Exercices

Exercice 1   On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définies sur $[0,1]$ par :

$$f_n(x) = x^n(1-x)\;.$$

1. Démontrer que la suite $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur $[0,1]$
2. Montrer que $f$ admet un maximum en $\frac{n}{n+1}$ et calculer ce maximum.
3. La suite $(f_n)$ converge-t-elle uniformément sur $[0,1]$ ?
4. Calculer $${\lim_{n\to+\infty}\int_0^1 f_n(x) \mathrm{d}x}$$.
5. Reprendre les questions précédentes pour
   $$f_n(x) =\sqrt{n} x^n(1-x)\;,$$    puis $$f_n(x) =n x^n(1-x)\;,$$    puis $$f_n(x) =n^2 x^n(1-x)\;.$$

Exercice 2   On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définies sur $[0,1]$ par $f(0)=0$ et pour $x\in]0,1]$ :

$$f_n(x) = (1-x^n)\cos(1/x)\;.$$

1. Montrer que la suite $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur $[0,1]$.
2. Calculer $f_n(1/(2k\pi)$. En déduire la valeur de $\Vert f_n\Vert _\infty$.
3. La convergence est-elle uniforme sur $[0,1]$
4. Monter que la suite $(f_n)$ converge uniformément sur tout intervalle $[a,1]$, pour $a>0$.

Exercice 3   On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définies sur $[0,+\infty[$ par :

$$f_n(x) = \ln\left(1+\frac{x}{n}\right)\;.$$

1. Montrer que la suite $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur $[0,+\infty[$.
2. Montrer que la suite $(f_n)$ converge uniformément sur tout intervalle $[0,A]$, où $A\in\mathbb{R}^+$.
3. La suite $(f_n)$ converge-t-elle uniformément sur $[0,+\infty[$ ?
4. Reprendre les questions précédentes pour
   $$f_n(x) = \frac{1}{1+x}\ln\left(1+\frac{x}{n}\right)$$    puis $$f_n(x) = \frac{1}{1+x^2}\ln\left(1+\frac{x}{n}\right)\;.$$
   On pourra utiliser l'encadrement :
   $$\forall x\geqslant 0\;,\quad x-\frac{x^2}{2}\leqslant \ln(1+x) \leqslant x\;.$$

Exercice 4   On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définies sur $\mathbb{R}$ par :

$$f_n(x) = \frac{x}{(1+x^2)^n}\;.$$

1. Montrer que la suite $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur $\mathbb{R}$.
2. Montrer que $\vert f_n\vert$ admet un maximum en $\pm\sqrt{\frac{1}{2n-1}}$ et calculer ce maximum
3. Montrer que la suite $(f_n)$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$.
4. Calculer $${\int_0^{+\infty}f_n(x) \mathrm{d}x}$$ et vérifier que la limite est nulle.
5. On pose
   $$s_n(x) = \sum_{k=0}^n f_n(x)\;.$$
   Calculer $s_n(x)$.
6. Calculer
   $$\lim_{x\to 0+} \lim_{n\to \infty} s_n(x)$$    et $$\lim_{n\to \infty} \lim_{x\to 0+} s_n(x)\;.$$

7. Pour chacun des intervalles $I$ suivants, la suite $(s_n)$ converge-t-elle uniformément sur $I$ ?
   $$I = \mathbb{R} \quad;\quad I=]0,+\infty[ \quad;\quad I=[10^{-7},10^{+7}] \quad;\quad I=[-10^{-7},10^{-7}]\;.$$

Exercice 5   On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définies sur $\mathbb{R}^+$ par $f_0(t)=0$ et pour tout $n\geqslant 0$ :

$$f_{n+1}(t) = \sqrt{t+f_n(t)}\;.$$

1. Montrer que la suite $(f_n)$ converge simplement vers une fonction $f$ que l'on déterminera.
2. La convergence est-elle uniforme sur $\mathbb{R}^+$ ?
3. Démontrer que pour tout $t>0$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$ :
   $$\vert f_{n+1}(t)-f(t)\vert\leqslant \frac{\vert f_n(t)-f(t)\vert}{2f_{n+1}(t)}\;.$$

4. En déduire que la suite $(f_n)$ converge uniformément sur tout intervalle $[a,+\infty[$, avec $a>0$.

Exercice 6   On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définies sur $\mathbb{R}^+$ par :

$$f_n(x)=\left \{\begin{array}{lcl} (1-\frac{x}{n})^n&\mbox{si}& 0\leqslant x\leqslant n\\ 0&\mbox{si}&x>n \end{array}\right.$$

1. Montrer que la suite $(f_n)$ converge simplement sur $\mathbb{R}^+$ vers une fonction $f$ que l'on déterminera.
2. Montrer que pour tout $x\geqslant 0$, $0\leqslant f_n(x)\leqslant f(x)$.
3. En déduire que la convergence est uniforme sur tout segment $[0,a]$, pour tout $a>0$.
4. Montrer que la convergence est uniforme sur $\mathbb{R}^+$.

Exercice 7   On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définies sur $\mathbb{R}^+$ par :

$$f_n(x)=\left \{\begin{array}{lcl} (1+\frac{x}{n})^n&\mbox{si}& 0\leqslant x\leqslant n\\ 0&\mbox{si}&x>n \end{array}\right.$$

1. Montrer que la suite $(f_n)$ converge simplement sur $\mathbb{R}^+$ vers une fonction $f$ que l'on déterminera.
2. Montrer que pour tout $x\geqslant 0$, $0\leqslant f_n(x)\leqslant f(x)$.
3. En déduire que la convergence est uniforme sur tout segment $[0,a]$, pour tout $a>0$.
4. La convergence est-elle uniforme sur $\mathbb{R}^+$ ?

Exercice 8   On considère une suite de fonctions $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et un intervalle $I$. La suite $(f_n)$ converge simplement, uniformément sur $I$ ? (Justifier votre réponse).

1. $f_n(x)= x^n$, $I=[0,0.99]$
2. $f_n(x)= x^n$, $I=[0,1[$
3. $${ f_n(x) = nx^n\sin(\pi x) }$$, $I=[0,1]$
4. $${ f_n(x) = \frac{nx}{1+n\vert x\vert} }$$, $I=\mathbb{R}$
5. $${ f_n(x) = \frac{1}{1+(n+x)^2} }$$, $I=\mathbb{R}^+$
6. $${ f_n(x) = \frac{1}{1+(n+x)^2} }$$, $I=\mathbb{R}$
7. $${ f_n(x) = \frac{n\mathrm{e}^{-x}+1}{n+x} }$$, $I=\mathbb{R}^+$
8. $${ f_n(x) = \frac{x^{2n}}{1+x^{2n}} }$$, $I=\mathbb{R}$
9. $${ f_n(x) = \frac{1-x^{n}}{1+x^{2n}} }$$, $I=[0,1]$
10. $${ f_n(x) = \frac{\cos(nx)}{\sqrt{n}} }$$, $I=\mathbb{R}$
11. $${ f_n(x) = \mathrm{e}^{-nx}\sin(nx) }$$, $I=\mathbb{R}^+$
12. $${ f_n(x) = \mathrm{e}^{-nx}\sin(nx) }$$, $I=[10^{-3},+\infty[$
13. $${ f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{n\sin(x)} }$$, $I=[0,\pi[$
14. $${ f_n(x) = \left\{\begin{array}{lcl} nx&\mbox{si}& x\in [0,\frac{1}{n}[\\ \frac{n(x-1)}{1-n}&\mbox{si}& x\in [\frac{1}{n},1] \end{array}\right. }$$, $I=[0,1]$
15. $${ f_n(x) = \left\{\begin{array}{lcl} \sqrt{n}x&\mbox{si}& x\in [0... ...rac{n(x-1)}{(1-n)\sqrt{n}}&\mbox{si}& x\in [\frac{1}{n},1] \end{array}\right. }$$, $I=[0,1]$
16. $${ f_n(x) = \left\{\begin{array}{lcl} \frac{nx^2}{1+nx}&\mbox{si}& x\geqslant 0\\ \frac{nx^3}{(1+nx^3}&\mbox{si}& x<0 \end{array}\right. }$$, $I=[0,1]$

Exercice 9   Soit $(P_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions polynomiales qui converge uniformément sur $\mathbb{R}$ vers une fonction $f$.

1. Montrer qu'il existe $n_0\in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n\geqslant n_0$, $\vert P_n-P_{n_0}\vert\leqslant 1$.
2. En déduire que pour tout $n\geqslant n_0$, $P_n=P_{n_0} - P_{n_0}(0) + P_n(0)$.
3. En déduire que $f$ est une fonction polynomiale.

Exercice 10   On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f_n(x)=x\mathrm{e}^{-n x^2}$.

1. Montrer que la suite $(f_n)$ converge uniformément vers la fonction nulle sur $\mathbb{R}$.
2. Calculer $f'_n(x)$. Montrer que $(f'_n)$ converge simplement sur $\mathbb{R}$.
3. Montrer que $(f'_n)$ ne converge pas uniformément sur $\mathbb{R}$.

Exercice 11    

1. Montrer que $x\mapsto \sin(x)$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$.
2. Montrer que $x\mapsto \sin(\sqrt{x})$ est uniformément continue sur $]a,+\infty[$ pour tout $a>0$, mais pas sur $[0,+\infty[$.
3. Montrer que $x\mapsto \sin(x^2)$ est uniformément continue sur $[-a,a]$ pour tout $a>0$, mais pas sur $\mathbb{R}$.
4. Montrer que $x\mapsto \mathrm{e}^{x}$ est uniformément continue sur $]-\infty,a]$ pour tout $a>0$, mais pas sur $\mathbb{R}$.
5. Montrer que $x\mapsto \ln(x)$ est uniformément continue sur $[a,+\infty[$ pour tout $a>0$, mais pas sur $]0,+\infty[$.

Exercice 12   Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. On suppose que $f$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$.

1. Montrer qu'il existe deux constantes $a$ et $b$ telles que
   $$\forall x\in \mathbb{R}\;,\quad \vert f(x)\vert\leqslant a\vert x\vert+b\;.$$

2. On suppose que la suite $(f(n))$ tend vers $+\infty$. Montrer que
   $$\lim_{x\to infty} f(x) =+\infty\;.$$

3. Peut-on remplacer $+\infty$ par une limite finie dans la question précédente ?

Exercice 13   Soit $(a_n)$ une suite de réels. Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on pose

$$u_n(x) = a_n\mathbb{I}_{[n,n+1[}(x) = \left\{\begin{array}{ll} a_n&\mbox{si } n\leqslant x<n+1\\ 0&\mbox{sinon}\;. \end{array}\right.$$

1. Montrer que la série de fonctions $\sum u_n(x)$ converge simplement sur $\mathbb{R}$ vers une fonction que l'on déterminera.
2. Montrer que la série $\sum u_n(x)$ converge uniformément si et seulement si la suite $(a_n)$ tend vers 0.
3. Montrer que la série $\sum u_n(x)$ est normalement convergente si et seulement si la série $\sum a_n$ converge absolument.

Exercice 14   On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ de fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :

$$u_n(x) = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n^2+x^2}}\;.$$

1. Montrer que la série $\sum u_n(x)$ converge simplement sur $\mathbb{R}$. On note $${s=\sum_{n=1}^{+\infty} u_n}$$ sa somme.
2. Montrer que la série $\sum u_n$ converge normalement sur $]-\infty,a[\cup [a,+\infty[$, pour tout $a>0$. En déduire que $s$ est continue sur $\mathbb{R}^*$.
3. Montrer que la série $\sum u_n$ ne converge pas normalement sur $\mathbb{R}^*$.
4. Montrer que la série $\sum u_n$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$. En déduire que $s$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Exercice 15   On considère la suite de fonctions $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$, définies sur $\mathbb{R}^+$ par :

$$u_n(x) = \frac{(-1)^n}{n(1+nx)}\;.$$

1. Montrer que $\sum u_n$ converge uniformément sur $\mathbb{R}^+$
2. Montrer que $\sum u_n$ converge normalement sur $[a,+\infty[$, pour tout $a>0$.
3. Reprendre les questions précédentes pour $u_n(x) = \frac{(-1)^n}{n+x}$.

Exercice 16   On considère la suite de fonctions $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$, définies sur $\mathbb{R}^+$ par : $u_n(x) = \mathrm{e}^{n(x-n)}$.

1. Montrer que $\sum u_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}^+$. On note $${s=\sum_{n=0}^{+\infty} u_n}$$ sa somme.
2. Montrer que $\sum u_n$ est normalement convergente sur tout intervalle $]-\infty,a]$, pour $a\in\mathbb{R}$.
3. Soit $k$ un entier positif. Montrer que la série de fonctions $\sum u_n^{(k)}$ est normalement convergente sur tout intervalle $]-\infty,a]$, pour $a\in\mathbb{R}$.
4. En déduire que $s$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$.

Exercice 17   On considère la suite de fonctions $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définies sur $]0,+\infty[$ par :

$$u_n(x) = n\mathrm{e}^{-nx}\;.$$

1. Montrer que la série de terme général $u_n$ converge simplement sur $]0,+\infty[$.
2. Montrer qu'elle converge uniformément sur tout intervalle de la forme $[a,+\infty[$, pour $a>0$, mais pas sur $]0,+\infty[$.
3. On note $s(x)$ sa somme. Montrer que $s(x)$ est indéfiniment dérivable sur $]0,+\infty[$.
4. Calculer $${\int_a^xU(t) \mathrm{d}t}$$, où $0<a<x$. En déduire $s(x)$.

Exercice 18   On considère la suite de fonctions $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définies sur $\mathbb{R}$ par :

$$u_n(x) = \frac{\sin(n^2x)}{n^2}\;.$$

1. Montrer que la série de terme général $u_n$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$.
2. Montrer que la série de terme général $u'_n$ ne converge uniformément sur aucun intervalle de $\mathbb{R}$.

Exercice 19   On considère la suite de fonctions $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définies sur $\mathbb{R}$ par :

$$u_n(x) = (-1)^n\frac{x^2+n}{n^2}\;.$$

1. Montrer que la série de terme général $u_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}$, mais pas absolument.
2. Montrer que la série de terme général $u_n$ converge uniformément sur tout intervalle fermé borné de $\mathbb{R}$ mais qu'elle ne converge pas uniformément sur $\mathbb{R}$.

Exercice 20   Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on pose

$$F(x) = \int_0^\pi \cos(x\sin(t)) \mathrm{d}t\;.$$

1. Justifier l'existence de $F$ et montrer qu'elle est continue sur $\mathbb{R}$.
2. Montrer que $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et donner une expression de $F'(x)$, sous forme intégrale.
3. Montrer que $F'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et donner une expression de $F''(x)$, sous forme intégrale.
4. Montrer que $F$ est solution de l'équation de Bessel $xF''(x) +F'(x)+xF(x)=0$. On pourra calculer la dérivée par rapport à $t$ de $\sin(x\sin(t))$.

Exercice 21   On considère la fonction $F$, définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$F(x) = \int_0^1 \frac{\mathrm{e}^{-x(1+t^2)}}{1+t^2} \mathrm{d}t\;.$$

1. Justifier l'existence de $F$ et montrer qu'elle est continue sur $\mathbb{R}$.
2. Montrer que $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et donner une expression de $F'(x)$, sous forme intégrale.
3. Montrer que $F$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$.
4. Déterminer :
   $$\lim_{x\to+\infty} F(x)$$   et$$\quad \lim_{x\to -\infty} F(x)\;.$$

5. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = f(x^2)$. Démontrer que :
   $$g'(x) = -2\mathrm{e}^{-x^2} \int_0^x \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{d}t\;.$$

6. En déduire que :
   $$g(x) +\left(\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{d}t\right)^2\;.$$

7. Déduire de ce qui précède que :
   $$\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{d}t = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\;.$$

Exercice 22   Soit $f$ une fonction continue de $[0,+\infty[$ dans $\mathbb{R}$. On suppose qu'il existe deux réels strictement positifs $a$ et $A$ tels que :

$$\forall t\in \mathbb{R}^+\;,\quad \vert f(t)\vert\leqslant A\mathrm{e}^{-a t}\;.$$

On définit la fonction $F$ par :

$$F(x) \int_0^{+\infty} f(t) \mathrm{e}^{-x t} \mathrm{d}t\;.$$

($F$ est la transformée de Laplace de $f$).

1. Démontrer que $F$ est définie et continue sur $]-a,+\infty[$.
2. Montrer que $F$ est dérivable sur $]a,+\infty[$ et donner une expression intégrale de sa dérivée.
3. On suppose que $f$ admet une limite en $+\infty$. Montrer que
   $$\lim_{x\to 0} xF(x) = \lim_{t\to +\infty} f(t) \;.$$

4. On suppose que $f'$ vérifie la même hypothèse que $f$. On pose :
   $$G(x) = \int_0^{+\infty} f'(t) \mathrm{e}^{-xt} \mathrm{d}t\;.$$
   À l'aide d'une intégration par parties que l'on justifiera, démontrer que :
   $$G(x) = xF(x) - f(0)\;.$$