Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.


Questions de cours : Soit $ I=]\alpha,\beta[$ un intervalle ouvert de $ \mathbb{R}$, $ J=[a,b]$ un intervalle fermé borné, et $ f$ une fonction continue sur $ I\times J$, à valeurs dans $ \mathbb{R}$. On considère la fonction $ F$ définie pour tout $ x\in I$ par

$\displaystyle F(x) = \int_a^b f(x,t) \mathrm{d}t\;.
$

  1. Donner la définition de la continuité uniforme, pour une fonction de $ I\times J$ dans $ \mathbb{R}$.
  2. Énoncer le théorème de Heine pour une fonction de deux variables.
  3. Justifier l'existence de $ F(x)$. Démontrer que $ F$ est continue sur $ I$.
  4. On suppose que la dérivée partielle $ \displaystyle{\frac{\partial
f}{\partial x}}$ est définie et continue sur $ I\times J$. Montrer que pour tout $ \varepsilon >0$, il existe $ \eta>0$ tel que $ \vert x-x_0\vert<\eta$ entraîne, pour tout $ t\in
[a,b]$,

    $\displaystyle \left\vert f(x,t)-f(x_0,t)- (x-x_0)\frac{\partial f}{\partial
x}(x_0,t)\right\vert
\leqslant \vert x-x_0 \vert\frac{\varepsilon }{b-a}\;.
$

  5. En déduire que $ F$ est dérivable en $ x_0$, de dérivée :

    $\displaystyle F'(x_0) = \int_a^b \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,t) \mathrm{d}t\;.
$


Exercice 1 : On considère la suite $ (u_n)$ de fonctions définies sur $ \mathbb{R}$ par :

$\displaystyle u_n(x) = \frac{n^2-x^2}{(n^2+x^2)^2}\;.
$

  1. Justifier la convergence de l'intégrale $ \displaystyle{\int_0^{+\infty} u_n(x) \mathrm{d}x}$.
  2. Soit $ a$ un réel positif ou nul. Vérifier que :

    $\displaystyle \int_0^a u_n(x) \mathrm{d}x = \frac{a}{n^2+a^2}\;.
$

    (On pourra intégrer par parties $ \displaystyle{\int_0^{a} \frac{x^2}{(n^2+x^2)^2} \mathrm{d}x\;.}$)

    En déduire

    $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\int_0^{+\infty} u_n(x)  \mathrm{d}x\right)\;.
$

  3. Montrer que la série $ \sum u_n$ converge normalement sur $ [0,a]$.
  4. En déduire que

    $\displaystyle \int_0^a \left(\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x)\right) \mathrm{d}x =
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a}{n^2+a^2}\;.
$

  5. Démontrer l'inégalité

    $\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{a}{x^2+a^2} \mathrm{d}x \leqslant
\sum_{n...
...frac{a}{n^2+a^2}
\leqslant \int_1^{+\infty} \frac{a}{x^2+a^2} \mathrm{d}x\;.
$

    En déduire que

    $\displaystyle \lim_{a\to+\infty} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a}{n^2+a^2} =\frac{\pi}{2}\;.
$

  6. Comparer

    $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\int_0^{+\infty} u_n(x)  \mathrm{d}x\right)$   et$\displaystyle \quad
\int_0^{+\infty} \left(\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x)\right)  \mathrm{d}x\;.
$

    Que pouvez-vous en conclure ?

Exercice 2 : On considère la fonction zéta de Riemann, définie sur $ ]1,+\infty[$ par :

$\displaystyle \zeta(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^x}\;.
$

On pose $ \displaystyle{u_n(x) =\frac{1}{n^x}}$.
  1. Démontrer que la série $ \sum u_n$ est normalement convergente sur tout intervalle $ [a,+\infty[$, pour $ a>1$. En déduire que $ \zeta$ est continue sur $ ]1,+\infty[$.
  2. Pour tout $ k\geqslant 1$, calculer $ u_n^{(k)}$. Démontrer que la série $ \sum
u_n^{(k)}$ est normalement convergente sur tout intervalle $ [a,+\infty[$, pour $ a>1$. En déduire que $ \zeta$ est de classe $ \mathcal{C}^\infty$ sur $ ]1,+\infty[$.
  3. Montrer que, pour tout $ x>1$,

    $\displaystyle \zeta (x)-1 \leqslant \int_1^{+\infty} \frac{1}{t^x} \mathrm{d}t
\leqslant \zeta(x)\;.
$

  4. En déduire :

    $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \zeta(x) = 1$   et$\displaystyle \quad
\lim_{x\to 1^+} (x-1)\zeta(x) = 1\;.
$

  5. Pour tout $ n\in\mathbb{N}^*$, on pose

    $\displaystyle v_n(x) = \frac{1}{n^x} -\int_n^{n+1} \frac{1}{t^x} \mathrm{d}t\;.
$

    Montrer que pour tout $ n\geqslant 1$ et pour tout $ x>1$,

    $\displaystyle 0\leqslant x\leqslant \frac{1}{n^x}-\frac{1}{(n+1)^x}\;.
$

  6. Montrer que la série $ \sum v_n$ est uniformément convergente sur tout intervalle
    $ [a,+\infty[$, pour $ a>0$.
  7. Pour tout $ x>0$, on pose $ \delta(x)= \displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty} v_n(x)}$. Montrer que la fonction $ \delta$ est continue sur $ ]0,+\infty[$.
  8. Montrer que :

    $\displaystyle \delta(1) = \lim_{n\to+\infty} \left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\right)
- \ln(n) \;.
$

    Cette valeur, approximativement égale à $ 0,\!577215665$ est habituellement notée $ \gamma$ : c'est la constante d'Euler.
  9. Déduire de ce qui précède que :

    $\displaystyle \lim_{x\to 1^+}\zeta(x)-\frac{1}{x-1} = \gamma\;.
$


         © UJF Grenoble, 2011                              Mentions légales