Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Pour les doubles suites suivantes, l'identité

$\displaystyle \lim_{m\to +\infty}\left(\lim_{n\to +\infty} u_{m,n}\right)=
\lim_{n\to +\infty}\left(\lim_{m\to +\infty} u_{m,n}\right)
$

est-elle vraie ou fausse et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ $ \displaystyle{u_{m,n}=2^{m-n}}$
  2. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{u_{m,n}=2^{-m-n}}$
  3. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{u_{m,n}=\frac{2^{-n}}{m}}$
  4. $ \square\;$ $ \displaystyle{u_{m,n}=m2^{-n}}$
  5. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{u_{m,n}=\frac{n}{nm+m}}$
  6. $ \square\;$ $ \displaystyle{u_{m,n}=\frac{n^2}{nm+m}}$
  7. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{u_{m,n}=\frac{nm}{nm+1}}$
  8. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{u_{m,n}=\frac{nm+1}{nm+m}}$
  9. $ \square\;$ $ \displaystyle{u_{m,n}=\frac{nm+n^2}{nm+m^2}}$

Vrai-Faux 2   Pour les doubles suites suivantes, la convergence de $ (u_{n,m})_{n\in\mathbb{N}}$ est uniforme en $ m$ : vrai ou faux et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{u_{m,n}=\frac{\sin(m)n}{n+1}}$
  2. $ \square\;$ $ \displaystyle{u_{m,n}=\frac{m\sin(m)n}{n+1}}$
  3. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{u_{m,n}=\frac{2^{-m}n}{n+1}}$
  4. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{u_{m,n}=m+\frac{1}{n+1}}$
  5. $ \square\;$ $ \displaystyle{u_{m,n}=m\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}$
  6. $ \square\;$ $ \displaystyle{u_{m,n}=\frac{mn}{n+1}}$
  7. $ \square\;$ $ \displaystyle{u_{m,n}=\frac{mn}{n+m^2}}$
  8. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{u_{m,n}=\frac{mn+m+1}{n+1}}$
  9. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{u_{m,n}=\frac{\sin(m)n}{n+1}}$

Vrai-Faux 3   Pour les suites de fonctions suivantes, l'identité

$\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\left(\lim_{x\to 0} f_n(x)\right)=
\lim_{x\to 0}\left(\lim_{n\to +\infty} f_n(x)\right)
$

est-elle vraie ou fausse et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{f_n(x)=\mathrm{e}^{-n+x}}$
  2. $ \square\;$ $ \displaystyle{f_n(x)=\mathrm{e}^{-nx}}$
  3. $ \square\;$ $ \displaystyle{f_n(x)=\mathrm{e}^{-n/x}}$
  4. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{f_n(x)=\mathrm{e}^{-n/x^2}}$
  5. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{f_n(x)=\frac{x}{n}}$
  6. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{f_n(x)=\frac{xn}{n+x}}$
  7. $ \square\;$ $ \displaystyle{f_n(x)=\frac{xn}{xn+1}}$
  8. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{f_n(x)=\frac{1+nx}{n}}$

Vrai-Faux 4   Pour les suites de fonctions suivantes, la convergence de $ (f_n(x))_{n\in\mathbb{N}}$ est uniforme en $ x$ sur $ [-1,1]$ : vrai ou faux et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{f_n(x)=\sin(x)+\frac{1}{n}}$
  2. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{f_n(x)=\sin(x)+\mathrm{e}^{x-n}}$
  3. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{f_n(x)=\sin(x)(1+\frac{x^n}{n})}$
  4. $ \square\;$ $ \displaystyle{f_n(x)=\sin(x)(1+x^n)}$
  5. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{f_n(x)=\sin^n(x)}$
  6. $ \square\;$ $ \displaystyle{f_n(x)=\sin^n(\pi x)}$
  7. $ \square\;$ $ \displaystyle{f_n(x)=\mathrm{e}^{-nx}\sin(x)}$
  8. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{f_n(x)=(x(1-x))^n}$
  9. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{f_n(x)=\left(1+\frac{x}{n}\right)^n}$

Vrai-Faux 5   Pour les suites de fonctions suivantes, la convergence de $ (f_n(x))_{n\in\mathbb{N}}$ est uniforme en $ x$ sur $ \mathbb{R}$ : vrai ou faux et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ $ \displaystyle{f_n(x)=\sin(x/n)}$
  2. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{f_n(x)=\sin(x)+\frac{1}{n}}$
  3. $ \square\;$ $ \displaystyle{f_n(x)=\sin(x)+\mathrm{e}^{x-n}}$
  4. $ \square\;$ $ \displaystyle{f_n(x)=\left(1+\frac{x}{n}\right)^n}$
  5. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{f_n(x)=\left(\frac{1}{2+x^2}\right)^n}$
  6. $ \square\;$ $ \displaystyle{f_n(x)=\left(\frac{1}{1+x^2}\right)^n}$
  7. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{f_n(x)=\frac{1}{n+x^2}}$
  8. $ \square\;$ $ \displaystyle{f_n(x)=\frac{1}{n+x}}$

Vrai-Faux 6   Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels strictement positifs. On définit la suite de fonctions $ (f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ par $ f_n(x) =1$ si $ x\in [-u_n,u_n]$, $ f(x)=0$ sinon. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$Si $ (u_n)$ tend vers $ 1$, alors $ (f_n)$ converge simplement sur $ \mathbb{R}$.
  2. $ \boxtimes\;$Si $ (u_n)$ tend vers $ +\infty$, alors $ (f_n)$ converge simplement vers une fonction continue sur $ \mathbb{R}$.
  3. $ \square\;$Si $ (f_n)$ converge simplement sur $ [-1,1]$, alors la suite $ (u_n)$ converge.
  4. $ \square\;$Si $ (u_n)$ tend vers 0, alors $ (f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle nur $ \mathbb{R}$.
  5. $ \boxtimes\;$La suite $ (f_n)$ ne converge pas uniformément sur $ \mathbb{R}$.
  6. $ \square\;$Si $ (u_n)$ tend vers $ 1$, alors $ (f_n)$ converge uniformément sur $ [-1,1]$.

Vrai-Faux 7   Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels. On définit la suite de fonctions $ (f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ par $ f_n(x) =0$ si $ x\leqslant 0$, $ f(x)=u_n$ si $ x>0$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$La suite $ (f_n)$ converge simplement sur $ \mathbb{R}$ si et seulement si la suite $ (u_n)$ converge vers une limite finie.
  2. $ \square\;$Si $ (u_n)$ tend vers $ 1$, alors $ (f_n)$ converge uniformément sur $ [0,1]$.
  3. $ \boxtimes\;$La suite $ (f_n)$ converge uniformément sur $ \mathbb{R}$ si et seulement si la suite $ (u_n)$ tend vers 0.
  4. $ \boxtimes\;$La suite $ (f_n)$ converge uniformément sur $ ]-\infty,0]$.
  5. $ \square\;$La suite $ (f_n)$ converge uniformément sur $ ]0,+\infty[$.

Vrai-Faux 8   Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels. On définit la suite de fonctions $ (f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ par $ f_n(x) =u_n$ si $ x\in [-u_n,u_n]$, $ f(x)=0$ sinon. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$La suite $ (f_n)$ converge simplement sur $ \mathbb{R}$ si et seulement si la suite $ (u_n)$ converge vers une limite finie.
  2. $ \boxtimes\;$Si $ (u_n)$ tend vers $ 2$, alors $ (f_n)$ converge uniformément sur $ [-1,1]$.
  3. $ \square\;$Si $ (u_n)$ tend vers $ 1$, alors $ (f_n)$ converge uniformément sur $ [-1,1]$.
  4. $ \square\;$Si $ (u_n)$ tend vers 0, alors $ (f_n)$ converge uniformément sur $ [-1,1]$.
  5. $ \boxtimes\;$La suite $ (f_n)$ converge uniformément sur $ \mathbb{R}$ si et seulement si la suite $ (u_n)$ tend vers 0.
  6. $ \square\;$Si $ (u_n)$ tend vers $ +\infty$, alors $ (f_n)$ converge simplement sur $ \mathbb{R}$.

Vrai-Faux 9   Soit $ (f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions continues de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ Si pour tout $ x\in\mathbb{R}$, $ f_n(x)$ tend vers $ f(x)$ alors $ f$ est continue en 0.
  2. $ \square\;$ Si $ f_n(x)$ tend vers $ f(x)$ uniformément sur $ [0,1]$, alors $ f$ est continue en 0.
  3. $ \boxtimes\;$Si $ f_n(x)$ tend vers $ f(x)$ uniformément sur $ [-1,1]$, alors $ f$ est continue en 0.
  4. $ \boxtimes\;$Si $ f_n(x)$ tend vers $ f(x)$ uniformément sur $ [-A,A]$ pour tout $ A>0$, alors $ f$ est continue sur $ \mathbb{R}$.
  5. $ \boxtimes\;$Si $ f_n(x)$ tend vers $ f(x)$ uniformément sur $ [-a,a]$ pour tout $ a\in]0,1[$, alors $ f$ est continue sur $ ]-1,1[$.
  6. $ \square\;$Si $ f_n(x)$ tend vers $ f(x)$ simplement sur $ [-a,a]$ pour tout $ a\in]0,1[$, alors la convergence est uniforme sur $ ]-1,1\vert$.
  7. $ \square\;$ Si pour tout $ x$ la suite $ (f_n(x))$ est croissante et si $ f_n(x)$ tend vers $ f(x)$ simplement sur $ ]-1,1[$ alors $ f(x)$ est continue sur $ ]-1,1[$.
  8. $ \boxtimes\;$ Si pour tout $ x$ la suite $ (f_n(x))$ est croissante, si $ f_n(x)$ tend vers $ f(x)$ simplement sur $ [-1,1]$ et si $ f$ est continue sur $ [-1,1]$, alors la convergence est uniforme sur $ [-1,1]$.
  9. $ \square\;$ Si pour tout $ x$ la suite $ (f_n(x))$ est croissante, si $ f_n(x)$ tend vers $ f(x)$ simplement sur $ \mathbb{R}$ et si $ f$ est continue sur $ \mathbb{R}$, alors la convergence est uniforme sur $ \mathbb{R}$.

Vrai-Faux 10   Soit $ (f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions continues de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$. On suppose que pour tout $ A>0$, $ f_n(x)$ converge vers $ f(x)$ uniformément sur $ [-A,A]$. Vous pouvez en déduire que (vrai ou faux et pourquoi) :
  1. $ \boxtimes\;$$ f$ est continue sur $ \mathbb{R}$
  2. $ \square\;$$ f_n$ converge vers $ f$ uniformément sur $ \mathbb{R}$.
  3. $ \boxtimes\;$$ f_n$ converge vers $ f$ uniformément sur $ [-1,10]$
  4. $ \boxtimes\;$Pour tout $ A>0$, l'intégrale de $ f_n$ sur $ [0,A]$ converge vers l'intégrale de $ f$ sur $ [0,A]$.
  5. $ \square\;$La primitive de $ f_n$ nulle en 0 converge vers la primitive de $ f$ nulle en zéro, uniformément sur $ \mathbb{R}$.
  6. $ \boxtimes\;$La primitive de $ f_n$ nulle en 0 converge vers la primitive de $ f$ nulle en zéro, uniformément sur $ [-1,1]$.
  7. $ \square\;$Si $ f_n$ est dérivable sur $ ]-1,1[$, alors $ f$ est dérivable sur $ ]-1,1[$.
  8. $ \square\;$Si $ f_n$ et $ f$ sont dérivables sur $ ]-1,1[$, alors pour tout $ x\in]-1,1[$, $ f'(x)$ est la limite de $ f'_n(x)$ quand $ n$ tend vers l'infini.

Vrai-Faux 11   Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$L'application $ x\longmapsto 2x\sin(x)$ est uniformément continue sur $ \mathbb{R}$.
  2. $ \boxtimes\;$L'application $ x\longmapsto 2x+\sin(x)$ est uniformément continue sur $ \mathbb{R}$.
  3. $ \boxtimes\;$L'application $ x\longmapsto \frac{\sin(x)}{x}$ est uniformément continue sur $ ]0,+\infty[$.
  4. $ \square\;$L'application $ x\longmapsto \frac{\cos(x)}{x}$ est uniformément continue sur $ ]0,+\infty[$.
  5. $ \boxtimes\;$L'application $ x\longmapsto \frac{\cos(x)}{x}$ est uniformément continue sur $ [\varepsilon ,+\infty[$, pour tout $ \varepsilon >0$.
  6. $ \square\;$L'application $ x\longmapsto \frac{1}{x(2-x)}$ est uniformément continue sur $ ]0,2[$.
  7. $ \square\;$L'application $ x\longmapsto \frac{1}{x(2-x)}$ est uniformément continue sur $ [\varepsilon ,2[$, pour tout $ \varepsilon >0$.
  8. $ \square\;$L'application $ x\longmapsto \frac{1}{x(2-x)}$ est uniformément continue sur $ [\varepsilon ,2-\varepsilon [$, pour tout $ \varepsilon >0$.

Vrai-Faux 12   Soit $ f$ une application de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$. On suppose que $ f$ est dérivable sur $ ]-1,1[$. Vous pouvez en déduire que (vrai ou faux et pourquoi) :
  1. $ \square\;$$ f$ est uniformément continue sur $ ]-1,1[$.
  2. $ \boxtimes\;$$ f$ est uniformément continue sur $ [-r,r]$, pour tout $ r$ tel que $ 0<r<1$.
  3. $ \square\;$$ f'$ est uniformément continue sur $ [-r,r]$, pour tout $ r$ tel que $ 0<r<1$.
  4. $ \square\;$si $ f$ est bornée, alors $ f$ est uniformément continue sur $ ]-1,1[$.
  5. $ \boxtimes\;$si $ f'$ est bornée, alors $ f$ est uniformément continue sur $ [-1,1]$.

Vrai-Faux 13   Pour tout $ x\in\mathbb{R}$, on pose $ u_n(x)=\frac{(-x)^n}{n}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ La série $ \sum u_n(x)$ converge normalement sur $ [-1,1]$.
  2. $ \boxtimes\;$ La série $ \sum u_n(x)$ converge normalement sur $ [-r,r]$, pour tout $ r$ tel que $ 0<r<1$.
  3. $ \square\;$ La série $ \sum u_n(x)$ converge uniformément sur $ [-1,1]$.
  4. $ \boxtimes\;$ La série $ \sum u_n(x)$ converge uniformément sur $ [0,1]$.
  5. $ \square\;$ La série $ \sum u_n(x)$ converge uniformément sur $ ]-1,1]$.
  6. $ \square\;$ La série $ \sum u_n(x)$ converge uniformément sur $ [-r,1]$, pour tout $ r$ tel que $ 0<r<1$.

Vrai-Faux 14   Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions continues de $ ]-1,1[$ dans $ \mathbb{R}$. On suppose que pour tout $ x\in]-1,1($ la série $ \sum u_n(x)$ converge et on note $ s(x)$ sa somme :

$\displaystyle \forall x\in]-1,1[\;,\quad \sum_{n=0}^{+\infty}
u_n(x) = s(x)\;.
$

Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ Si la série $ \sum u_n(x)$ est normalement convergente sur $ ]-1,1[$, alors $ s$ est continue sur $ ]-1,1[$.
  2. $ \boxtimes\;$ Si pour tout $ r\in]0,1[$, la série $ \sum u_n(x)$ est normalement convergente sur $ ]-r,r[$, alors $ s$ est continue sur $ ]-1,1[$.
  3. $ \square\;$ Si les $ u_n$ sont dérivables sur $ ]-1,1($, alors $ s$ est dérivable sur $ ]-1,1[$.
  4. $ \boxtimes\;$ Si pour tout $ r\in]0,1[$, la série $ \sum u_n(x)$ est normalement convergente sur $ ]-r,r[$, alors l'intégrale de $ u_n(x)$ sur $ ]-1,1[$ converge vers l'intégrale de $ s(x)$ sur $ ]-1,1[$.
  5. $ \boxtimes\;$ Si les $ u_n$ sont dérivables sur $ ]-1,1($, et si pour tout $ r\in]0,1[$ la série $ \sum u'_n(x)$ est normalement convergente sur $ [-r,r]$, alors $ s$ est dérivable sur $ ]-1,1[$.

Vrai-Faux 15   Soit $ (a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions définies et continues sur $ [-1,1]$, à valeurs dans $ \mathbb{R}^+$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ Si pour tout $ x\in[-1,1]$, la suite $ (a_n(x))$ tend vers 0, alors la série $ \sum (-1)^n a_n(x)$ converge simplement sur $ [-1,1]$.
  2. $ \square\;$ Si pour tout $ x\in[-1,1]$, la suite $ (a_n(x))$ est décroissante, alors la série $ \sum (-1)^n a_n(x)$ converge uniformément sur $ [-1,1]$.
  3. $ \boxtimes\;$ Si pour tout $ x\in[-1,1]$, la suite $ (a_n(x))$ décroît et tend vers 0, alors la série $ \sum (-1)^n a_n(x)$ converge uniformément sur $ [-1,1]$.
  4. $ \boxtimes\;$ Si pour tout $ x\in[-1,1]$, la suite $ (a_n(x))$ décroît et tend vers 0, alors la série $ \sum (-1)^n a_n(x)$ converge normalement sur $ [-1,1]$.
  5. $ \square\;$ Si pour tout $ x\in[-1,1]$, la suite $ (a_n(x))$ décroît et tend vers 0, alors la série $ \sum \cos(n\pi x) a_n(x)$ converge uniformément sur $ [-1,1]$.
  6. $ \boxtimes\;$ Si pour tout $ x\in[-1,1]$, la suite $ (a_n(x))$ décroît et tend vers 0, alors la série $ \sum \sin(2n\pi x) a_n(x)$ converge uniformément sur tout intervalle $ [-r,r]$, pour $ r\in]0,1[$.

Vrai-Faux 16   Pour $ x\in\mathbb{R}$ et $ t\in[0,1]$, on note $ f(x,t)=\mathrm{e}^{t\sin(x)}$ et $ F(x)$ l'intégrale $ \displaystyle{F(x)=\int_0^1 f(x,t) \mathrm{d}t}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ La fonction $ F$ est continue sur $ \mathbb{R}$.
  2. $ \boxtimes\;$ La fonction $ F$ est dérivable sur $ \mathbb{R}$.
  3. $ \square\;$ La fonction $ F$ est périodique de période $ 2\pi$.
  4. $ \boxtimes\;$ La dérivée de $ F$ est $ \displaystyle{F'(x)=\int_0^1 \cos(x)\mathrm{e}^{t\sin(x)} \mathrm{d}t}$.
  5. $ \boxtimes\;$ L'intégrale de $ F$ sur $ [0,2\pi]$ est égale à $ \displaystyle{\int_0^1\left(\int_0^{2\pi} \mathrm{e}^{t\sin(x)} \mathrm{d}x\right) \mathrm{d}t}$.

Vrai-Faux 17   Pour $ x$ et $ t$ appartenant à $ \mathbb{R}^+$, on note $ f(x,t)=t^x\mathrm{e}^{-t}$ et $ F(x)$ l'intégrale $ \displaystyle{F(x)=\int_0^{+\infty} f(x,t) \mathrm{d}t}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ L'intégrale définissant $ F$ converge normalement, donc uniformément.
  2. $ \boxtimes\;$ La fonction $ F$ est continue sur $ \mathbb{R}^+$.
  3. $ \square\;$ L'intégrale de $ F$ sur $ \mathbb{R}^+$ converge.
  4. $ \boxtimes\;$ L'intégrale de $ F$ sur $ [0,1]$ est égale à $ \displaystyle{\int_0^{+\infty}\left(\int_0^{1} t^x\mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}x\right) \mathrm{d}t}$.
  5. $ \square\;$ Pour tout $ x>0$, La dérivée de $ F$ en $ x$ est $ xF(x)$.

Vrai-Faux 18   Pour $ x$ et $ t$ appartenant à $ [0,1]$, on note $ f(x,t)=t^{-x}$ et $ F(x)$ l'intégrale $ \displaystyle{F(x)=\int_0^{1} f(x,t) \mathrm{d}t}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ L'intégrale définissant $ F$ converge normalement, donc uniformément sur $ [0,1]$.
  2. $ \boxtimes\;$ La fonction $ F$ est continue sur $ [0,1[$.
  3. $ \square\;$ L'intégrale de $ F$ sur $ [0,1]$ converge.
  4. $ \boxtimes\;$ L'intégrale de $ F$ sur $ [0,\frac{1}{2}]$ est égale à $ \displaystyle{\int_0^{1}\left(\int_0^{\frac{1}{2}} t^{-x} \mathrm{d}x\right) \mathrm{d}t}$.
  5. $ \square\;$ Pour tout $ x\in[0,1]$, La dérivée de $ F$ en $ x$ est $ xF(x-1)$.


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