vers $ F$ uniformément sur $ [a,b]$. $ \square$ La convergence uniforme sur $ I$ permet d'intégrer, mais pas de dériver, comme le montre l'exemple suivant.

$\displaystyle f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac{1}{n}}\;.
$

La suite $ (f_n)$ converge uniformément sur $ \mathbb{R}$ vers $ f : x\mapsto
\vert x\vert$. En effet, pour tout $ x\in\mathbb{R}$ :

$\displaystyle \vert f_n(x)-f(x)\vert= \left\vert\sqrt{x^2+\frac{1}{n}}-\sqrt{x^...
...leqslant \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{\sqrt{n}}}
\leqslant\frac{1}{\sqrt{n}}\;.
$

Pourtant $ f(x)$ n'est pas dérivable en 0, bien que la suite des dérivées $ f'_n(x)$ converge (simplement).

$\displaystyle \lim_{n\to +\infty} f'_n(x) = \left\{\begin{array}{rcl}
-1&\mbox{si}&x<0\\
0&\mbox{si}&x=0\\
+1&\mbox{si}&x>0
\end{array}\right.
$

Par contre, si la suite des dérivées converge uniformément, on peut intégrer, et ce qui est vrai pour les primitives doit l'être pour les dérivées, si on fait attention à bien ajuster la constante d'intégration.

Théorème 6   Soit $ I=]a,b[$ un intervalle de $ \mathbb{R}$ et $ (f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions dérivables sur $ ]a,b[$, dont les dérivées $ f'_n$ sont continues sur $ ]a,b[$. Soit $ g$ une fonction de $ I$ dans $ \mathbb{R}$ ou $ \mathbb{C}$. On suppose que
  1. la suite $ (f'_n)$ converge uniformément vers $ g$ sur $ ]a,b[$,
  2. il existe $ x_0\in ]a,b[$, tel que la suite $ (f_n(x_0))_{n\in\mathbb{N}}$ converge.
Alors la suite $ (f_n)$ converge uniformément sur $ ]a,b[$ vers une fonction $ f$, continûment dérivable sur $ ]a,b[$, telle que $ f'=g$ :

$\displaystyle \left(\lim_{n\to+\infty} f_n\right)'(x) =
\lim_{n\to+\infty} f'_n(x)\;.
$

Démonstration : Comme $ (f'_n)$ est une suite de fonctions continues qui converge uniformément, sa limite $ g$ est une fonction continue (théorème 4). Pour tout $ x\in ]a,b[$, posons

$\displaystyle f(x) = l+\int_{x_0}^x g(t) \mathrm{d}t$   où$\displaystyle \quad
l=\lim_{n\to+\infty} f_n(x_0)\;.
$

Par le théorème fondamental de l'analyse, $ f$ est continûment dérivable sur $ ]a,b[$ et sa dérivée est $ g$. Or, pour tout $ n\in\mathbb{N}$ et pour tout $ x\in ]a,b[$,

$\displaystyle f_n(x) = f_n(x_0)+\int_{x_0}^x f'_n(t) \mathrm{d}t\;.
$

Alors :
$\displaystyle \vert f_n(x)-f(x)\vert$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \displaystyle{\left\vert f_n(x_0) -l +
\int_{x_0}^x (f'_n(t) - g(t))  \mathrm{d}t \right\vert}$  
  $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle \displaystyle{\vert f_n(x_0) -l\vert +
\int_{x_0}^x \vert f'_n(t) - g(t)\vert  \mathrm{d}t}$  
  $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle \vert f_n(x_0) -l\vert +(b-a)\Vert f'_n-g\Vert _\infty\;.$  

Or par hypothèse, $ \Vert f'_n-g\Vert _\infty$ tend vers 0 : $ \vert f_n(x)-f(x)\vert$ est majoré indépendamment de $ x$ par un terme qui tend vers 0. Donc la suite $ (f_n)$ converge vers $ f$ uniformément sur $ ]a,b[$. $ \square$

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